Esercizi completi su tutti gli argomenti del corso di Fisica 1

ESERCITAZIONE 1

Equazioni fondamentali e necessarie:

1. x(t)=x₀ + V₀ (t - t₀) + ¹/₂ a (t - t₀)²
2. V(t)=V₀ + a (t - t₀)

es. b V₀ = 0 m/s, t₀ = 0s, V_f = 100 km/h = 27,8 m/s

v = at → a = V/t

t₁ = 5s → a₁ = V/t₁ = 27,8 m/s / 5s = 5,6 m/s²

→ x(t₁) = x₀ + V₀ (t - t₀) + ¹/₂ a (t - t₀)² = ¹/₂ a t₁² =

= ¹/₂ · 5,6 m/s² · 25 s² = 70 m

t₂ = 8s → a₂ = V/t₂ = 27,8 m/s / 8s = 3,5 m/s²

x₂ = ¹/₂ a t₂² = ¹/₂ · 3,5 m/s² · 64 s² = 112 m

V_m = x - x₀ / t = 1/t · ¹/₂ a t² = ¹/₂ a t = V/2 = 13,9 m/s

es. c

d = 1 km, V₀ = V_F = 0 m/s, a₁ = 2,5 m/s²

a₂ = -3,8 m/s², t = ?

d = V₁² / 2a₁|a₂| (a₁ + |a₂|)

V₁ = √(2d · a₁|a₂| / a₁ + |a₂|)

1)

• x(t₁) = S = 1/2 a₁ t₁²
• V₁ = a₁ t₁

2)

• d = S + V₁ (t₂ - t₁) - 1/2 |a₂| (t₂ - t₁)²
• V₂ = V₁ - |a₂| (t₂ - t₁) = 0 = (t₂ - t₁) = V₁ / |a₂|

1) S = 1/2 a₁ (V₁ / |a₂|)² = V₁² / 2a₁

2) d = S + V₁ V₁ / |a₂| - 1/2 |a₂| (V₁ / |a₂|)²

= V₁² / 2a₁ + V₁² / a₂|a₂| = V₁² / 2a₂|a₂| (a₁ + |a₂|)

= V₁ = (2d · a₁|a₂| / a₁ + |a₂|)^1/2

x__centro = 1,5 m   ω_p = π/4 s^-1

x(0) = 0,7 m,   v(0) = 6 m/s,

x(T/4) = ?   v(T/4) = ?

x(0) = 0,7 - 1,5 = -1,2 m

Se x_{centro max} e ^- 0

=> x(t) = x_{centro max} + A sin(ωt + φ)

• x(t) = A sin(ω_pt + φ) = -1,2 = A sin φ
• v(t) = ω_pA cos(ω_pt + φ) = 6 = π/4 A cos φ
• σ(t) = -ω_p² x(t)

=>

• A = -1,2/sin φ
• A • z_φ/π cos φ = 2z_φ/π cos φ

=> 2z_φ sin φ/π cos φ = -1,2 = tan φ = -1,2/2z_φ

=> φ = -0,756

=> -1,2 = A sin φ = A = -1,2/sin φ = 7,72 m

T/4 = 2π/ω_p = 2π/π/4 = 2s

x(z) = A sin(ω_p z + φ) = 7,72 sin(π/4 z + (-0,756))

= 7,63 m + 1,5 m = 9,1 m

v(z) = ω_pA cos(ω_p z + φ) = 0,9 m/s

ESERCITAZIONE

Es. 1: moto armonico, periodo T, \( \vec{V}(0) = v(0) \hat{u}(x) \)

1. eq. oraria e ampiezzo?

\( x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \quad o: \text{ attorno all'origine} \)

\( \omega = \frac{2 \pi}{T} \)

\( o \quad (t = 0) \implies x(t=0) = 0 = A \sin \phi = 0 \implies \phi = 0 \)

\( v(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A \frac{2\pi}{T} \cos\left(\frac{2\pi}{T} t \right) = 0 \quad t=0 \)

\( = v(t=0) = v_0 \implies v_0 = A \frac{2\pi}{T} \implies A = \frac{v_0 T}{2\pi} \)

\( \implies x(t) = \frac{v_0 T}{2\pi} \sin \left(\frac{2\pi}{T} t \right) \)

2. accelerazione del punto al primo ritorno?

\( v(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A \frac{2\pi}{T} \cos \left(\frac{2\pi}{T} t \right) \)

\( a(t) = -A \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \sin \left(\frac{2\pi}{T} t \right) \)

La freccia colpisce la mela!

es. 12

Canone su un piano inclinato, qual è il valore dell’angolo che consente la massima gittata?

\[ y = x \tan \alpha - \frac{1}{2} \frac{g \, x^2}{V_0^2 \cos^2 \alpha} \]

\[ y = \tan \beta \, x \Rightarrow \text{piano inclinato} \]

\[ \Rightarrow \tan \beta \, x = x \tan \alpha - \frac{1}{2} \frac{g \, x^2}{V_0^2 \cos^2 \alpha} \]

\[ \Rightarrow \tan \beta = \tan \alpha - \frac{1}{2} \frac{g \, x}{V_0^2 \cos^2 \alpha} \]

\[ \Rightarrow x = x_r = \frac{(\tan \theta - \tan \alpha) 2 \, V_0^2 \cos^2 \alpha}{g} \]

\[ \Rightarrow \mathcal{R} = \frac{2 \, V_0^2}{g \cos \theta} \, \cos^2 \alpha \, (\tan \theta - \tan \alpha) \]

\[ \Rightarrow \text{Si trova il massimo facendo} \, \frac{d \mathcal{R}}{d \alpha} = 0 \]

\[ = \frac{2 \, V_0^2}{g \cos \theta} \cos^2 \alpha \, \tan \theta - \frac{2 \, V_0^2}{g \cos \theta} \cos^2 \alpha \, \tan \alpha \]

\[ = \frac{2 \, V_0^2}{g \cos \theta} \, \left( \cos^2 \alpha \tan \theta - \cos^2 \alpha \tan \alpha \right) \]

\[ = \frac{2 \, V_0^2}{g \cos \theta} \, (-2 \sin \theta \cos \theta \tan \theta + 2 \sin \theta \cos \theta \tan \alpha - 1) = 0 \]

es. 9

V_o: 300 m/s, h_base: 10³ m, d = 5, 10³ m

a) d = ?

b) d = 30^o, h_max = ?, x_G = ?

x(t) = V_o,x t   =>   t = ^x(t)/_{Vo cos α}

y(t) = V_o,y t - ¹/₂ g t²

=>   y(x) = V_o sin α . ^x(t)/_{Vo cos α} -  ¹/₂ g ^x2(t)/_Vo²cos²α

y(x) = x(t) tan α - ^{g x2(t)}/_{2 Vo²cos²α}

h = x_G tan d -  ^{g x2}/_{2 Vo² cos²d}

x_G ^{sin d}/_{cos α} . ^{g x2}/_{2 Vo²cos²d} = h

=>  x_G ^{√ 1 - cos2d}/_{cos α} - ^{g x2}/_{2 Vo²cos²α} = h

=> ^{x_G√ 1 - cos2d . 2V_o cos d - g x_G2}/_{2 Vo²cos²α} = h

= >   2 V_o² x_G cos d √ 1 - cos²d - g x_G² = 2 h V_o² cos²d ....

f_a = (1 +₁)_m1 khx -> f_a(m₂ + m₁) - khx

= f_a = ^m₂hx/_{m2 + m1}

= ^{hx m₂}/_{m2 + m1} =

Devono fermo = = f_a < f_{a max} -> ns.m₂ g

= ^{ns m₂ g}/_{m2 + m1 x}

x_max = ^{ns m₂ g (m₂ + m₁)}/_{m2 w}

x_max = 0,627 m

es. 4

m_A = 2hq, m_B = 4hq, m_C = (hq

-m_C g + T_B

-m_C a, = T_A1 - T_A2 ->

mal, a + ma a - mg,

T_B = T₁ + m_A.a

m_C A + m_B - T₂

T₂ = T₁ + A₂

-m_p ^mg.a/sub> g

= m_C a + m_C g = T₉

- m_B.a - m_C g + m₂;

= -a (m_B + m_C + m_A) = m_C g - m_p g