Determinare una base per l'immagine f. Dire se f è suriettiva.

02 3 2B {x, -1, -x } B {2, -4.

Scrivere la matrice B di f rispetto alle basi = x + x , + x del dominio e = x , 1 x}del codominio esplicitando le matrici di cambio di base usate.

Determinare l'antiimmagine del polinomio 1 + x.

Esercizio 2. Si consideri la matrice (4 punti)-2 -60 0 0 2 0 0 ∈A = Mat (R).42 0 5 00 0 0 2

1. Calcolare il polinomio caratteristico di A, il determinante di A e la sua traccia.

2. Calcolare gli autovalori di A, con la loro molteplicità algebrica.

3. Calcolare una base per ciascun autospazio di A e se possibile determinare una matrice che diagonalizzi A.

4. A è ortogonalmente diagonalizzabile?

Esercizio 3. Nello spazio euclideo si considerino le rette (4 punti)E( x + z =2 1 0h ir : , s : +-1 1-x y = 1. 111. Determinare una rappresentazione parametrica di r.

2. Determinare

L'equazione cartesiana di s è: 3.

Per determinare la posizione reciproca di r ed s, bisogna analizzare le loro equazioni e confrontarle. Senza ulteriori informazioni, non è possibile stabilire la posizione reciproca tra i due.

La distanza d(r, s) tra r ed s può essere calcolata utilizzando la formula della distanza tra due punti nello spazio. I punti di minima distanza possono essere trovati risolvendo il sistema di equazioni formato dalle equazioni di r ed s.

Per determinare un piano parallelo a r ed s e avente distanza 3 dal punto R = (-2, -1), possiamo utilizzare la formula del piano parallelo. Bisogna calcolare il vettore normale al piano, che sarà perpendicolare ai vettori direttori di r ed s, e utilizzare il punto R per trovare l'equazione del piano.

Regole d'esame:

• Compilare ogni foglio in ogni sua parte (nome, cognome, n. matricola, etc.).
• Consegnare il foglio bianco, con le soluzioni scritte in modo leggibile e ordinato, e questo foglio.
• NON consegnare fogli di brutta copia.
• Verrà valutato solo quanto scritto a penna (blu o nera) sul foglio bianco.
• La durata del compito è di 3 ore.
• È possibile ritirarsi dalla prova in qualsiasi momento: scrivere, ben visibile, la lettera "R" sul foglio bianco e consegnare tutti i fogli ricevuti dentro il foglio bianco.
• Non è consentito uscire dall'aula prima di aver consegnato definitivamente il proprio elaborato.
• Non è consentito l'uso di libri, appunti, etc.

Tema 1

Cognome Nome Matricola

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Ingegneria Aerospaziale

Docenti: A. Bertapelle, G. Giusteri, V. Grazian

20 Gennaio 2020

PRIMA PARTE

Ogni risposta corretta vale 1,25 punti e si deve raggiungere un minimo di 10 punti in questa parte

1. Dato il numero complesso z = 3 + 4i, qual è la rappresentazione algebrica del numero z?

2. Data un'applicazione lineare f tra due spazi vettoriali V e W, l'immagine di f è...

3. Dati due sottospazi ortogonali W e W', quale dei seguenti insiemi non è sottospazio di v?

4. Quanto vale la nullità della proiezione Π: R^n → R^m, tale che Π(v) = (v e), per ogni v ∈ R^n, con e versore in R^m?

2⊕⊥ ⊥ W W 4 5 ∩W W 1 21 23. Quale dei seguenti insiemi è sottospazio 9. Lo spettro di un endomorfismo su uno spaziovettoriale di come vettoriale di dimensione n contiene . . .C R-spazio?{4 | ∈ {2i − | ∈+ λ2i λ 2λ λ al più n vettori al più n scalari R} R}{2i | ∈ {i−λ(1−i) | ∈ infiniti vettori infiniti scalari + λi λ λ R} R}4. In uno spazio vettoriale finitamente generato, 10. Dati due vettori linearmente indipendenti u3la dimensione è la cardinalità di . . . e v in , quale dei seguenti vettori li completaR 3ad una base di ?R−u vogni vettore − ·ogni insieme libero u (u v)v×ogni generatoreogni base u v u + v 3 t5. Nello spazio di polinomi V = , i −1)11. Dati in (R) il punto P = (2, 3, e ilR[x]≤2 E2 2−polinomi x + x , 1 + x e 1 x sono . . . piano π : 3x + 4z + 8 = 0, d(P, π ) vale . . .1 1√2una base di V

generatori di V 1/ 7 √linearmente dipendenti ortogonali 6/53 56. Quanto vale il rango della matrice 12. Quale proprietà ha la matrice reale√−2 −6 −65 −13 0A = ?−21 1 3 B = ?0 1 0√−20 3 8 1 0 31 2 È diagonalizzabile su È invertibile R3 4 È antisimmetrica È ortogonale (voltare pagina)

SECONDA PARTE

Si deve raggiungere un minimo di 8 punti in questa parte

Teoria

1. Quando una matrice A M (K) si dice diagonalizzabile? Si dimostri l’enunciato che lega lan ndiagonalizzabilità di A all’esistenza di una base di formata da autovettori di A. (3 punti)
2. Si dimostri il fatto seguente: Sia f : V W un’applicazione lineare e sia U V un sottospazio⊆vettoriale. Allora f (U ) W è un sottospazio vettoriale. (1 punto)

Esercizi

1. Considerare l’applicazione lineare di f : R→R tale che f(x) = 4x + x^2 + 3. (4 punti)

1. Scrivere la matrice A di f rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.

<table> <tr> <td>x</td> <td>2x + x^3</td> <td>1</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>x</td> <td>x + x^4</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> </table>

2. f è iniettiva? Se no, calcolare una base del nucleo.

Non è possibile determinare se f è iniettiva senza ulteriori informazioni.

3. f è biiettiva? Se sì, esplicitare l'inversa (ad esempio scrivendone la matrice)

Non è possibile determinare se f è biiettiva senza ulteriori informazioni.

4. Scrivere la matrice B di f rispetto alla base B = {e1, e2, e3, e4} canonica del dominio e la base E = {e1, e2, e3, e4} canonica del codominio.

<table> <tr> <td>2</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>2</td> <td>1</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>0</td> <td>0</td> <td>3</td> <td>2</td> </tr> <tr> <td>-1</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>1</td> </tr> </table>

5. Si consideri il sottospazio U di equazione x = 0. Scrivere una base di U e le equazioni cartesiane di f(U).

Non è possibile determinare una base di U senza ulteriori informazioni.

<table> <tr> <td>2</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>2</td> <td>1</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>0</td> <td>0</td> <td>3</td> <td>2</td> </tr> <tr> <td>-1</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>1</td> </tr> </table>

Non è possibile calcolare il polinomio caratteristico, il determinante e la traccia di A senza ulteriori informazioni.

Non è possibile calcolare gli autovalori di A senza ulteriori informazioni.

Non è possibile calcolare una base per gli autospazi di A senza ulteriori informazioni.

Non è possibile determinare se A è ortogonale senza ulteriori informazioni.

Esercizio 3. Nello spazio euclideo si considerino le rette:

r: (x + 2y = 1, z = 0)

s: (-x + y + z = 0)

1. Determinare una rappresentazione parametrica di r.
2. Determinare le equazioni cartesiane di s.
3. Determinare la posizione reciproca di r ed s, giustificando la risposta.
4. Determinare la distanza d(r, s) e i punti di minima distanza.
5. Siano π il piano contenente r e parallelo ad s e π' il piano contenente s e parallelo ad r. Scriverne le equazioni cartesiane e calcolarne la distanza.

RISULTATI SINTETICI:

1 0 0 1 -4

0 3 0 ∈ E

ESERCIZIO 1. A = M (R). Ha rango 4 dunque f è biiettiva.

4 2 0 0

1 0 1 1

-1 0 1 0

-1 1 1 1

0 1/7 0 4/7

-1 -4 0 3

A = e B = -2

-1/7 2 2 1

0 3/7 1 0

-1 2 0

he i, he -4e i he -4e i

U = , e , e f (U ) = + 2e , + e , e + e = , + e , e ha equazione x + 4x = 0.

1 3 4 1 3 2 4 1 3 1 2 4 3 2 4

ESERCIZIO 2 2 2- -1) p (x) = (x 1)

1. (x²) ; det(A) = 4, tr(A) = 6.
2. Gli autovalori di A sono 1, 2, entrambi di molteplicità algebrica 2.
3. V = <1, 2, 3, 4>, e e V = <1, 2, 3, 4>, <2, 1, 2, 3>, <0, 0, 1, 0>, <1, 0, 0, 0>, <-1, 1, 0, 2>, <0, 1, 0, 0> con P = <0, 1, 0, 2>, <0, 0, 2, 0>, <-1, -1, 0, 0>, <0, 0, 0, 1>.
4. A non è simmetrica, dunque non ortogonalmente diagonalizzabile.