Esercizi Matrici

Geometria e Algebra Annamaria IezziEsercizi2 - Vettori numerici e Matrici

Legenda:: Un gioco da ragazz , dopo aver riletto gli appunti del corso@: Ci devo pensare un po’, ma posso arrivarci: Non ci dormirò stanottev w

Esercizio 1. Siano .R 22= (1, 2), = (3, 4)

1. (a) Determinare tali cheR2, µ v + µw = (1, 0).v
2. (b) Mostrare che se e solo se+ µw = (0, 0) = µ = 0.
3. (c) Dimostrare che per ogni esistono tali cheR R22 2(a, b) , µv + µw = (a, b).In particolare determinare e in funzione di eµ a b.

Esercizio 2. Si considerino le matrici seguenti:

0 1 0 1 0 1
3 2 0 7 0 1
1 1 3 0

0 1 0 4 3 0
6 0 0 2
5 0 1 3 2 0
0 5 1 10 11

B C
2B C
0 5 2
D = 
E = 

A
30

Si effettuino, quando possibile, le operazioni seguenti:

1. (a) (3A + B)C.
2. (b) .2(A + B)
3. (c) 5AD.
4. (d) CD + EA.
5. (e) ECD.
6. (f) TAB C.
7. (g) .3A + I 3

Università degli Studi di Napoli Federico II

Geometria e Algebra Annamaria IezziEsercizio 3. Una matrice si dice se esiste unnilpotente2 MN

(K)nintero tale che , dove è la matrice nulla.k 2 Mk 1 N = O O (K)n n n

Dimostrare che per ogni la matriceR2a, b, c0 10 a b@ A 2 M0 0 cN = (R)30 0 0è nilpotente.

Esercizio 4.( ) Determinare, se esiste, l’inversa della matrice:0 10 3 1@ A 2 M0 0 1M = (R).31 0 2Se esiste, verificare che il risultato ottenuto è corretto.( ) Sia una matrice avente almeno una riga2 MA = (a ) (R)ij nnulla, cioè tale che tale che per ogni9 2 {1,i . . . , n} a = 0ijDimostrare che non è invertibile.2 {1,j . . . , n}. AEsercizio 5. Si consideri la matrice0 11 1 1@ A 2 M1 1 1A = (R).31 1 1( ) Si calcolino e .2 3 4A , A A( ) Per si determinino i coefficienti di (in funzioneN, k2k k 1, Adi e si dimostri l’asserto utilizzando il principio di induzione.k)Esercizio 6.( ) Mostrare che per ogni la matriceR2✓✓ ◆cos(✓) sin(✓) 2 M (R)sin(✓) cos(✓) 2è ortogonale.( ) Dimostrare, più in generale, che una matrice è or-2 MA (R)2togonale se e solo

se è della forma✓ ◆ ✓ ◆a b a boppureb a b acon (Si noti che essendo l’enunciato della forma se e2 2a + b = 1.ci sono due implicazioni da dimostrare.)solo se

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