Lezioni ed esercizi, Fondamenti di automatica

Eccezioni

Espansione in polinomi riducibili → completa

f(s) ha grado nativo → se è una razionalità vera

grado = deg (D(s)∈N(s))

f(s) = e_o + f(s) dove

e_o = lim (f(s) = 0

• f(s) = N(s)/D(s) deve vasi sotto propria

f(s) =

• b₁(s-p₁)^l(s-p₂)^l(s-p₃) ... (s-p_n)^l
• (s-p₁)^s(s-p₂)^s(s-p₃)^s

zeri di f(s)

poli di f(s)

e(s) = e_o+∑^m₁c_is/(s-p_i)^s

c₁₁ ... c₁₂

(s-p₁) (s-p₂)²

dove C_ij sono residui relativi ai poli di f(s)

Res₁₂=1.

C_l =

• 1/(m-j)! lim_s-p d^m-j [(d/ds)^m-j ((s-p)^m f(s))]

Es1. Apropos e espansione in funzione propria di

f(s) = 3s³+6s²+9s+3

• e_o = lim f(s) = -3
• s-p₂ = s³+2s+6

R(s) =

(s⁶ + 6s⁵ + 11s⁴ + 6) -> s(s⁵ + 6s⁴ + 11s³ + 6/s) (s+1)(s+2)(s+3) - s³ + 5s² + 6s + 5 + 5s + 6

R(s) =

(s+1)(s+2)(s+3)

e_i+1 = lim s→-1

ES QUAD D) R(s) =

ωω -> lim

(s+3)(s-jω)(s+jω)

s+3

R_2,1 R_3,1

• Polz c = 1 -> -3 Molt. 1
• Polz c = jω -> ν = 1
• Polz c = -jω -> ν = 1

e_i,1 = lim 1 s→-3 (u-1!) = lim

s+3 (s-jω)(s+jω)

lim ωω -> ωω s→-3 s² + ω²

-> ω

-2/3 -

(3j-ω) 3j+ω

(3j-ω)

-

IN MODOLO E FASE

Quindi:

f(s) = \(\frac{3}{s+3}\) +\(\frac{2-2s}{s^{2}+3s}\)→\(\frac{2-s}{s^{2}+3s}\)

a) Poi Risolvere comunque estesa delle matrici

8 = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\)

e = \(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

D = \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\)

x(0) = x₀ = (0 0 2)'

u(t) = (a e^3/2)δ₁(t)

Se u è un disturbo e:

x(t) = A x(t) + Bu(t) (1) y(t) = e x(t) + Du(t) (2)

Se u(t) trascurabile derivata L e x(0) = x₀

Allora: x(S) = (S I - A)^-1 x₀ + (S I - A)^-1 B u(S) = x(t)

Se U(S) = 0 --> x_p(S) = ((SI - A)^-1)^-1 x₀

Se X e = 0 --> x₀(S) = (S I - A)^-1 B u(S)

=> {x₀ e^(At) = ((S I - A)^-1)x₀} x₀(t) = x₀ (1/S) e^(AT) u(s^(t) + B u(S)) F.S.T

c₀=lim

3²→0

f(c₂) = 0

lim (x→0)¹ (3³6²27²)

2(3-1)(2-1)

lim_2→0

3²+6²22

(3-1)(2-2)3

lim

01 d

2 0 1 (3²6²22)

3 (2+2)2

lim_2→0

3³6²62

3(2)(1)

lim 2→1 lim

2→1

lim 8 1

3²2

e

lim 32+12+2

(7-2) (7-2)

57 = 3(7-2) 12+7 2 = 2⁶(7-2)(2(7-1)

7-8²)

32 (27³62²72

lim = lim 1 27

2 (3³6²16²)(76²)¹

lim_2→0 1

2^. lim_2→0

2+7²82

(7²7²)(3(7))

= 16+16=32 = 0

lim_2→0

3²3 (7³6²7²

lim_2→2 1 0

(3²6²7²

= lim 3³6²7²

9→2 3(7-1)

= -8+16-6 12 2 3

g+2 = 6 32(6-3

g = 2² − 2 -3

R(c²) = 1 3 1 + 2 1 → R(3) = 1 3 1

1 3 G(G-1) 3 G(7) G(3) G(3)³

f(x)

f(x) = 2⁻¹ {f(c₂) = 1

3 S^-1(c_x)

>(27+2(c²)(x_2-1)

Indisteto

Φ₀(k) = A^kTA^-k = TΦ_A(k)T^-1

Φ(t) = e^At=Φ(kt)^1/k

A^k = 0 se k>n

A^-1= (A^-1)^-k; TA^-kB se k≥1

Φ_A(k) = I

(e^Akω=e^A-kB=se k>0

T = T T T^-1

Φ(t) = e^At; T^-1

Φ(t) = e^AtT^-1

Λ(k) = Λ(k)

=> Studiavale nel caso di A diagonale simetoco

A è diagonale reale dei parecchi termi di T que T^-1r

n. parametro Te C^nxn;

- Inultin diagonale

Condizione caratteristica e sufficiente A si c.)

Condizione necessaria e sufficiente A necessengis'è che λ_l, distinti λ_i di A si deba Freddie:

P_A(A) = P_A()

μ_p = N - rank (λI-A)

Sole valere Penote

su di τ uno getn

Λ(n) = Φ

A_iw_i = λw_i

A_ni=.Framework hele

Molti di

Autoverloffure di A relazioni δ

LA RISPOSTA DEL SISTEMA

Vedremo si può ben n potrà scomporre x(t) e y(t) nelle somme di due termini:

• Risposta transitoria: l'uscita per un transiente, e dopo il sistema ≤ = con una "certa" condizione se ≤ si
• Risposta permanente: coincide con l'intera risposta perché ha lo stesso μ iniziale. Ad essa per non applicarsi a si utilizza come un però "risposta" di well internal.

Inoltre non ne è stata però scomposta x(t) e y(t) nelle due componenti. (3,4,1)

Il sistema

• x(t) = Ax(t) + Bu(t) è t.c
• y(t) = Cx(t) + Du(t)

RE(λ_i) < 0 ∀ i = 1,2,3 dove i sono gli autovalori definiti di A; b) la funzione u(t) ha L ≤ U(S) r, ≤ stat× propria e RE(λ_i) >=0 ∀ i = m,p, n dove i sono i poli di U(S)

Conseguì sono che A volesti condizioni di A che tra anche, poli di 1/2 U(S)

Avendo esecuto tale definizione:

x_p(t) = ∑_i e^i-1 (e^l _dit l^-1) x_ii t >= 0

x_p(t) = ∑_i l_i (^l/_u) _{l i} 2^i-1 x_iu t >= 0

ES. 3 INSIEME

A)

1) Det. traccia, det P_A(λ) o λ_i

tr = -1 √

det = -2 √

P_A(λ) = 0 * -> det (A - λI) = det

P_A(λ) = (λ - 1)(λ +2)

λ₁ = 1

λ₂ = -2 √

2) È invertibile => det ≠ 0

A^-1 = 1/2(1 0) √

(1/2 1/2 0 -1/2) √

3) Dire se è diagonalizzabile

DIAGONALE

Δ = (0 0 0 2)

è diagonalizzabile => T:

Ker(A - λI) = ker (0 1 0 -1) = Span {1 0}

Ker(A - λI) = ker (3 1 0 0) = Span {1 -3}

T = (1) (1) (0 -3)

I = (1 0 0 -3)√

I^-1 = 1/3 (-3 0 1 1) (1) (1 0 1/3 -1/3)

=> (1 0 1/3 -1/3)

(B) Tra le traiettorie ed uno stato di equilibrio x = α^* per un sistema dinamico autonomo: ẋ = f(x) , x ∈ ℝⁿ

1. STABILE
2. INSTABILE
3. ASINTOTIC STABILE
4. SEMI/STABILE
5. [cfr. 4, pag. 179 sis STI DIV]
6. Capacità di un sistema di rimanere effettivamente in uno stato di equilibrio. Tale configurazione è ATTR. HA
7. Un sistema non possiede la capacita di rimanere in uno stato di equilibrio nelle vicinanze.
8. Stato di equilibrio che sà la proprietá di STABILITÀ e di ATTRATTOR
9. Stato di equilibrio che e STABILE ma non ASINT STABILE
10. Curvare il S di ẋ(t) = x(t) u(t) x(0)=1 y(t) = x²(t) u(t)=segno(t)
11. Rilasciare il movimento dello stato e dell’uscita movimento VERBO pongo u(t)=0 FORTANTO pongo x(0)=0 u(t)=...

N.B. se si

ẋ(t) = A x(t)

1. STABILE ⇔ vale re (λ_i) ≤ 0 e se re (λ_i) = 0
2. ASINTOTICAMENTE STABILE ⇔ re (λ_i) < 0
3. INSTABILE ⇔ re (λ_i) > 0