Meccanica razionale - esercizi 3

2.

Un punto materiale P di massa m scorre su una guida OA di lunghezza L e massa M che può ruotare attorno all'estremo O. Sul punto P agisce una molla di costante elastica k > 0 che lo collega con la sua proiezione ortogonale H sull'orizzontale passante per O, mentre una seconda molla collega l'estremo A della guida OA con la sua proiezione ortogonale K sull'orizzontale passante per O. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilità.

3.

Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema dell'esercizio precedente, ipotizzando che sul punto P agisca una forza viscosa di costante λ > 0.

pt. 2

l = 2 q₁ = 5 q₂ = 8

V = -mglsinθ - (h_c²/2)sinθ + (1/2)ks₂l²sin2θ + (1/2)k₂l²sin²θ

V₅ = -mglsinθ + ks₂l²sin²θ

V_θθ = -mglcosθ - (h_c²/2)cosθ + ks₂l²cosθ⋅cos2θ + ks₂l²sinθ⋅cosθ = = cosθ(-mgl - (h_c²/2) + k(s₂+l₂)sinθ)

V_SS = k sin2θ > φ SEMPRE

V_Sθ = -mglcosθ + 2ksinθcosθ = cosθ(-mgl + 2k sinθ)

V_θθ= -sinθ(-mgl - (h_c²/2)sinθ ⋅ ks₂l²) + + cosθ(k cosθ (s₂+ l²)) =

= mglsinθ + (h_c²/2)sinθ + k (s₂ + l²)(cosθ - sinθ) = = mglsinθ + (h_c²/2)sinθ + k (s₂ + l²)(-2sinθ+1)

_dx^... _dj ^... _dx ^d_j ^... _dt ^... _dj

^d_x ^d_s = ^{- kṣ sin2θ + ₥cu₀θ}

^d_z ^d_θ = ^{H_Lc2 3 θ + ₥u s 2 θ - d} _dt ^d _{zj^... ( HLc 3 + ₥u² ) θ^..}

^d_x ^d_θ =¹₂ H²( c₀)^{2 - k2s sin2θ c₀θ - k2 sinθ c₀ + ₥u c₀θ = c₀θ ... (H₂ 2 k (s s₁ 2 )cu θ + ₥u c₀)}

(p-o)=ṣ(c₀sλθ...ṣi₤θĩ)

ν_p = ṣ(-θ'ãᶬλθ^..- θ₁ cṽj) + i (cṃ œθ - ṅiᶬθj)

Q_s = -λ ν_p ^{d dc} = -λ (s(-θΫωᵦθμθsäcos₀ )⁺ṣ) = -λ^j...

Q_o = -λ ν_p ^{d_p d}_θ = -λ (ṣ θ g²)= -λ^... g²

⤓

({mu s.. + ks sinθ2- λ{2 {sub} == -λ^...

({ HLc 3 + mu ^... )-j-q Nav 3{ =ϡλ^...

{}