Esercitazioni ed esami Analisi matematica 2

Z Z

i) R

2 2 2 2

{(x, 2    

(x + y ) dx dy, A := y) : 0 y x , 0 x 2};

A

Z Z

ii) R 2

{(x, 2    

(sin(x) + cos(x)) dx dy, A := y) : 0 y ⇡/2, 0 x ⇡/2};

A

Z Z p

iii) R

2 2 2

{(x, 2    

xy dx dy, A := y) : 0 x 1, x y x};

A

Z Z y

iv) R

x 2 2

{(x, 2    

e dx dy, A := y) : 0 x 1, x y x};

x

A

Z Z

v) R

2 2

{(x, 2    

(xy + y ) dx dy, A := y) : 0 x 1, 0 y x};

A

Z Z p

3

vi) R

y 2

{(x, 2    

e dx dy, A := y) : 0 x 1, x y 1};

A

Z Z sin(x)

vii) R 2

{(x, 2    

dx dy, A := y) : 0 y ⇡/2, y x ⇡/2}.

x

A 1

Esercizi di Analisi Matematica II

(Con (*) sono denotati gli esercizi ritenuti più impegnativi.)

1. Calcolare i seguenti integrali doppi (eventualmente, utilizzando un opportuno cambiamento

di coordinate):

ZZ

i) R 2 2 2

{(x, 2    

xy dx dy, A := y) : 1 x + y 4, 0 y x};

A

Z Z 2 2

ii) R

x +y 2 2 2

{(x, 2 

e dx dy, A := y) : x 0, y 0, x + y 1};

A

ZZ

iii) (*) quadrato di vertici ⇡ ⇡ ⇡ ⇡ ⇡

, , 0, , , ;

cos(x y) sin(x+y)dxdy, A = (0, 0), 4 4 2 4 4

A

ZZ

iv) (*) R

2 2 2 2

|x|y {(x, 2 

dxdy, A := y) : 4x + y 1};

A

ZZ 2

y

v) (*) R 2 2 2 2 2

{(x, 2     }.

dxdy, A := y) : x y 2x , y x 3y

x

A

2. Calcolare il volume dell’ellissoide

n o

2 2 2

x y z con

R 3

2 

E = (x, y, z) : + + 1 , a, b, c > 0.

2 2 2

a b c

3. Ricordiamo che:

• un insieme si dice definito per fili (o anche semplice rispetto ad uno degli assi)

R 3

⇢

A

se è del tipo {(x, 2   }

A = y, z) : (x, y) E, g (x, y) z g (x, y)

1 2

dove è un insieme misurabile, e con (in questo caso

R 2 0

⇢ 2 

E g , g C (E) g g

1 2 1 2

l’insieme è semplice rispetto all’asse z);

• un insieme si dice definito per strati se è del tipo

R 3

2 2 2

A = (x, y, z) : z [a, b], (x, y) A z

dove, per ogni è un insieme misurabile.

R 2

2 ⇢

z [a, b], A z

Rappresentare per fili e/o per strati (come sembra più semplice) i seguenti insiemi di :

R 3

i) semisfera di di centro l’origine e raggio compresa nel semispazio

A = r z 0;

ii) cono di raggio altezza asse sull’asse base nel piano e vertice nel

A = r, h, z, (x, y)

semispazio z > 0;

iii) tetraedro di vertici

A = (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);

iv) cilindro di raggio altezza asse sull’asse base inferiore sul piano

A = r, h, z, (x, y).

1

4. Calcolare:

ZZZ

i) xz

xye dx dy dz,

A

dove R 3

{(x, 2      

A := y, z) : 0 x 2, 1 y 3, 0 z 1};

ZZZ

ii) xyz dx dy dz,

A p

dove R 3 2 2

{(x, 2      

A := y, z) : 0 x 1, 0 y 1, x + y z 2};

ZZZ

iii) xzdxdydz,

A

dove R 3

{(x, 2 

A := y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1};

ZZZ

iv) nei due casi:

2 2

(x + y )dxdydz,

A cono con base e vertice

R 3 2 2

{(x, 2

A = y, z) : x + y = 1, z = 0} (0, 0, 1)

oppure sfera (piena) di centro l’origine e raggio

A = r;

v) volume di R 3 2

{(x, 2       };

A := y, z) : 0 x 1, 0 y 6, 0 z 4 x

vi) volume di R 3 2 2

{(x, 2   

A := y, z) : x + y z, 0 z 1}.

2

SOLUZIONI ESERCIZI CURVE 2

Esercizio 1

Calcolare la lunghezza della cardioide, la curva parametrizzata da 2

↵(✓) = ((1 + cos ✓) cos ✓, (1 + cos ✓) sin ✓) ✓ [0, 2⇡].

Calcolare l’ordinata del baricentro della cardioide.

Soluzione. Osservare dapprima che la curva è scritta nella forma

↵(✓) = (⇢(✓) cos ✓, ⇢(✓) sin ✓),

p p

0

||↵

con ⇢(✓) = (1 + cos ✓). Si ha (✓)|| = 2 1 + cos ✓. Quindi

Z Z Z

p p

2⇡ 2⇡ 2⇡

0

||↵ |

l(✓) = (✓)||d✓ = 2 1 + cos ✓d✓ = 2 cos(✓/2)|d✓

0 0 0

⇣Z Z ⌘

⇡ 2⇡

=2 cos(✓/2)d✓ cos(✓/2)d✓ = 8.

0 ⇡

L’ordinata del baricentro si trova tramite

R Z p p

2⇡ h i

0

↵ (t)||↵ (t)||dt 1 2⇡

2

0

y := = [(1 + cos ✓) sin ✓] 2 1 + cos ✓ d✓ = ... = 0.

G l( ) 8 0

Esercizio 2 2 2

Data la curva di parametrizzazione (t) = (t 1, t + t, t + 1), t [0, 8], calcolare l’integrale di

R

linea f dove f è la funzione definita da

˜ q 1

f (x, y, z) = y x 1 + (z x)

4

e ˜ è l’arco della curva che congiunge (0, 2, 2) a (2, 12, 4).

Soluzione. Cerchiamo t e t tali che (t ) = (0, 2, 2) e (t ) = (2, 12, 4). Si ottiene t = 1 e t = 3.

1 2 1 2 1 2

Quindi Z Z Z p

⇣ ⌘

1 1 2

3 3 3

3

0 2

2 ·

f = f ( (t))|| (t)||dt = t + 4t + 4t + 3dt = (4t + 4t + 3) .

2

2 8 3 1

˜ 1 1

Esercizio 3 3 2 2

⇢

Si consideri la curva R intersezione tra la superficie cilindrica di equazione y + 4z = 4 e

3 3 2 2

{(x, 2 !

l’insieme di livello y, z) R : g(x, y, z) = 0}, con g : R R definita da g(x, y, z) = x y + z .

Derivare una parametrizzazione di . 3

!

Soluzione. Una parametrizzazione di è data dalla mappa ↵ : [0, 2⇡] R

⇣ ⌘

2 2

↵(t) = 4 cos t sin t, 2 cos t, sin t .

2 2 2 2

()

(Osservare che y + 4z = 4 (y/2) + z = 1, quindi possiamo parametrizzare y/2 = cos ✓ e

2 2

z = sin ✓. Da x y + z = 0 otteniamo quindi la parametrizzazione anche per x).

1

Esercizio a

fgxty

Calcolare il

dove parametri

p zza

, )

.de

triangolo vertici

di A

lo -11,0

:O e

,

)

D= ( 1,1 .

Svolgimento : la parametri

)

Se è

dette ladri alti ?

,

di b) allora

tela

azione y con

a- ,

, ,

b

Haiti

fgflx ) dt

YI Ha' Hill

tutti

= ,

, a

quindi

Dobbiamo trovare una

di

parametri azione p

zz B

•

. ¥

che

Notiamo di

possiamo sì •

.

decomporre a

0

piu segmenti

3 cui

ops

f- per

paura ,

↳ xty-fg.xtytfpxtytfg.mg .

integrale

allora

Risolviamo ciascun

trovando la

separatamente 3

parametri

,

zzazioni . FQ

il segmento trova

generico si con

(

Ptt )

P )

( Q Ypttlya

) Xptt (

draft ) )

Xq Xp yp

=

-

= - -

,

telai

) il dunque

ott

segmento

è

pi

pi viene

,

da

parametri zzato (1,01-10,0)

(

) tt

10,0

Little death =

! Hai il

teso , .

Poi lhlkrhetoti

) Ha'

ahhaha =L

, fatto dt-ftrzl.az

Gita = .

Allo

) telai

fa modo

stesso )

-11

datti t

, ,

dunque

hai ltill =L

e ,

-11kt

fgzxty dt-fti.tt/f--Z .

) Anche procedimento

Js lo stesso

p

per :

,

dsltt-ln-t.1-tttefo.it

eventi quindi

t

Ha' sottili = ,

xty-ffi-hru-tf.ir

↳ dt

t.arft.tk/!r .

quindi

Abbiamo trovato

{ E Ztt

{

Xty § +

= + = .

SOLUZIONI ESERCIZI CURVE

1. Si forniscano almeno due parametrizzazioni per la semicirconferenza

R 2 2 2

{(x, 2 |,

:= y) (x 1) + (y 3) = 1, x 1}

Soluzione. Due possibili parametrizzazioni sono:

⇣p ⌘

i. ,

2 2

↵ (t) = 1 (t 3) + 1, t t [2, 4].

1 ⇥ ⇤

ii. .

⇡ ⇡

2

↵ (✓) = (cos ✓ + 1, sin ✓ + 3), ✓ ,

2 2 2

2. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve:

2 2

(x 1)

(a) l’ellisse y

R 2

{(x, 2 |

= y) + = 1}.

9 4

(b) R 2 2 2

{(x, 2 |

= y) x + y = 1, y x}.

(c) la curva in intersezione del piano con la superficie sferica

R 3 2

z = 1 x +

2 2

y + z = 4.

Soluzione.

(a) 2

↵ (✓) = (3 cos ✓ + 1, 2 sin ✓), ✓ [0, 2⇡].

a ⇥ ⇤

(b) .

⇡ 54

2

↵ (✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ , ⇡

b 4

(c) Notiamo che la sfera intersecata con il piano dà

2 2 2

x + y + z = 4 z = 1

luogo alla circonferenza (appartenente al piano centrata sull’ori-

z = 1)

p

gine di raggio Una possibile parametrizzazione è dunque

3. ↵ (✓) =

p p c

2

( 3 cos ✓, 3 sin ✓, 1), ✓ [0, 2⇡].

3. Si consideri la curva piana descritta in forma forma parametrica dalla

2

⇢ R

mappa :

R 2

!

↵ : [0, ⇡] 2 2

↵(✓) = cos ✓, cos ✓ sin ✓ , ✓ [0, ⇡].

• Calcolare la lunghezza di .

• Descrivere e rappresentare graficamente la curva .

Soluzione.

• 0

↵ (✓) = (sin(2✓), cos(2✓)).

Z q

⇡ 2 2

L( ) = sin (2✓) + cos (2✓) d✓ = ⇡

0

• Tramite le uguaglianze e otteniamo, dopo alcuni

2

x = cos ✓ y = cos ✓ sin ✓

semplici passaggi algebrici, l’equazione a sua volta equi-

2 2

x x + y = 0

2

valente a che rappresenta la circonferenza di raggio

12 14 12

2

x + y =

centrata nel punto . Il parametro varia nell’intervallo quindi

12 , 0 ✓ [0, ⇡],

varia in e in Notiamo che calcolando la lunghezza

x [0, 1] y [ 1/2, 1/2].

della circonferenza con il metodo "classico" otteniamo lo stesso risultato

del punto precedente.

4. Si calcoli la lunghezza della curva piana , grafico della funzione y = cosh(x),

con 2

x [0, 5]. p

R R

5 5

Soluzione. 2

L( ) = 1 + sinh x dx = cosh x dx = sinh(5)

0 0

5. Si calcoli la lunghezza della curva espressa in coordinate polari da

✓ ✓ 2

↵(✓) = e cos ✓, e sin ✓) ✓ [0, 2⇡]

Soluzione. 0 ✓ ✓

↵ (✓) = e (cos ✓ sin ✓), e (cos ✓ + sin ✓)

Z p

2⇡ ✓ 2 2

L( ) = e (cos ✓ sin ✓) + (cos ✓ sin ✓) d✓ =

0 Z p

p

2⇡ ✓ 2

2

= e 2 cos ✓ + sin ✓ d✓ =

0 p 2⇡

= 2 e 1

6. Dare un esempio di una curva non rettificabile.

Soluzione. Una possibile curva non rettificabile è quella definita dalla para-

metrizzazione con:

↵(t, f (t)) ( se

1 1

2

t sin t (0, ]

t ⇡

f (t) = se

0 t = 0

Costruiamo infatti la successione di poligonali inscritte in associate alle par-

tizioni , con 1 1

{P } P {0,

= 1/⇡, , , k = 1, ..., n}.

n n n ⇡ 3⇡

+2k⇡ +2k⇡

2 2

Se indichiamo con la lunghezza del segmento congiungente l’origine

l (0, 0) =

⇣ ⌘ ⇣ ⌘

0

con il punto , con l