Lezioni ed esercizi, Fondamenti di automatica

Name: Lezioni ed esercizi, Fondamenti di automatica
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Author: Betta_1991

Revisionato il 15/04/2026

di Betta_1991

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Appunti sull'intero programma di Fondamenti di Automatica e Controlli Automatici dei libri: Fondamenti di automatica di Tornambé; Sistemi dinamici di Grasselli-Menini-Galeani.Nel …

Esame Fondamenti di automatica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Carnevale Daniele

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2013-2014

120 pagine

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Estratto del documento

Espressione di funzioni monomi e polinomi

f(s) ha grado relativo > 0 se è una razionale propria. Grado relativo = deg(Q(s)) - deg(N(s)).

f(s) = e₀ + {f}(s)

dove e₀ = lim _{s → ∞} f(s) = 0 <=> f è una f. raz. propria.

{f}(s) = N(s) / Q(s), funzione razionale impropria.

Espressione di zeri e polii

f(s) = b_m(s-p₁)^l₁(s-p₂)^l₂(s-p_m)^l_m / (s-p₁)^l₁ (s-p₂)^l₂ (s-p_m)^l_m

Zeri di f(s) e polii di f(s):

f(s) = e₀ + ∑_j=1^m (c_ij / (s-p_i)^j)...

c₁/ (s-p₁)+ c₂/ (s-p₁)²...
c₁/ (s-p₂)+ c₂/ (s-p₂)²...

dove c_ij sono i residui relativi ai polii di f(s), generalizzati, cioè j=1..l, dove i = polii i-esimi. Residui relativi al polo p_i.

c_ij = 1/(m-l_j)! lim _{s → p_j} (d^m-l_j / ds^m-l_j) ((s-p_j)^mf(s))

Esempio 1: Espressione in funzione parziale

f(s) = - 3s/ (s³ + 865 + 285s + 71s⁶)

e₀ = lim _{s → ∞} f(s) = -3

F(s) = -3 + Σ

Espressione in frazioni parziali (Coussin).

F(s) ha grado relativo > 0 se è una razionale propria. Grado relativo = deg(Q(s)) - deg(N(s)).

f(s) = e₀ + f'(s) con e₀ = lim f(s) = 0 <=> la (ed) e = 0

f(s) = N(s)/Q(s), una raz. propria

f(s) = b_l(s-p₁)^l₁(s-p₂)^l₂(s-p_m)^l_m pol_i di f(s):

f(s) = e₀ + ∑_j=1^m c_ij/(s-p_i)^j con c_ij sono i residui relativi ai poli di f(s). Generalizzati. Con i=1..., j sono linear. Residui relativo al polo pi.

c_ij = 1/((m-j)!) lim

Esempio di espansione in funzioni parziali

f(s) = -3s³ + 5s² + 2s + 13 - s³ + 6s² + 11s + 6

f(s) = -3 + Σ

Parzializzazione di F(s):

F(s) = ⁸/_{s³+6s²+11s+6} → ^{s(6s²+6s+11) + 6/s}/_{(s+1)(s²+5s+6)} = s³+5s²+6s+5+6+5

F(s) = ⁸/_{(s+1)(s+2)(s+3)} → e_1,1 = lim_{s → -1} ES Quadnardiamo te prime dedal-o!

D) F(s) = ^4w/_{(s+3)(s+jw)(s-jw)} = ^R1,1/_(s+3) + ^R2,1/_(s-jw) + ^R3,1/_(s+jw) → R₀₀ 1 → 3 Molt. = 1 R₀₀ 2 → j&womega; v = 1 R₀₀ 3 → -j&womega; v = 1

e_1,1 = lim_{s → 3} ¹/_{s-jω (s-jω)} → ^dj/ds ^(4w)/_{(s-jw)(s+jω)} → lim_{s → -3} ^4w/_52+ω² → ^4w/_9-ω²

R_2,1 lim_{s → jw} ¹/_{sj-jω (s-jω)} lim_{s → jω} ^4w/_{(s+3)(s-jω) = 2jω} = ²/_3f → - ^(3j-ω)/_{(3j+ω)(3j+ω)} = ^(3j-ω)/_9+ω^-1

Formule e calcoli complessi

ρ = |z| - √(x²+y²)

θ = arctg(y/x) - arctg(y/(x))

Muro complesso Annullo | ω ²+9 ²/√(9+ω²)

θ = arg(z) (-³/_(ω))e^jθ)ρ₁ = ²/_√9+ω²

_{s → -jω}¹/_s-1+j)d°/d's'=^(s+3)(5-jω:/lim _{s → jω} ^4ωẏ/_{(3-jω)(3+jω)} = -_{3-jω^3-jω_(3+jω)_{3+jω/^{(4ωẏ)(3+j)(3-jω) =}^{1/j(3ω≤6) (2}_4+ω²

Il massimo e fase = ^-(3+jω)/_{[3-jω)(3+jω)]} /p = /2| /^9+tω²_{(²/9+ω³) = -}-²/√_9+tω²

θ = arctg(-³/_ω)ρ_3.1 = ²/_√^9+ω³ e^jθx(t) = [e^-3t + 2 ρ(ω) cos(ωt+θ)] δ_μ(t)

g) f(s) = ^{S² - 1}

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