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1o Compitino
Elementi di Automatica
1 - Esempio pratico 2005
V (es.2) y¨(t) + 2y˙(t) − y(0)y˙(t) = 0
- x y¨ (0)−y˙(t) = 0 NON-LINEARE
- x u(t) = 0 -- D OP AUTONOMO
- x TUTTO LE VARIABILI -- D TENDO CONTINUO
d SUPERE IL PUNTO B
(es.1) MODI NATURALI DEL SISTEMA DI SOTTO DA: G(s) = 4.5 s2-2.5+10
COME PROVA UTILIZZIA ANCORAIL PUN (ANCORA QUELLI MODALCHE FANNO PARTE DEL SOTTOMIEM DE AUTONOMO)
s2−2.5s+10 = 0 → D = b2 − 4ac = 4 − 40 = −36 < 0
FORMA BASE: RADICE CARF. CONCL. {€}F(s) = Weh +s s2 + 2 € wh s + wh2
Δ
(es.3) VALORE ASIMPTRICO DI UNA RISPOSTO IMPULSIV (SISTEM LT) DESCRITTO DA: G(s) = s+4 4/4s+ s2
- RISPOSTO IMPULSO *
γ(t) = 2[] G(s)] g(t)
AMPILO IL DECOMPOTA} PER RAGUNONI * POLIS eSUL SOSTITUIZAMENTO R RESINI4+4.5 s2 =O DOt " TIQVO VTI PERIOD
Δ Δ Γ D 16 = 4 + 12 > 0
P 12 = −b + √Δ
2 − 2 + √5 = P1
−2 + √5 = P
K = lim (S−P1) ⋅ F (s)
2X+ZX+C = 2 (X−X2)(X−X2)f(x2) +4(x+1+f)=1-x(x + 2 √3) x(x + 2 √5)
g(t)=∑k x g(z)√+3fΔ(t+
= 3−2√10
+ 3 + 1&
6
NOTZOHOU cm e ds-O SE SOT |> YO T GPO
Es. 4 - Grafico di Bode
X sicuramente è presente un integratore (lo vedo dal modulo) anche 3 ∈ Z
X posso due poli in forma di Bode 1 − 5 ⋅ (-j ω) (5 - j ω) ⋅ j + 1 − 5 (-jω) ⋅ 5 - jω ⋅ j + 4
Infatti per passare nelle forme di Bode e ricomporlo possiamo quindi dire che l’ipotesi corretta è:
Es. 5 - Valori asintotici risposto impulso: G(s) = s^4 G(s) = s^4 5 ⋅ (2 + s)^2 0; 2
lim s-Pt k(s) ⋅ lim op K2 = lim op ⌠(s-p t) ⋅ kx₂(s) ⌠ K2 = lim op = Z
G(k) = BWI s² kII 1 0+∞ ∞ 2 z 2 = (l * l²) -2 (1+l²-2) y = Z
Es. 6 - Uscita del sistema: G(s) = s ⋅ 1 G(s) = s ⋅ 1 9 + s² Fondi di Bode G(s) = s ⋅ 1 -1 (-5 + s) = 1 + s 9 + (s² + l)
Amplito la parte inferiore anche il polinomino con fattore di 2ª ordine s² ⋅ 2s ⋅ 8 ⋅ 1 del tipo s⁵ 0 infinity 3 :
Es. 7 - Sistema dinamico lineare equilibrato Ẋ = (x-3) (x-1) Xel = 1 Xel = 3 0 + 1 --> X = (x-1) = 3
(Es. 5.5) Diagramma di Bode
Segnalato il tratto di una funzione del 2° ordine con funzione inversa si deve usare come fatto il lag delle future funzioni dopo polinomi che possono essere troncati in moltiplicazione di frattoor il piano maggiore non due:
- \(G(s) = \frac{1}{s^2 + 5s + 9}\)
- \(\omega = 3\)
- \(G(s) = \frac{1}{(s^2 + 5s + 9)}9\)
\(s = 3\)
\[ d = -\frac{1}{6} \] \[ (Es.6) Rispato forzato (solutivo) definito da (s^2 + 2\varepsilon\omega_n s + \omega^2_n) \] \[ \begin{align*} |P| = \omega_n = \omega_c = 2 \\ Y(s) \overset{\Delta}{=} \frac{\alpha s + \beta}{s^2 + 26\omega_n s + \omega^2_n} \end{align*} \] \[ \varepsilon = \frac{Re(p)}{|P|} \Rightarrow Re(p) - \varepsilon|p| = 0 \] \[ \boxed{\omega_n = 1} \\ \varepsilon = 0 \] \[ Y(s) = G(s) \cdot U(s) = \frac{2}{(s+4)} \] \[ U(s) = \frac{2}{s^3 + s^2} \] \[ P = 3j; \quad \bar{P} = -3 \] \[ \lim_{\omega \to +\infty} Y(\varepsilon) \Rightarrow \text{non esiste ma \text{è limitato}} \] \[ \boxed{\text{\text{non applichi le teorema del limite finaco}}} \] \[ (Es. 7) \text{ Sistema dinamico lineari stazionari } \] \[ x_i = 2\cdotp x_4 - x_3 + u \\ x_2 = x_t - x_2 \\ x_3 = x_5 \] \[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, D = 0 \] \[ \text{Treno alcanzare}\\ \det(s\cdotp I - A) = \det \begin{bmatrix} s-2 & 0 & 0 \\ -1 & s-1 & 0 \\ 0 & 0 & s-1 \end{bmatrix} = (s-2)(s+1)(s-1) = 0 \] \[ s_1 = 2; s_2 = -1; s_1 = 1 \] \[ G(s) = C \cdotp (\cdotp S \cdotp I - \cdotp A)^{-1} \cdotp B = \{ 1 \cdotp 0 \cdotp 1 \} \] \[ = \begin{bmatrix} 1 \cdotp (s-2) \cdotp 4 \\ 0 \cdotp (s-1) \cdotp 4 \\ 0 \cdotp 0 \\ \end{bmatrix}, \text{p = } 2 \] \[ \begin{bmatrix} s-2 & 0 \\ 0 & s-1 \end{bmatrix}^{-1} \] \[ \begin{bmatrix} -1 & s^{-1} & 0 & 4 \\ 0 & s^2-1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \frac{1}{s-2} \] \[ \boxed{\text{(sistema responded non maximizes \text{estime per basse staz cap unstabil quando erro sistema once scalare non stabile}}} \] \[ \text{(perché mese diocondola ci solo quando uomo analogia \text{linverso ha il reciproco di tutti valori)} \]12/01/2017
Es. 1
Sistema LTI:
G(s) = s-3/s² ho scritto?
Δ = 0 - 4·(1)·(s-3) = 0 Sistema del 1o ordine con un polo ripetuto per l'unitato limitato
Es. 2
Diagramma di Bode
Costruisco Δo ponendo quando uno p. rimuover del 20 ordine disolvo ➔ e-θ = eθ
G1(s) = q/((s²/9) + s + 1)
G7(s) = q(s2/9 - s/4)/((s² + q/9) + s/1)
130° ➔
1o autocolla sistema stato II ordine ➔ tutto limitato
Es. 4
Sistema dinamico non lineare:
ẋ = x2 - x = x(x-1) no equilibrio
Xeq = 0; Xeq = 1
Aeq=1 = dϕ/(dx) = 2x - 1 ➔ Aeq=1 = -1 stabile
(x≠0) (A0)
Es. 5
Classifica sistema dinamico con
y(t+1) + 2y(t+4) + 3y(t+6) - u(t) + y(t) = u(t) =0
Es. 6
Modi naturali di G(s) = 5t4/(2s5+5+5t4)
-x = 2'5 ω1/3
s = ωt ➔ ω = t1/5
cos (ωn ± t3) s = 3 dB
Rete attenuatrice:
Moltiplica un modulo per √(2) ≈ 15dB
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