Esercitazioni Analisi dei sistemi

Esercitazione 4

= ;C =−1 −2 112 R. Caponetto e M. Frasca −Calcoliamo quindi la risposta y(t) del sistema all’ingresso f (t) = u(t)e−2t, mediante antitrasformata della Y (s). Una volta nota la funzione ditrasferimento G(s) del sistema, è immediato calcolare la Y (s) come:Y (s) = G(s)F (s) (22)dove la F (s) è la trasformata di Laplace dell’ingresso f (t) e risulta essere:1 1−F (s) = s s +2Occorre allora calcolare la funzione di trasferimento del sistema:−1−G(s) = C(sI A) B = s +2 1 01 1 10= =2 2−1(s +2s+1) (s +2s+1)s 1La (22) diventa allora: 1 1 1−Y (s) = (23)2(s + 2s + 1) s s +21 1Siano Y (s) = e Y (s) = .1 22 2s(s +2s+1) (s+2)(s +2s+1)Calcoliamo l’antitrasformata di Y (s), considerando dapprima lo sviluppo1 a aa + + .in fratti semplici di Y (s) = 2 311 2(s+1) (s+1) sCalcoliamo i coefficienti a , a e a come segue:1 2 3 −1d d 12 −1a = lim (s + 1) Y (s) = lim = lim =1 1 2ds ds s ss→−1 s→−1

− − − −= te + u(t) + e te e = u(t) 2te e
Nota. La funzione di trasferimento G(s) può essere calcolata direttamente
dalla (19). Ponendo infatti y = x in tale equazione si può scrivere:
− −M ÿ = f (t) B ẏ ky (24)
Nel dominio di Laplace tale relazione diventa (condizioni iniziali nulle):
2 − −s M Y (s) = f (t) sBY (s) kY (s) (25)
da cui, sostituendo i valori dei parametri, è immediato calcolare la fun-
zione di trasferimento: 1Y (s) =G(s) = 2F (s) s + 2s + 1♦
2. Studiare con il criterio di Routh la stabilità del sistema:
(3) (2) (1) (1)− −y 4y + y + 6 = u u (26)
Supposte nulle le condizioni iniziali, consideriamo la trasformata di Laplace
di entrambi i membri di (26):
3 2− −(s 4s + s + 6)Y (s) = (s 1)U (s) s−1
Il sistema ha dunque funzione di trasferimento G(s) = .3 2−4ss +s+6
Costruiamo la tabella di Routh per il polinomio a denominatore:
1 1
32 -4
6 1
1 0
14 R. Caponetto e M. Frasca
Nella seconda

colonna ci sono due cambiamenti di segno, quindi il poli-nomio ha due radici a parte reale positiva e il sistema è instabile. Le radici possono essere calcolate con l'istruzione MATLAB roots([-41 1 6]).

Le radici sono p = 3, p = 2, p = 1.

Applicando il criterio di Routh stabilire se il sistema che ha come polinomio caratteristico p(s) è stabile.

p(s) = 4s^4 + 3s^3 + 5s^2 + 2s + 13

-p(s) = s^4 + 3s^3 - 26s^2 - 5s + 4

-p(s) = s^4 + s^3 - 2s^2 - 3s + 7s + 4

p(s) = s^3 + 2s^2 + ks + 1 al variare di k.

Esercitazioni di Analisi dei Sistemi 155 Prova in itinere di Analisi dei Sistemi del 1.2.2002

1. (12 pt) Dato il sistema in Fig. 8(a), dove i(t) è l'ingresso, y l'uscita,

R = Ω, L = H, C = 1F , scrivere le equazioni del sistema in forma di stato e calcolare la risposta all'ingresso di Fig. 8(b).

Fig. 8.

2. (6 pt) Dato il sistema

A = [0 1 1; -2 -3 0]

B = [0; 0; 1]

C = [-1 0 0]

calcolare

l'evoluzione libera dello stato, assegnate le condizioni iniziali: 1x(0) = 23. (6 pt) Studiare al variare di k la stabilità del sistema in Fig. 9 applicando1 s+20il criterio di Routh (F (s) = ; F (s) = ).1 2s (s+1)(s+10)Fig. 9.4. (6 pt) Data la rappresentazione ARMA del sistema(4) (2) (1) (2) (1)−y + 3y + 5y y = 2u + uscrivere la forma canonica di controllo del sistema e studiare la stabilità.16 R. Caponetto e M. Frasca5.1 Soluzione della prova in itinere1. Siano x e x le variabili di stato del sistema come indicate in Fig. 101 2(rispettivamente corrente nell’induttore L e tensione ai capi del conden-satore C).Fig. 10.Consideriamo la maglia formata dall’induttore e dal capacitore:Lx˙ = x1 2e il nodo A: x 2− −C x˙ = i(t) x2 1 RDa cui si ricavano le matrici A, B, C e D:1 00 L 1 0;B =A= ;C = ;D = 0−1 −1 1CC CRSostituendo i valori dei paramteri si ottiene: 0 2 0 1 0A= ;B = ;C = ;D = 0−1 −3 1Si procede adesso come

Nell'esercizio 1 del paragrafo 4, calcoliamo la risposta y(t) del sistema all'ingresso i(t) = u(t) u(t 1), calcolando dapprima la Y (s) = G(s)I(s) e poi antitrasformando. G(s) è la funzione di trasferimento del sistema:

G(s) = -1/(s^2 + 3s + 2)

I(s) è la trasformata di Laplace dell'ingresso i(t):

I(s) = 1/s

La Y (s) risulta quindi:

Y (s) = (27)/(s^2 + 3s + 2)

se può essere vista come la somma della risposta al gradino u(t) meno la stessa risposta traslata nel tempo di τ = 1s.

Calcoliamo l'antitrasformata della risposta al gradino Y (s):

Y (s) = (2s + 3)/(s^2 + s + 2)

Calcoliamo i coefficienti a1, a2 e a3 come segue:

a1 = lim sY (s) = lim (2s + 3)/(s^2 + s + 2) = 1

a2 = lim (s + 1)Y (s) = lim (2s + 3)/(s^2 + s + 2) = 2

a3 = lim (s + 2)Y (s) = lim (2s + 3)/(s^2 + s + 2) = 3

−1 −2t −ts+3 2 −eL ( , t) = L + , t) =( + 2e(s+2)(s+1) (s+2) (s+1)−1−1 −2t −t−1 11 −e, t) = L ( + , t) = + eL ( (s+2)(s+1) (s+2) (s+1)−2 −1 −2t −t−1 1−2L −, t) = ( , t) = 2e 2eL ( (s+2)(s+1) (s+2)(s+1)−1−1 −2t −t−1 2s −, t) = L ( + , t) = 2e eL ( (s+2)(s+1) (s+2) (s+1)AtQuindi e vale −2t −t −2t −t −e −e+ 2e + e−1 −1At −e = L ((sI A) , t) = −2t −t −2t −t− −2e 2e 2e eInfine, l’evoluzione libera è data da:Atx(t) = e x(0) =−2t −t −2t −t −2t −t −e −e −3e+ 2e + e 1 + 4e= =−2t −t −2t −t −2t −t− − −2e 2e 2e e 2 6e 4e• Secondo metodoẋ = AxNel dominio di Laplace si può scrivere: −sX (s) x (0) = X (s)1 1 2− −2X −sX (s) x

(0) = (s) 3X (s)² 2 1 2