Esercizi Analisi matematica 1

R

→ ±∞.

La funzione è derivabile in 1) e

(−∞, ∪ (1, +∞)

−∣x+b∣

⎧ e per x 1

⎪ >

−∣x−1∣

⎪ 2

(e +1)

′ ⎪

f −∣x+b∣

(x) = ⎨ −e per x 1.

⎪ <

⎪ −∣x−1∣ 2

(e +1)

⎪

⎩

′ ′

Quindi f 0 per x e f 0 per x 1), e f è strettamente

(x) > ∈ (1, +∞) (x) < ∈ (−∞,

decrescente per in 1] e strettamente crescente in Come già osservato,

(−∞, [1, +∞).

1 è un punto di minimo assoluto e non ci sono altri punti di estremo locale. Si ha

inoltre 1 1

′ ′ ′

f e f f ,

+ − +

(1) = (1) = − ≠ (1)

4 4

quindi la funzione non è derivabile in 1 e 1 è un punto angoloso.

′

La f è chiaramente derivabile in 1) e

(x) (−∞, ∪ (1, +∞)

−x+1

−x+1 (e −1)

⎧ e

⎪ per x 1

⎪ >

−x+1

′′ (e +1) 3

⎪

f (x) = ⎨ (e −1)

x−1

x−1

e

⎪ per x 1.

⎪ <

⎪ (e +1) 3

x−1

⎩

′′

Quindi f 0 per ogni x 1) e f è strettamente concava in

(x) < ∈ (−∞, ∪ (1, +∞)

e in Non ci sono punti di flesso. Si noti che f non è concava in

(−∞, −b] [1, +∞).

′ ′

perché si ha f f

R + −

(1) > (1). ′′

3

1(f ). f x 4)x log x. L’utilizzo di f è facoltativo.

(x) = (log + ∞

Non vi sono simmetrie né periodicità, dom e f C

● (f ) = (0, +∞) ∈ (dom (f )).

−4

f 0 x e

● (x) ≥ ⇔ ∈ (0, ] ∪ [1, +∞).

+ ′ 2 2

lim f 0 , lim f f x)(log x 8 log x 12) per

● (x) = (x) = +∞, (x) = (log + +

+ x→+∞

x→0 ′

x 0 e lim f quindi non possono esserci asintoti obliqui.

> (x) = +∞,

x→+∞

′ −6 −2

f 0 x e ,

● (x) ≥ ⇔ ∈ (0, ] ∪ [e +∞).

−6 −6 3

2⋅6

e risulta essere punto di massimo relativo, con f .

(e ) = 6

e

−2 −2 16

e risulta essere punto di minimo assoluto, con f .

(e ) = − 2

e

′′ ′′

2

4

f x)(log x 6 log x 6)] per x e lim f

R

● (x) = [(log + + ∈ (x) = +∞.

x x→+∞

√ √ √ √

′′ −3− −3+ −3− −3+

3 3 3 3

f 0 x ,e quindi f è convessa in , e

● (x) ≥ ⇔ ∈ [e ]∪[1, +∞), [e ]

√ √

−3− −3+

3 3

e in e f è concava in e e in , 1]. Ci sono tre punti

[1, +∞) (−∞, ] [e

√ √

−3− −3+

3 3

di flesso: e ,e , 1.

12 √ ∣x∣

1(g). f (x) = x 2

+

domf e f è continua in domf .

R

= ∖ {−2} = (−∞, −2) ∪ (−2, +∞)

f 0 se e solo se x 0 quindi 0) è l’unico punto di intersezione del f con gli

(x) = = (0,

assi cartesiani. Inoltre,

f 0 2 0) 0) x 0) .

(x) > ⇔ (x + > ∧ (x ≠ ⇔ ∈ (−2, ∪ (0, +∞)

±

Asintoti: f per x , quindi x è un asintoto verticale da destra

(x) → ±∞ → (−2) = −2

±

e da sinistra; poiché lim f 0 , y 0 è un asintoto orizzontale per x

(x) = = → ±∞.

x→±∞

La f è derivabile in 0) e

(−∞, −2) ∪ (−2, ∪ (0, +∞)

− 1 1

1 x 2) a∣x∣

2 2

∣x∣ (x + − x(2 x)

∣x∣

′ −

2

f per x R

=

(x) = ∈ ∖ {0, −2}.

3

2

2) 2

2∣x∣ 2)

(x + 2 (x +

f non è derivabile in x 0, che è un punto di cuspide:

= 1 1

1

1 2 2

′

′ ∣h∣ ∣h∣

e f lim .

f lim −

+ = +∞ (0) = = −∞

(0) = −

+ h h 2 h h 2

h→0

h→0 + +

′

Per x f 0 se e solo se x(2 x) 0 ovvero x 2, e quindi 2 è

R

∈ ∖ {0, −2}, (x) = − = =

′

l’unico punto critico di f . Inoltre f 0 se e solo se x(2−x) 0, ovvero 0 x 2.

(x) > > < <

Perciò f è strettamente crescente in 2], strettamente decrescente in

(0, (−∞, −2],

in 0] e in Quindi, 0 è un punto di minimo locale e 2 è un punto di

[−2, [2, +∞).

massimo locale (non sono punti di estremo assoluto perché la f non è limitata né

inferiormente né superiormente).

√ 2

3

1(h). f 3)(x 3)

(x) = (x − +

dom f 0 per x f 0 per x 3; f

R;

(f ) = (x) = = ±3; (x) > > (0) = −3.

Asintoti: poiché √ 2

3 3)(x 3)

(x − +

lim 1,

=

x

x→±∞ √

√ 2

3 3

3

3 2 1]

lim 3)(x 3) x lim x ) (1 )

(1 −

(x − + − = [ +

− x x

x→±∞ x→±∞

√ 3 1 1 1

3

lim x 1 o( 1] lim x o( 1,

(

= [ + + ) − = + )) =

2 2

x x x x

x→±∞ x→±∞

y x 1 è un asintoto obliquo per x

= + → ±∞.

La f è derivabile in e

R ∖ {±3} x 1

′ −

f per x

(x) = ≠ ±3.

2/3 1/3

3) 3)

(x − (x +

La f non è derivabile f in ±3:

′ ′

lim f e lim f

(x) = ∓∞ (x) = +∞,

±

± x→3

x→(−3)

ovvero f ha una cuspide in e un punto a tangente verticale in 3.

−3

′

f 0 se x 1 (punto critico di f ). Più precisamente,

(x) = =

′ ′

f 0 in 3) f 0 in 1),

> (−∞, −3) ∪ (1, ∪ (1, +∞), < (−3,

quindi f è crescente in e in e decrescente in 1]. Perciò x 1 è

(−∞, −3] [1, +∞) [−3, =

un punto di minimo relativo (non assoluto perché f non è limitata inferiormente).

13

1

1(i). f 2∣ e x−3

(x) = ∣x −

dom f è continua e derivabile nel suo dominio; f 0 per ogni

R

(f ) = ∖ {3}; (x) ≥

x 3. Poiché

≠ 1 1

lim 2∣ e 0, lim 2∣ e

x−3 x−3

∣x − = ∣x − = +∞,

− +

x→3 x→3

x 3 è un asintoto verticale destro per f . Per x

= → ±∞,

1 1+o(1) 1+o(1)

2∣ e 2∣ 2) 1) o(1),

x−3

∣x − = ∣x − (1 + ) = ±(x − (1 + ) = ±(x − +

x−3 x−3

quindi y 1) sono asintoti obliqui per x

= ±(x − → ±∞.

Osservando che, per x 3,

≠ ′ 2

x 2 x x 11

− − +

1 1 1

e e ,

2) e x−3 x−3 x−3

) = (1 − ) =

((x − 2 2

3) 3)

(x − (x −

si ha che −x+11

2 1

⎧ x e se x 2, x 3,

⎪ x−3 > ≠

′ (x−3)

⎪ 2

f (x) = ⎨ −x+11

2 1

x e se x 2.

⎪ x−3

− <

⎪ (x−3) 2

⎩

Poiché 2

x x 11 1

′

′ − + 1

f lim e ,

f lim x−3

± ±

(x) = = ±

(2) = ±

± 2

3) e

x→2

x→2 (x −

f non è derivabile in x 2, che è un punto angoloso.

= √

12

2

Si ha che x x 11 0 se e solo se x 5). Essendo

− + = = (7 ±

√ √

12 1

2 5) 3 5),

< (7 − < < (7 +

2 √

1

si vede che f è decrescente in 2), crescente in 5)), decrescente in

(7 −

(−∞, (2, 2

√ √ √

12 12 12

5), 3) e in 5)), e crescente in 5), Pertanto x 2

( (7 − (3, (7 + ( (7 + +∞). =

√ √

12 1

e x 5) sono punti di minimo relativo, mentre x 5) è un punto di

= (7 + = (7 −

2

massimo relativo. Essendo f 0 f per ogni x 3, x 2 è anche un punto

(2) = ≤ (x) ≠ =

√

1

di minimo assoluto (x 5) non è un punto di massimo assoluto poiché f

= (7 −

2

non è limitata superiormente).

√ −2x 1∣

∣e −

1(j). f (x) = −2x

e 2

− −2x 12

La funzione è definita fintanto che e 2 0: dom log 2}.

R

− ≠ (f ) = ∖ {−

− +

12 12

Poiché f per x log 2) e f per x log 2) , la f

(x) → +∞ → (− (x) → −∞ → (−

12 1

ha un asintoto verticale in log 2. Inoltre f per x e f 0

− (x) → − → +∞ (x) →

2

1

per x quindi y e y 0 sono asintoti orizzontali per, rispettivamente,

→ −∞, = − =

2

x e x

→ +∞ → −∞. 12

La funzione è derivabile in log 2, 0} e

R ∖ {− −4x

e

′

f se x 0,

√

(x) = − >

−2x −2x

2

2) 1∣

(e − ∣e −

−4x

e 1

′ se x 0, x

f log 2.

√ < ≠ −

(x) = −2x −2x 2

2

2) 1∣

(e − ∣e −

1 1

Perciò f è crescente in log 2 e in log 2, 0) e decrescente in In

(−∞, − (− (0, +∞).

2 2

particolare x 0 è punto di massimo relativo con f 0. Si tratta di una cuspide:

= (0) =

′ ′

lim f lim f

(x) = +∞, (x) = −∞.

+

−

x→0 x→0

14 ′′

2

1(k). f log(x 4x 4) (usare f )

(x) = ∣x∣ − + +

dom La retta x è un asintoto verticale:

R

(f ) = ∖ {−2}. = −2 2

lim log(x 4x 4))

(∣x∣ − + + = +∞;

±

x→−2

Non ci sono asintoti orizzontali né obliqui: 2

log(x 4x 4)

∣x∣ − + +

2

lim log(x 4x 4)) e lim

(∣x∣ − + + = +∞ = ±1,

x

x→±∞ x→±∞

ma 2 2

lim log(x 4x 4) x) lim log(x 4x 4))

(∣x∣ − + + − = ( − + + = −∞,

x→+∞ x→+∞

2 2

lim log(x 4x 4) x) lim log(x 4x 4))

(∣x∣ − + + + = ( − + + = −∞.

x→−∞ x→−∞

La f è due volte derivabile in 0} e

R ∖ {−2,

⎧ x

2 se x 0

1

⎪

′ = >