Esercizi Fondamenti di automatica

Name: Esercizi Fondamenti di automatica
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Revisionato il 08/07/2026

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Esercizi di Fondamenti di automatica elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Alessandri, dell'università degli Studi di Genova - …

Esame Fondamenti di automatica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Alessandri Angelo

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2020-2021

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Esercizio TDS

n°1

Sistema SISO

Determinare funzione di trasferimento tra u e y

1 / s²1 + 1 / s²

1 / (s + 2)(s + 1) / (s²1

1 / (s + 1)(s²) + s²1 / (s + 1)(s²) + s + 11 / (s + 1)(s²) + s²

Determinare l’eq. di stato del sistema

T(s) = Y(s) / U(s)1 / s + 1 = Y(s) / U(s)

y(s) = -Y(s) + U(s)

ẋ₁ = -x₁ + u₁ẏ₂ = x₁

ẋ₂ = ^{0 1} _{0 0} x₂ + ^{0 1} u₂ẏ₂ = ^{1 0} x₂

ẋ₁ = -2x₁ + x₂ + u₂ẏ₂ = x₁ẋ₃ = ẋ₂ - ẋ₂ - ẋ₂ẏ = x₂

A = ^{2 1 0} _{0 0 1} _{1 -1 0}

B = ¹ ₀

C = ^{0 1 0}

Controllabilità

k_c = ^{1 -2 4} _{-2 0 1} _{0 1 -2}

det(k_c) = -1 ≠ 0rank (k_c) = 3Sist. controllabile

Esercizi T.D.S.

Esercizio TDS n°1

Sistema SISO:

Determinare funzione di trasferimento tra u e y₂
y = 1/s³+5s²+5s+1 = 1/(s+2)(s²+s+1)
= 1/(s+1)(s²) = 1/(s+1)(s²+s+1)
= 1/(s+1)(s+2)(s²+s+1) + s²
= 1/(s+1)(s+2)

b) Determinare l'eq. di stato del sistema.

T(s) = Y(s)/U(s) = 1/(s+1) = Y(s)/U(s)

→ s Y(s) = - Y(s) + U(s)

ẋ₁ = -x₁ + u₁

y₂ = x₁

ẋ = [0 1 0; 0 0 1; 1 -1 0] x + [0; 0; 1] u₂

y₂ = [1 0] x

ẋ₁ = -2 x₁ + x₂ + u₂

y₃ = x₁

x₃ = -u₂ = x₁ - x₂

A = [2 1 0; 0 0 1; 1 -1 0]; B = [1 0; 0 1]; C = [0 1 0]

c) Controllabilità:

Kc = [1 -2 4; 0 0 1; 0 1 -2]
det(Kc) = -1 ≠ 0
rank (Kc) = 3
Sist. controllabile

rank (k_o) = 3.

Sist. osservabile.

OKAY!

X₁ = X₂ + u₁X₂ = X₂ + X₃ + u₂X₃ = -2X₂y = X₁ + X₂

A = (^{0 1 0} 1 0 1 0 -2 0

B = (^{1 0} 0 10 ₀

c = ⁽1 1 0 ₎

a) Stabilità

det(λI - A) = |^{λ - 1 0} 1 λ-1 1 0 -2 λ| = λ|^{λ-1 1} -2 λ|

= λ[(λ-1)λ + 2] = λ³ - λ² + 2λ = λ(λ² - λ + 2)

λ² - λ + 2 = 0

λ = ^{1 ± √-1 - 8}/₂ = ¹/₂ + i^√7/₂ e λ = 0.

sistema instabile.

b)

k_c = |^{1 0 1} 1 1 -10 -2 -2|

Sist. controllabile.

determinante del minore ≠ 0

c)

k_o = |^{1 0} 0 2 0 2

⟨ det(k_o) = 4 ≠ 0. ⟹ rank(k_o) = 3

Sist. osservabile.

d) Determinare T(s) tra u₁ e y e tra u₂ e y.

T(s) = C (SI - A)^-1 B

SI - A = |^{s -1 0} &

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