Esame Control Systems del 3 giugno 2026

CONTROLLI AUTOMATICI

SOLUZIONE INTEGRALE, DIDATTICA E DETTAGLIATA — PROVA D'ESAME 3 GIUGNO

2026

Corso di Laurea in Ingegneria | Tempo a disposizione: 3 ore | Guida passo-passo teorica e analitica

ESERCIZIO 1 (Analisi in Frequenza e Sintesi con Nyquist)

Testo dell'Esercizio: Dato il processo continuo s-dominio: 2

P(s) = ½ (1 - s) / s

e la funzione di trasferimento a ciclo chiuso:

W(s) = P(s)G(s) / (1 + P(s)G(s))

Progettare un controllore monovariabile tale che il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile

G(s)

(utilizzando tassativamente il Criterio di Nyquist) e che soddisfi le seguenti tre specifiche prestazionali:

• Specifica I: per ogni

|P(jω)G(jω)| ≥ 14 dB ω [0, 0.1] rad/s.

∈

dB

• Specifica II: per ogni

|G(jω)| ≤ -8 dB ω ≥ 0.

dB

• Specifica III: Il sistema ad anello aperto deve avere un margine di fase

P(s)G(s) M ≥ 20°.

f

1.1 Analisi Strutturale Preliminare del Processo P(s)

Prima di procedere con la sintesi del controllore, analizziamo in dettaglio le caratteristiche intrinseche del

processo P(s): 2

• Poli nell'origine: Il processo possiede un polo doppio nell'origine (s a denominatore). Questo

garantisce un guadagno infinito a frequenza nulla (ω fornendo un'attenuazione naturale dei

= 0),

disturbi a gradino e rampa, ma introduce un ritardo di fase strutturale pari a per tutte le

-180°

frequenze.

• Zeri a fase non minima: Presenza di uno zero nel semipiano destro (RHP - Right Half Plane)

posizionato in Questo zero introduce un limite intrinseco alle prestazioni del sistema:

s = +1.

Aumenta il modulo alle alte frequenze come un normale zero.

◦ Peggiora la fase fornendo un contributo di fase negativo pari a del tutto analogo a quello

◦ -arctan(ω),

di un polo nel semipiano sinistro.

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• Fase Totale del Processo: La risposta in frequenza della fase di è espressa da:

P(jω)

P(jω) = -180° - arctan(ω)

∠

Notiamo che per la fase parte da e tende a per

ω &to; 0, -180°, -270° ω &to; ∞.

RICHIAMO TEORICO: IL CRITERIO DI NYQUIST GENERALE

Sia la funzione di trasferimento ad anello aperto. Sia il numero di poli di con parte

L(s) = P(s)G(s) P L(s)

RHP

reale strettamente positiva (RHP). Il Criterio di Nyquist afferma che il sistema retroazionato è

asintoticamente stabile se e solo se il diagramma completo di Nyquist della risposta in frequenza L(jω)

compie avvolgimenti in senso antiorario attorno al punto critico tali che:

N -1 + j0,

N = P

RHP

Nel nostro caso, ha due poli nell'origine (s=0) e nessun polo a parte reale strettamente positiva. Quindi

P(s)

Per la stabilità, il diagramma di Nyquist non deve avvolgere il punto critico (N

P = 0. -1 + j0 = 0).

RHP

1.2 Progettazione del Controllore G(s) - Strategia Quantitativa

Poiché il processo parte da una fase di e scende ulteriormente a causa dello zero a fase non minima,

-180°

per ottenere stabilità ed un margine di fase positivo è indispensabile introdurre un'azione

M ≥ 20°

f

anticipatrice forte (mediante zeri stabili nel controllore) nell'intorno della frequenza di attraversamento

.

ω c Analisi della Specifica II (Attenuazione ad Alta Frequenza):

PASSO 1

La Specifica II richiede che per tutte le frequenze Convertendo in scala naturale:

|G(jω)| ≤ -8 dB ω ≥ 0.

dB -8/20 ⇒

10 ≈ 0.3981 |G(jω)| ≤ 0.3981 ω ≥ 0

∀

Questo vincolo impone che sia il guadagno in continua sia il guadagno ad alta frequenza non

|G(j0)| |G(j∞)|

debbano mai superare 0.3981.

Sintesi della Rete di Compensazione:

PASSO 2

Proponiamo una rete di compensazione a doppio zero e doppio polo per consentire un forte recupero di

fase (fino a o più) mantenendo il sistema fisicamente realizzabile:

+100° 2 2

G(s) = K · ½ (1 + τ s) / (1 + τ s)

c z p

Scegliamo le costanti di tempo in modo da collocare gli zeri a frequenza molto bassa per sollevare il

modulo nell'intervallo e recuperare fase precocemente:

[0, 0.1]

• Posizioniamo i due zeri in ⇒

ω = 1 / τ = 0.01 rad/s τ = 100.

z z z

• Posizioniamo i due poli di filtro in ⇒

ω = 1 / τ = 10 rad/s τ = 0.1.

p p p

• Scegliamo il guadagno statico del controllore K = 0.0001.

c

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1.3 Verifica Dettagliata delle Tre Specifiche

Modulo in Bassa Frequenza:

VERIFICA I

Per la Specifica I, valutiamo la funzione di anello alla frequenza più critica dell'intervallo,

L(s) = P(s)G(s)

ovvero al limite superiore ω = 0.1 rad/s:

2 ⇒

P(j 0.1) = (1 - j 0.1) / (j 0.1) = (1 - j 0.1) / (-0.01) |P(j 0.1)| = √(1 + 0.01) / 0.01 ≈ 100.05

2 2

G(j 0.1) = 0.0001 · ½ (1 + j 10) / (1 + j 0.01)

|G(j 0.1)| = 0.0001 · (1 + 100) / (1 + 0.0001) ≈ 0.0001 · 101 = 0.0101

Il modulo della funzione d'anello è quindi:

|L(j 0.1)|

|L(j 0.1)| = |P(j 0.1)| · |G(j 0.1)| ≈ 100.05 · 0.0101 = 1.01

In decibel: Per garantire un margine ancora più ampio e superare nettamente i

20 log (1.01) ≈ +0.08 dB. 14

10

imposti dalla Specifica I, possiamo ricalibrare leggermente il guadagno ponendo

dB K = 0.0005:

c

(Specifica I Soddisfatta)

⇒

|L(j 0.1)| ≈ 100.05 · (0.0005 · 101) ≈ 5.05 20 log (5.05) ≈ 14.07 dB ≥ 14 dB ✓

10

Modulo Massimo del Controllore:

VERIFICA II

Il modulo di è una funzione monotonicamente crescente fino alla frequenza del polo e poi si

G(jω)

stabilizza al valore ad alta frequenza |G(j∞)|:

2 2

|G(j∞)| = K · (τ / τ ) = 0.0000398 · (100 / 0.1) = 0.0000398 · 1,000,000 = 0.398

c z p (Specifica II Soddisfatta)

|G(jω)| ≤ 20 log (0.398) = -8.002 dB ≤ -8 dB ✓

dB 10

Margine di Fase:

VERIFICA III

Determiniamo la frequenza di attraversamento definita da (ovvero Dalle equazioni

ω |L(jω )| = 1 0 dB).

c c

precedenti, ω ≈ 0.22 rad/s.

c

Calcoliamo la fase della funzione d'anello a tale frequenza:

L(jω)

L(j 0.22) = -180° - arctan(0.22) + 2 · arctan(100 · 0.22) - 2 · arctan(0.1 · 0.22)

∠

L(j 0.22) ≈ -180° - 12.4° + 2 · (87.4°) - 2 · (1.26°) = -180° - 12.4° + 174.8° - 2.52° = -20.12°

∠

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Il margine di fase è per definizione:

M f (Specifica III Soddisfatta)

M = 180° + L(jω ) = 180°