Esercizi d'esame - Analisi matematica 2 - Parte 2

ESERCIZI D’ESAME

ANALISI MATEMATICA 2

ANNO ACCADEMICO 2016/2017

DI PROPRIETA’ DI IGNAZIO CELARDI

Esercitazione n°8 del 19/12/2008 pag. 34

Sia A = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁² + x₂² ≤ 9, x₁² + x₂² + x₃² ≤ 36, x₃ > 0 }

Allora ∫_A dx₁ dx₂ dx₃ = ?

Usiamo le coordinate cilindriche in ℝ³:

x₁ = ρcosϑ, ρ > 0

x₂ = ρsinϑ

x₃ = z, ϑ ∈ ℝ

J_(ρ,ϑ,z) = ρ > 0

Se ρ ≤ 3

ρ² ≤ 9

0 < ρ ≤ 3

z² ≥ 0

0 ≤ z ≤ √(36 - ρ²)

∫_A dx₁ dx₂ dx₃ = ∫_[0,3] ∫_{[0,√(36 - ρ²)]} ∫_[0,2π] ρ dϑ dz dρ =

= 2π ∫_[0,3] ρ dz dρ = 2π ∫_[0,3] √(36 - ρ²) dp =

= -2π ^{(t = 36 - ρ²)}

= π(24√36 - 54√3) = 18π(8 - 3√3)

Esercitazione n°7 del 8/10/2008 pag. 115

Sia A = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | |x| ≤ 1 }. Allora ∫_A e^{∥(x₁, x₂, x₃)∥²} dx₁ dx₂ dx₃ = ?

Applichiamo le coordinate polari in ℝ³:

x₁ = ρ sinθ cosφ, ρ > 0, 0 ≤ 2π

x₂ = ρ sinθ sinφ

x₃ = ρ cosθ, φ = 0, θ ∈ [0, 2π]

J_(ρ,θ,φ) = ρ² sinθ

| | x₁ | | ≤ 1 ⇒ ρ ≤ 1 ⇒ θ = φ = 1 ⇒ ρ = 0

∫_[0,1] ∫_[0,π] ∫_[0,2π] e^{ρ² sinθ} ρ² sinθ dϑ dφ dρ =

= π ∫_[0,1] ∫_[0,π] e^ρ² sinθ dϑ dφ dρ

e^-p2(1 - 3ln(7x3)₁^o) = e^-p2(1 - 3ln(4) + 3ln(3))

2π(1 + 3eu_⁽³⁾4)lim_{c ➔ +∞}

- 2π(1 + 3eu⁽³⁾₄)lim_{c ➔ +∞}

=

0

2π(1 + 3eu_⁽³⁾4)

Escitazione del 21/01/2010 pag. 133

A:= {(x₁, x₂) ∈ ℝ² | x₁ > 0, x₂ > 0}. Calcolare:

∫_A e^{-3(x₂2 + x₂2) x₁}/ _{(x1 + x2²)} dx₁ dx₂ = ?

Usiamo le coordinate polari in ℝ²

{x₁ = ρ cos Θ

x₂ = ρ sin Θ

p > 0

0 ≤ Θ < 2π

⇔

0 < Θ < π/2

∫_B e^-3ρ2 ρ cos Θ / ρ p dp dΘ

= [∫ _{0, +∞} (∫ _{0, π/2} [ e^-3p2 ]

= [ lim ∫_{c ➔+∞} e^-3p2 p dp

= [1/6]

Escitazione del 29/06/2010 pag. 139

A:= {(x₁, x₁ x₃) ∈ ℝ³ | x₁² + x₂² + x₃² ≤ 9, x₁², x₂² > x₂²}

Calcolare L₃(A)= ∫_A dx₁dx₂dx₃ ?

Usiamo le coordinate polari in ℝ³

{x₁ = ρ sin Θ cos φ

x₂ = ρ sin Θ sin φ

x₃ = ρ cos Θ

p > 0

0 ≤ Θ < π

0 < φ < 2π

Esercitazione del 9/02/2012 pag. 172

A = {(x₁, x₂) ∈ ℝ² | 0 ≤ x₁² + x₂² ≤ 1, 0 ≤ x₂ ≤ 3x₁}

Calcolari ∫_A (x₁² + x₂²)^-3/4 dx₁dx₂ = ?

Appliciamo coordinate polari in ℝ²

x₁ = ρcosθ x₂ = ρsinθ

ρ > 0

0 ≤ θ ≤ 2π

| J_T(ρ, θ) |= ρ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π/4

∫_0,1∫_0,π/4 1/ρ^5/6 ρ dρ dθ =

= ∫_{0, π/4} 2∫_0,1 ρ^-1/2 dρ

= π/4 [2 √ρ]¹₀ = 1/2

Esercitazione del 4/07/2012 pag. 175

A := {x = (x₁, x₂) ∈ ℝ² | ‖x‖ ≥ 1, min{x₁, x₂} ≥ 0}

Calcolari ∫_A min(x₁, x₂) (x₁² + x₂²)³ dx₁ dx₂ = ?

Usiamo le coordinate polari in ℝ².

{x₁ = ρcosθ

x₂ = ρsinθ}

con ρ > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π

| J_f(ρ, θ) |= ρ

ρ > 0

‖x₁ + x₂‖ = ‖x‖ = ρ ≥ 1

min{ρcosθ, ρsinθ} > 0

cosθ > sinθ ⟺ 0 ≤ θ ≤ π/4

cosθ < sinθ ⟺ π/4 ≤ θ ≤ π/2

∫_{[1,+∞] x [0, π/2]} min{ρcosθ, ρsinθ} ρ dρ dθ =

= ∫_{[1,+∞] x [0, π/2]} ρ⁴ min{cosθ, sinθ} dρ dθ =

= ∫_[1,+∞] ρ⁴ ∫₀^π/2 min{cosθ, sinθ} dθ dρ = *

risolviamo a parti

Esercitazione del 8/01/2014 pag. 202

A:= { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁² + x₂² + x₃² ≤ 9 , x₃ > 0 }

Calcolare ∫_A ^{x₁² + x₂ + x₃}/_x3 dx₁ dx₂ dx₃ = ?

Usiamo le coordinate polari in ℝ³

x₁ = ρ sinφ cosΘ

x₂ = ρ sinφ sinΘ

x₃ = ρ cosφ

con ρ>0, 0 ¹/₄}

Calcolare ∫_A

min{x₁ + ¹/₉x₂, (x₁ + ¹/₉x₂)²}? dx₁ dx₂ = ?

Usiamo le coordinate polari in ℝ²:

x₁ = pcosΘ

x₂ = 3p sinΘ

con p>0, 0