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1 giugno 2016
lama omogenea massa M
punto P massa m
coordinate lagrangiane Θ(t) e β(t)
1. Determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio del sistema e calcolare esplicitamente le coordinate del baricentro della lamina
- OP = (3a sinθ, a/4, 3a cosθ)
- OC = (3a sinθ, 0, 3a cosθ)
U = Uρ + UΠ 1 + Uρ 2
Uap +Mae) = (mpa, Mae, ζvasinθ , 0 ζ̇Mg, ζ̇mapw)
- ⇀ξme = (πw,Maxe, ζae3sinθ, 0 mpg ,mae)
- ⇀ξ: n3 3α sinθ, 0, 3α cosθ
MjFe2 + ca Mjapa2 + λec
∫⇀Fi2 OP M *Fi [3α sinθ θ̈]| (Ng ζe cosθ 0, -Mg ζz sinθ)
3α cosθ
FcL +i ξü
MP -> (0, -9ẋξ̇sinθŽcosθ, 0)
⇔ [0, ξθ, -3αρsinθcosθ, 0]
- ae +ae3a (α [xa, 3a
- MPD + ξÜ ßza[cn+mi3sup>X])(0, ξK
- ξ̈a 2β(η θ ƥ +xiä)
2 u̇
- λ - aλ = (0.2) (fα) 2 β1 = ə 2γa
[cosω̇](B+Cξ)
OP λ Mp e
- β = (π-γ)
- =(+)(π)Mξ = (m)
2. Scrivere le equazioni di moto del sistema
T = 1/2 [ẋ2 + ŷ2] + μ1 [β2(cosθ12 + β2(sinθ12) + β2 cosθ1 sinθ1/81] + 2π2
AE[ū] ȳ x [∫β1(cosθ12cosθ1 dy - ẋy21 dβ)/30
I0m + ȳ = 2 ⍴π δμ [Lly1/2 : Ull [β1 2/3 β1/3/323/821/2] + 190/1/6]
AE ⍴ [ ȳ ½ + π1β1μ] [32
Tome = T2/1ˣ1 + T2/2ˣ2 = 21774/40365 μe2
T = 1/2 ŧȳ΄ 21774/40365 μe2 ( ҷ̧̬ ɹ yȳ1ҕ + 729/611 ȴ ȳ≤2) (y)
lo/ dT/dt Ȳθ3 = Qo · 212 ÿ/405 μe2 + ω 2 β2 + β2ȳŨ
p/ μ = 2/264/̎38 β2y
3. Calcolare la sollecitazione vincolata dinamica interna ed esterna agente sul sistema, calcolare esplicitamente le coordinate del baricentro della lamina una lascura poi indicate le componenti delle forze di inerzia
(p) Fi Fe · mag ȧp ([ ҷ̼ȳ sinθi , ҷ̼ȳ sinθ2 - ҷ̼ȳcosθi - ȷ sinθi + ȷe sinθ2 ] '
ȷ34 ȷĥ (' cosθ x ÿȳ/ Ґ, ÿ ͠) · 2 ȷ̬Ϸ/61]
(9) T̬p Ξ - mg, ·
(7) ȷΞ &σp /ʍ = mȳᶥ
ɉm
-mg + Σp = m2
Σp ( maox, may ,maye, Σ maxe)
(4) Z/4 [3q21/2 = ( y5/ʃ eμ ÿ,i g ]
(Z/261 ɟ ÿg) ÷ y2 ÿȳd/ çәt
(3)32n>/4 dy
(3/5)(3/16) ȳg e2/30 Łʌ ʅee2/30
(3/332) d3 z 3 2 3 b( ƪπ )
3/1/2005
leuse ome gene masse M
punto masie m
su P
coordinate lagranske
Individuare la posizione del baricentro della lacuna e determinare tutte le posizioni d'equilibrio
A:
Ek
Y2
U:
Qφ
Qθ
θ
2θ
P
2. Scrivere le equazioni di Lagrange
Ts = 1/2 m vp2 + 1/2 m vp
Iuno = Iperno + Itavorto
Ttavorto = M/A πR2 - R02 + 1/2 πR
Iperno = iMtorat + Imumom = A – πR
Imoto = μAr/3 M/3
Imu = M/2 π4R2 - 1/2 4M μR2 = 1/2 4MR2 32/3 M2
v0 = (4 Rsinθ + Rcosθ ṙ + 4 cosθ θ Rsinφ Ṙ) 0
vp = (4 Rsinθ θ + Rcosθ ṙ, 4R cosθ θ, 0)
T = 16 R2 θ2 + ṙ2 - 8 R2 cosφ sinθ ṙ θ + 8R2 cosθ sinθ ṙφ
T = 1/2 1/2 MR2 4φ2 + 1/2 m 16R2 θ2 ṙ2 – 2R2 cosθ φ sinθ ṙṙ 8R2 cosθ sinθ ṙ φφ
0 = d/dt (∂T/∂θ) ∂T/∂r = Qθ
10m12θ + 16m12θ 4M122 θ2 − 4R cosθ cosθ ṙ θ + 8θ2 sinθ θ2 + 4m2 sinθ θθ 2θ + 2sinθ
intercept = 4m2 cosθ sinθ θ θ + 4m2 cosθ sinθ θθ + 4m2 cosφ cosθ θ θ θ − Qθ
+
3. Calcolare le reazioni vincolari internamente agenti sul sistema, interno ed esterno
intensa FFt + Fr = Θp = ω
Θp = ([4RCosθ - 4Rsinθ Rsinyī] + Rcosyyī - 4Rsinθ θ 4Rcosθ = Rcosyyī
2) = - L + 7RCosθ Rsinyī) Θp = mα̇
1) Fp = mα̇
2) Θp = mα̇
1) Θp = (maα̇ + L(4 RCosα̇ Rsinyī) - F0, maα̇, θF)
25/05/2021
- Scrivere le equazioni di moto
\[y = \mu_0 \int_0^l (l - \xi)^2 dy = \mu_0 \int_0^y \left( \frac{\xi^3}{3} \right) \Bigg|_0^y + \frac{1}{2} \mu c^2 \rightarrow \frac{2H}{2} \]
\[= \mu \left[ \frac{L^3}{3} + \frac{Ml}{2} + \frac{2 \mu}{3} \right] \quad \xi^{-1} = \right]= \mu \frac{l^3}{2} = \frac{L}{3} + \frac{Ll}{2} + \frac{l^3}{3}\]
\[I_{\eta} = \mu_0 \int \left( \frac{L^2}{3} \right) \xi^2 \cos^2 \beta \Bigg|dy = \mu \cos^2 \beta \left( L \frac{\xi^2}{3} \Bigg|_0^\xi \right)\]
\[\dot{Q}_{\beta} = \frac{d}{d t} \frac{dQ_{\beta}}{dy} = 0 \quad \frac{dQ}{dy} = 0 \to \mathit{F} \text{ conservativa}\]
\[U = U_{\varphi_1} + U_{\varphi_2} + U_{\eta} + U_{\beta} + U_{\gamma} = -Mg \frac{3}{5} l \sin \beta - mgy - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} l^2 + y^2 - \frac{2}{3} L y \sin \theta \right) \omega_{\varphi}^2 + U_{\gamma} + \frac{1}{2} M \cos^2 \beta \omega_{\beta}^2\]
\[Q_{y\beta} = \frac{1}{3} Ml \cos \beta + \frac{1}{3} kl y \cos \theta + \mathit{F} \cdot l \cos \theta - \frac{1}{2} Ml^2 \sin \beta \cos \theta \omega^2\]
\[\frac{\partial U}{\partial y} = mg - ky + \frac{3}{5} kl \sin \beta\]
\[T = \frac{1}{2} I_{y\beta} \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m v_{\gamma}^2 \quad \vec{v}_p = (0, \dot{y}_0, 0)\]
\[I_{\Theta} = \int_0^L l (l - 2)^2 dy = \frac{2}{3} l \int_0^l l^2 y^2 = \frac{1}{6} Ml^2\]
\[\mathit{T} = \frac{1}{2} \dot{\Theta}^2 \frac{3}{5} l^2 \omega^2\]
\[\mathit{L}_{\beta} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\beta}} \right) + \frac{dQ_{\eta\beta}}{d\eta} Q_{\xi} \quad \Rightarrow \frac{2}{3} ML \theta = \frac{1}{3} Mg \cos \eta + \frac{1}{2} l q \cos \beta + T \mathit{F} \cos \beta - \frac{2}{6} Ml^2 \sin \beta \cos \beta \omega^2\]
\[\mathit{L}_{\eta} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\eta}} \right) \Rightarrow mg - ky + \frac{1}{3} kl \sin \beta + Q_{\mathit{conserv}}\]
\[Q_{\mathit{conserv}} = \mathit{F_{\mathit{x}}} \vec{Q}_{\beta} - v_{\gamma}\]
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