Esercizi esame Control Systems 19 marzo 2026

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE / AUTOMATICA

Controlli Automatici — Soluzione Completa

Documento: Relazione analitica

Data Esame: 19 Marzo 2026 Tempo a disposizione: 3 Ore dettagliata

Autore: Solutore Ufficiale Regola: Nessun testo/appunti Calcolatrice: Solo operazioni standard

NOTA INTRODUTTIVA E STRUTTURA DEL DOCUMENTO

Il presente documento contiene la risoluzione rigorosa, passaggi algebrici dettagliati, analisi teoriche, tracciamento dei

diagrammi di risposta e verifiche numeriche dei tre esercizi proposti nell'esame di Controlli Automatici del 19 Marzo

2026.

Esercizio 1: Sintesi di un Controllore Monodimensionale basata sul

Criterio di Nyquist

1.1 Formulazione del Problema e Analisi dell'Impianto

Consideriamo il processo dinamico descritto dalla seguente funzione di trasferimento ad anello aperto:

1 - s

P(s) = 2

s

L'impianto P(s) presenta caratteristiche intrinseche estremamente critiche dal punto di vista del controllo:

• Un polo doppio nell'origine (s = 0): garantisce un tipo h = 2, rendendo il sistema un integratore puro di ordine 2 ad alte

prestazioni a basse frequenze, ma introducendo uno sfasamento strutturale di -180^\circ a tutte le frequenze.

• Uno zero a parte reale positiva (Non-Minimum Phase Zero) in s = 1: aggiunge un ulteriore ritardo di fase pari a -

rctan(\omega) senza attenuare il guadagno ad alte frequenze. Questo vincola severamente la banda passante raggiungibile.

L'obiettivo è progettare un controllore monodimensionale (ovvero di ordine 1) della forma generale:

1 + T s

G(s) = K 1 + τ s

tale da soddisfare contemporaneamente i tre requisiti seguenti:

1. P(s)G(s)

Stabilità Asintotica del sistema in anello chiuso: la funzione di trasferimento ingresso-uscita W(s) = deve

1 + P(s)G(s)

risultare asintoticamente stabile, verificata mediante il Criterio di Nyquist.

2. Attenuazione/Guadagno del Controllore: -|G(jω)| ≤ -5 dB per ogni ω ≥ 0, il che equivale a richiedere che il guadagno

dB

del controllore sia limitato inferiormente da |G(jω)| ≥ 5 dB per tutte le frequenze.

dB

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3. Specifiche della Funzione di Anello L(s) = P(s)G(s):

*

◦ Margine di fase: m ≥ 20^\circ.

φ

◦ Guadagno di anello a basse frequenze: |P(jω)G(jω)| ≥ 15 dB per ogni ω [0, 0.1].

∈

dB

1.2 Progetto Specifica per Specifica

A) VINCOLO SUL GUADAGNO A BASSE FREQUENZE (Ω ∈ [0, 0.1])

Analizziamo la grandezza del ciclo ad anello aperto |L(jω)| = |P(jω)G(jω)| nell'intervallo ω [0, 0.1]. Poiché la funzione di

∈

trasferimento dell'impianto possiede un doppio polo nell'origine, il modulo è dominato per piccole frequenze dal termine

1/\omega^2.

Convertiamo la specifica espresso in decibel in valore assoluto: 15/20 0.75

|L(jω)| ≥ 15 dB &implies; |L(jω)| ≥ 10 = 10 ≈ 5.6234

dB

Essendo la funzione del modulo |L(jω)| strettamente decrescente con la frequenza nell'intervallo a bassa frequenza, il punto più

critico risulta essere l'estremo superiore del range, ossia ω = 0.1. Imponiamo quindi:

|L(j0.1)| ≥ 5.6234

Sostituendo la forma di L(s): 2

√(1 + 0.1 ) √(1.01)

|L(j0.1)| = |G(j0.1)| · |P(j0.1)| = |G(j0.1)| · = |G(j0.1)| · ≈ 100.499 · |G(j0.1)|

2 0.01

0.1

Per basse frequenze, ponendo |G(j0.1)| ≈ |K| (assumendo le frequenze di taglio della rete 1/T e 1/τ maggiori di 0.1), si ottiene:

5.6234

100.499 · K ≥ 5.6234 &implies; K ≥ ≈ 0.05595

100.499

Scegliamo un valore cautelativo per il guadagno in corrente continua: K = 0.1 (pari a -20 dB). Verifichiamo subito che con K =

0.1: |L(j0.1)| ≈ 0.1 · 100.499 = 10.05 &implies; 20 \log (10.05) ≈ 20.04 dB ≥ 15 dB. La specifica a bassa frequenza è

10

pienamente soddisfatta.

B) VINCOLO DI GUADAGNO MINIMO SUL CONTROLLORE

La specifica impone che -|G(jω)| ≤ -5 dB per ogni ω, il che corrisponde a:

dB 5/20

|G(jω)| ≥ 5 dB &implies; |G(jω)| ≥ 10 ≈ 1.7782

dB 1 + Ts

Poiché il guadagno in bassa frequenza K = 0.1 ha un modulo in dB pari a -20 dB, la rete di compensazione deve

1 + τs

necessariamente essere di tipo anticipatrice (T > τ) e possedere un guadagno ad alta frequenza sufficiente per sollevare la

risposta complessiva del controllore sopra +5 dB.

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Il guadagno ad alta frequenza del controllore è espresso da: T

lim |G(jω)| = K ·

ω &to; &infty; τ

Affinché |G(jω)| ≥ 1.7782 ad alte frequenze, è necessario che:

T T T

K · ≥ 1.7782 &implies; 0.1 · ≥ 1.7782 &implies; ≥ 17.782

τ τ τ

Scegliamo un rapporto tra le costanti di tempo pari a T / τ = 100 (ossia un'estensione di due decadi). In tal modo, il guadagno

ad alta frequenza del controllore sarà: |G(j&infty;)| = 0.1 · 100 = 10 &implies; +20 dB ≥ 5 dB, soddisfatto ampiamente.

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1.3 Posizionamento delle Costanti di Tempo e Margine di Fase

La funzione di anello aperto con K = 0.1 diventa: 0.1 (1 - s)(1 + Ts)

L(s) = P(s)G(s) = 2

s (1 + τs)

La fase della funzione di anello aperto ngle L(j\omega) è data analiticamente da:

L(jω) = -180^\circ - rctan(ω) + rctan(Tω) - rctan(τω)

∠

Osserviamo che senza compensazione (G(s) = K), la fase sarebbe -180^\circ - rctan(ω) < -180^\circ per ogni ω > 0,

rendendo il sistema incondizionatamente instabile in anello chiuso! La presenza dello zero di anticipo 1 + Ts è indispensabile

per "sollevare" la fase sopra -180^\circ nell'intorno della frequenza di taglio ω dove |L(jω )| = 1 (0 dB).

c c

Scegliamo le costanti di tempo:

• T = 10 (zero situato a ω = 0.1 rad/s)

z

• τ = 0.1 (polo situato a ω = 10 rad/s)

p

Il controllore assume la forma definitiva: 1 + 10 s

G(s) = 0.1 · 1 + 0.1 s

CALCOLO ESATTO DELLA FREQUENZA DI TAGLIO Ω C

Cerchiamo la frequenza ω tale che |L(jω )| = 1:

c c 2 2

0.1 · √(1 + ω ) · √(1 + 100ω )

|L(jω)| = = 1

2 2

ω · √(1 + 0.01ω )

Valutiamo il modulo per tentativi nell'intorno di ω = 1 rad/s:

• Per ω = 1.0: 0.1 · √(2