Esercizi Analisi 1

Tutorato 23/12

1. ∫ 1/(x+1) 2^x dx = ln|senx + x²/3| + c

Nun è lo derivato del pece

2. ∫ 2x e^2x - e^x dx

2x è lo derivato dell'esponente

∫ x³/√(1-x²) dx = ∫ u du = u³/3 + c = 1/3 arcosin³(x) + c

arcosinx = u

du = 1/√(1-x²) dx

∫ 3x + 1 / x² + x+1 dx =

Divisone to polinomi

Analazo ∫ 3x+1 / x²+x+1 dx

Voglio al nun la derivata del pece

= 2/3 ∫ (2x+1/x²+x+1 + 2/3 (7/3) * x/x²+x+1 - 7/27/x²+x+1) dx = 2/3 [ ∫ 2x+1/x²+x+1 dx + 2/2 ∫ 1/x²+x+1 dx]

_{Δ = b² - 4ac} = 1 - 4 * 1 * 1 = -3 < 0

^{2/3, 2 1/3} arctan (2 x + 1/√-3)

\(\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2\cdot x + 1}{\sqrt{6-3}}\right) = -\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\)

\(= 3x - \frac{3}{2} \ln\left|x^2 + x + 1\right| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c\)

\(\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 64 = -48 < 0\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c\)

\(\int \sqrt{u} \, du = \int (4x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{4x+1}{3/2} + c\)

\(\frac{1}{\cos^2 x} = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \)

\(\int \tan x\)

\(= \int \cos x \, dx - \int \cos x \sin^2 x \, dx = \sin x -\frac{1}{3}\sin^3 x + c\)

\(u = \tan x; \, du = \sin x \, dx\)

\(\int \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 + x}} \, dx\)

= _-2∫⁰{∫_t²e^ztdt} - ∫_-2⁰{∫_-1^ze^ztdt} + ∫_-2⁰{∫_-1^ze^ztdt}

- ∫_-2⁰(t²t - t - 1)e^zt + ∫_-2^te^zt

- ∫_-2^t {(t²t + t + 1)e^zt - (z(t + 4)e^zt + e^t)}

= ¹₂ + e^-2(^{4 + 3}₂ + ^-1₄) - e^-4(⁵₂ + ⁵₄ + ¹₄)

= ¹₂ + e^-2 - e^-4 (^{10 + 5 + 4}₄) - ^{1 + e-2}₂ - 4e^-4 + C

Calcolare il seguente limite: lim_x→0 x² ∫_y^{1 - 8√x} ∫₀^x

Taylor

f(x) = f(0) + f'(0)x + ¹₂f''(0)x² + ¹_3! f'''(0)x³

Sic Ψ(y) = ∫₀^x e^y dy → f(0) = 0

f'(0) = D (∫_{x = 0}^y e^y dy) ^ex2_{x = 0} = 1

Teorema fondamentale del calcolo integrale

f''(0) = D (e^x2_{x = 0}) = 2x· e^x2_{x = 0} = 0

1D [₃³log(e^2x + e^x + 1) - ₃arctan(² ₃e^x + ¹ ₃) + C]

= ¹ ₃(^2ex _{2e^x + e^x} - ¹ ₃   (4 + (2e^x + 1)² ) - ² ₃ e^x)

= ^2ex _{e^2x + e^x + 1} - ² ₃( ^2ex _{(e + 4e^x + 4)} ) = ^2ex _{e^2x + e^x + 1} - ^dx • _e^x

= ^2ex _{e^x + e^x + 1}

Divido per 2 ricordando ¹ ₂ davanti la derivata:

= ^e-xex _{e^2x + e^x + 1 + e ^x + 1 ^ex}

= e-xex - 1+ex+1 ex

= ^{ex/2 + e-x/2 + ex/2 + e-x/2}  /2 => cosh x + sinh x / 1 + 2 cosh x