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CURVE
1) P(t) = (cos t, et/π), t ∈ [0, 2π]
- Curva chiusa? P(0) = (1, 1), P(2π) = (0, e2) non è chiusa
- Curva semplice? Sì
u: [0, 2π] → ℝ, funzione cost e iniettiva : et/π, x → ex è iniettiva
⇒ P(t1) = P(t2) (⇒) cos t1 = cos t2
t1, t2 ⇒ t1 = t2
Curva regolare? continua
P'(t) = (-sin t, 1/π et/π) ≠ (0,0) ∀t ∈ [0, 2π]
⇒ Es. due fmi sono di classe C1 ⇒ curva regolare!
Sostegno: studiamo x(t) = cos t
y(t) = et/π
2) P(t), x y = (x2 + y2)2
x y ≥ 0, sostegno di P sono contenute nel 2o e 3o quadranti
> cosideriamo un' equazione parametrica
- x = ρ cos , ∈ [0, π]
- y = ρ sin , ρ ≥ 0
ρ2 cos sin = ρ4 ⇒ ρ2 cos sin = ρ2 = 1/2 sin 2, ρ = √(sin 2 / 2)
equazione di ρ: ρ = √sin 2/2, ∈ [0, π] ∪ (π, 3π]
- Sostegno di ρ -1: studiamo
- ρ(θ) = 1/(1 - sen2θ)
Tra parentesi piu definiamo la somma di due curve (anche ρ é definita tra due intervalli disgiunti)
f(θ) = P[Σ]; f(π) = P(π)
P non é semplice
- Regolarità? P' (θ) = √2 ((sen2θ)2 )cos2θ
- | P'(θ) | = √2 ( ( (sen2θ)2) + cos2θ)1 - sen2θ = 1/co(s2θ)(1/sen2θ) = 1/(sen2θ + cos2θ)= 1/(1 - sen2θ)
- ∀θ ∈ (0,π/2) ∪ (π/2,π)
ρ(θ) é l'unione di due archi aperti, quindi ci bisogna appassare a partire
- 3) P(t) = (1-t2 - 1, t3) t∈ (-1,1)
- ρ(t) = (0,-1) -> non e' chiusa
- p(t) = P(t-1) (ι) | t1 + 1 = t2 - 1 |t3 = t3 -> e' iniettiva, t1 = t2
- tε(-1,1) P(t) = (-t2 + t3) e' di caluro C1P'(t) = (-t, 3t2) P'(t) = (0,0) (t = 0)
Sostegno:
- x(t) = -1-t2
- y(t) = t3
- P(ε)
- per t = 0 vi e'uno spunto
- il sostegno é simmetrico rispetto all alve.
s)
ρ = 2 + cosθ, θ ∈ [0, 2π]
Pe' di classe C1
- ρ ≥ 1 ⇒ non passa mai per l'origine
- Regolare
- Se pulce
- Chiuso
-r2cos2sen (2cos + sen)
m =
p→0 2 (p cos x pr sen233/R
-cos sen (cos + sen) = -cossen(cos + sen)
m = 2 (1+ cos2)
p→0
Il limite dipende da , quindi f non è
2) ,)=
(x,y) ≠(0,0)
ℓ(x,y)=(0,0)
ℓ,0 =0 ∀x
∃(0,0)=0
,0 =0 ∀y ⇒ ℓ(0;0) =0
(0,0)=(0,0)
m
ℓ(0,+k) - ℓ(,0) - <(0,0), (h,k) > =0
(hk) →(p,0)
+ k2
= ℓm
= ℓm
+ k2
= ℓm
p√|p| arg√|1|cos3 sen|
= ℓsub>m
p→0
ℓp arg V|cos3 sen|=0 ∀s ]0,2[::
1/2 arg pl V|cos3 sen − ℓ h. lag pl dove h=max √|cos3 sen| sec,)
→0
lim H2pl log pl =
= ℓ[xy] la differenziabilità in (0,0)
in unisce le continue e ammette derivate
continued 0 = 0
→ ℓ000. x0 = 0
000→0
→ ℓm
→ (x0,0;+k)
→ = ℓ (v,0)
)(x0,0)
k pℓ √lk
lim √lk(log (v+l) =0
se x0 ≠ ±1
emite (p)da di cuspide
se x0 =± 1 lime √lk e log (1+k2)
(+k2)
-ℓm
0
0 √lk
log (x-1k2) /k
-1 unite noteovoce
1) f(x,y) = 1/2 y3 (y-x2)
∂x = 1/2 y3 2 (y-x2) (-2x) = -2 y3 x (y-x2)
∂y = 1/2 3 y2 (y-x2) + 1/2 y3 2 (y-x2) = y2 (y-x2)[3/2(y-x2) + y] = y2 (y-x2)[5y-3x2]
y3 x (y-x2) = 0
(=>) y=0 ory=0 or y=x2
y2 (y-x2)(5y-3x2) = 0
15y4=0 or0=0
=) PUNTI STAZIONARI :
(x,0) ∀x
(x,x2) ∀x (infiniti punti stazionari)
gli estremi si calcolano con l'equazione dei segni :
x=0∀x
x=x2 ∀x
=> i pti (x,x2) sono pti di MINIMO LOCALE ∀x≠0 eccessione di (0,0).
i pti (x,0) e (0,0) sono PUNTI SELLA
⇒ pti dentro parabola (x,x2) non sono pti di MINIMO
perchè l'angolo rispetto ad y è ammetto e
poi con il prob. di 2 colomme ugualmente posittive
• Considero la seguente RESTRIZIONE A={(x,y),x2≤y≤2}
y = x2 y=2
• è l’insieme A è chiuso e ammetto
per il T. di Weierstrass ha ⋀ e MIN ASSOLUTI
• in A non ci sono pti di MAX e MIN LOCALI, neemo pti di MAX e MIN assoluti,
che estistano nel bordo e
sue due borde di curvo sono massimi di probbled at deviationo
discontinue er stazionare (+)
avviezienta LA FUN RIPETTO ASSOLUTO
⇒ IL MAX ASSOLUTO ASSUNTO IN ∀ .
1) il MIN ASSOLUTO ASSUNTO IN A :
min f(x,y)=0 se ∂(x, x2) ∈ A
2) il MAX ASSOLUTO ASSUNTO IN A :
max f(x,y)=f(x, x2)=2(4-2x2+3x4)
x, y ∈ A
-∞ 0
Eserc. f(x0), x0=1) = 2 → -∞ → f HMIN ASSOLUTO h→∞
1) f(x,y) = arctan(6x+x2)+\frac{1}{4}y2-6y
a) Determinare HAX e HMIN assoluto nel suo dominio
b) Determinare HAX e HMIN assoluto mettendole T:(0,0),(0,6),(-6,0)
DOMINIO: R2 Th. di Fermat:
- 1) FRONTIERA ϕ
- 2) PUNTI DI NON DERIVABILITÀ ϕ
- 3) PUNTI CRITICI
fx = \frac{1}{1+(6x+x2)2} ⋅ 6x = 0 → 6x=0 x=0 x=-3
fy = 2y-6=0 (→) y=3
fxx = \frac{2(1+(6x+x2)2)-(6x+2) ⋅ 2(6x+x2)(6+2x)}{(1+(6x+x2)2)2}
fyy=2 fxy=fyx=0 Hgf(-3,3) = \(a \ 0 \ 0 \ 2)
det Hgf(-3,3)=\frac{2}{a}>0 anche fxx > 0 →(-3,3) PUNTO DI HMIN RELATIVO
b)
- 1) f(x,0)=arctan(6x+x2)=t1(x) [-6,0]
t1(x)=\frac{1}{1+(6x+x2)2(6+x)=0 (→) x=-3 PUNTO DI HMIN ASSOLUTO
- 2) f(0,y)=\frac{1}{4}y2-6y=t2(y) [0,6]
y=3 PUNTO DI HMIN ASSOLUTO
- 3) f(x,y)=f(x,t16)=arctan(6x+x2)+(x+6)2-6(x+6)=t3(x) [-6,0]
t3(x)=\frac{1}{1+(6x+x2)2(6+x)+2(x+6)-6=0
\frac{1}{2π+6}[\frac{1}{+{1+(6x+x2)}2}+1]=0 (→) =2x+6=0 (→)→ x=-3
f(6.0)=0 f(0,0)=0 f(0,6)=0 MAX ASSOLUTO (-3,3)
f(-3,0)=arctan(-9) f(0,3)= -9 f(-3,3)=arctan(-9)+HMIN ASSOLUTO
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