Esercizi svolti di Meccanica dei Solidi

MECCANICA DEI SOLIDI

Studio della risposta delle strutture a sollecitazioni

• Sviluppo di un modello matematico con calcoli, ipotesi e vincoli per analizzare forze, azioni esterne, geometria del problema, deformazioni...

Modello matematico → equazioni differenziali

EQUAZIONI DIFFERENZIALI per:

• Modello geometrico
• Modello delle azioni esterne
• Modello costitutivo (del materiale)
• Modello dei vincoli

Azioni esterne:

• Forze
• Distorsioni
• Cedimenti

CINEMATICA

DEL PUNTO MATERIALE

Punto materiale: oggetto adimensionale definito dalle sue coordinate nello spazio

OP e OP' sono i vettori posizione che identificano P e P':

OP=⎛⎝x1y1z1⎞⎠

OP'=⎛⎝x2y2z2⎞⎠

S(P) è invece il vettore spostamento che definisce la cinematica del sistema. Esso è definito come:

S(P)=⎛⎝uvw⎞⎠

con u, v, w parametri lagrangiani.

3 parametri lagrangiani → 3 gradi di libertà (nel piano)

Piano è 3 GDL

Spazio tridimensionale è 6 GDL

Se si costringe il movimento del punto in un piano o una curva, si riducono i gradi di libertà.

Il corpo rigido: presi 2 punti P e Q, qualunque sia l'azione esterna sull'oggetto, la distanza tra i punti non cambia. Triangolo P, Q, R.

Traslazione rigida: ogni punto P del corpo rigido si sposta col medesimo vettore spostamento S(P) (increm., direzione, verso)

S(P)=⎛⎝uvw⎞⎠

Rotazione (attorno asse ẑ)

S(P)=R⎛⎝−R(1−cosΩ)RsinΩ0⎞⎠

Rotazione semplice:

S(P)=⎛⎝−R(1−cosΩ)RsinΩ⎞⎠

Ho già un'equazione non lineare per necessità di semplificare.

L'ipotesi dei piccoli spostamenti

Dal punto di vista ingegneristico si considerano piccoli spostamenti, spostamenti molto più piccoli delle dimensioni della struttura. In questo caso possiamo linearizzare il problema, in quanto si può nelle piccole confondere la situazione iniziale con quella finale.

Per i moti piccoli:

• sin x ≅ x tan² x ≅ x²
• cos x ≅ 1

(infinitesimi Taylor Peano)

Allora il vettore spostamento S(P) diventa: S(P) ≅ R₀i + j (lineare)

Quindi si approssima una rotazione con una traslazione, nella quale le vettore spostamento è sempre ortogonale alla direzione del raggio di rotazione.

Generalizzazione del vettore s(p)

s(p) = R₁ɸ OP

Il vettore spostamento è stato scomposto in una parte che descrive la rotazione (Rɸ) e in una parte che descrive le lunghezze (R₁). s(p) si scrive in modo generale come:

s(p) = jɸ ∧ op

Rotazione attorno ad un asse qualsiasi

Se V nel piano è descritto da V = {0,0,v_z⁐

Nello spazio tridimensionale esso diventa V = {v_x,v_y,v_z⁐

(Per definire V nello spazio 3D ho bisogno di 3 gradi, non 1)

Equazione del moto di un corpo

è definita quindi da una parte traslatoria e da una parte rotatoria (rotazione rigida)

S(P) = S(O) + ˙∫ ∧ OP

Dove W E _l tensore di rotazione rigida (matrice antisimmtrica)

Quindi l'equazione del moto è

S(P) = S(O) + W∫ OF

Sistema piano

Il moto del corpo deve essere contenuto nel piano: sono consentiti solo alcuni spostamenti

• x_g, y_g, u

Da 6 passa a 3 gradi di libertà (2 traslazione e 1 rotazione)

Equazioni del moto nel piano

W(P) = W(O) + ɣ_z(y_g-y_o)-ɣ_x(x_g-x_o)=0

oppure

u(P) = u(O) + ɣ(x_g-y_o)

u(P) = u(O) + ɣ(x-x_o)

DISCUSSIONE ST

La discussione statica serve a determinare se una struttura è in equilibrio oppure no. Un corpo è in equilibrio se e solo se la risultante e il momento risultante delle forze attive è pari a 0.

• Forze attive = carichi
• Forze reattive = reazioni vincolari

R = 0 Nel piano: 2 eq. alla traslazione e 3 nella nota. M = 0

Nel piano: solo 3 GDL

• eq. traslazione lungo x
• eq. traslazione lungo y
• eq. rotazione

Ipotesi delle piccole deformazioni mi permette di trattare Ca 2 Cfm le ipotesi dei piccoli spostamenti mi linearizza le equazioni per l'equilibrio alla rotazione. Commetto un piccolo errore, ma risolvo un problema lineare.

Problema esempio

Equilibrio

• ΣH = 0
• ΣV = 0 HB = C
• ΣM = 0 VA+VB = F-0
• Vc.0-F2.0 = 0

Sistema in forma matriciale

Equazioni cardinali della statica

A · x + F = 0

Studio del rango di A per determinare Φ statica della struttura

Secondo il teorema di Rouché-Cappelli il sistema ha soluzione sse rk(A) = rk(A|F).

confronto rk(A) con il n° di equazioni 3n.

Se rk(A) = 3n, rk(E) equazioni linearmente dipendenti la struttura è labile ma può essere equilibrata se rk(A) = rk(A|F) e g soddisfa delle particolari condizioni.

Se rk(A) = 3n, il determinato qualunque essendo lo stesso numero vincoli e n equazioni equilibrio struttura è f(i|ssa:

Confronto rk(A) col numero 3n° di vincoli e indiomate.

Se rk(A) = n, il sistema è indeteminato. Posso assegnare a rk(A) il congiunto un tu valore arbitrario. Ha un grado di iperstasi: m = 2n-2, la struttura è iperstatica.

Se rk(A) = 1n, il sistema è determinato e riesco a trovare tutte le reazioni incognite. Il grado di iperestaticità è 0, la struttura è statisticamente determinata.

Nota bene

Nell'esempio precedente, la strutturiva è fissa, è stato staticamente determinata, cioè la struttura è isostifica.

Il grado di iperstaticità indica m = n risposta unicamente dipendente dalla altre corpo vbla sdeùè stessi degli vincoli surè evano àdami.

• Traduci tutte le derivate di ordine superiore al primo per il principio di sostituzione degli ordinamenti di ordine superiore

In forma matriciale:

Tensore delle deformazioni

Sulla diagonale: coefficienti di dilatazione lineare

Altri: scorrimenti angolari

Variazione di lunghezza percentuale del segmento l

E_n = l_f - l_i

• E_n è colato su P₀ in direzione n̂
• Adimensionale
• Positivo per l'allungamento
• Ordine di grandezza ≈ 10^-4, negli ipotesi delle piccole deformazioni
• f_nm = l_i - l_f

• Ord. grandezza ≈ 10^-2
• Angoli in radianti

Infatti

tensore di rotazione

Dove E è il tensore delle piccole deformazioni

Equazioni di congruenza (dirette):

• E_x = ∂u/∂x
• E_y = ∂v/∂y
• E_z = ∂w/∂z

equazioni di congruenza diretta

equazioni di congruenza

Il tensore delle deformazioni descrive e.a nel suo intorno del punto

Vale solo localmente