Esempio di Prova intermedia – Informatica teorica (08/04/2019)

V (CFG)

libero (G) che due di

EL

G ha derivazioni

dal alberi

è ambigua

contesto esiste

grammatica stringa più

.

c x

una

se o .

Il

V di

complemento

. linguaggio regolare

è

regolare

un .

d I dal

linguaggi (CFL)

liberi

F contesto dei linguaggi regolari

sotto .

. insieme

un

sono

Un Deterministico)

linguaggio Pushdown

f che

(Automat lo

DPDA accetta

contesto

dal

F libero solo

è esiste un

se e se .

.

Domanda 2

Disegnare Finito)

(Automa 20

Deterministico che

DFA 13

stringhe

tutte le

accetta

che

minimale

un su

e ,

contengono almeno della

un'istanza sotto-stringa .

00

10

1 1

I ,

O ·

start 9f

90 91

1

3

Domanda

Disegnare (Automa =20

Finito) 13 contengono

Deterministico stringhe che

DFA le

che tutte almeno

accetta un'occorrenza

e su

un ,

della sotto-stringa della sotto-stringa

11 nessuna

e 000

occorrenza .

O O

00

O D

O 1

start O 1

E O

1

A

1 1 O O

1 110 1100

11 1 A

4

Domanda

la (DFA)

Enunciare definizione formale Deterministici

Finiti

degli Automi

a e .

. Un M

DFA finito

(Q A)

è (insiemel

di finito

Q

quintupla S

S alfabeto

stati

dove è

è Qx

di 8

simboli Q

insieme

una un

90 un :

, ,

, ,

,

, ,

funzione di transizione

la

è di

A

iniziale accettanti

Q

stato

lo

è

E Q stati

è insieme

q e un

, .

b Enunciare formale ,

LCMI

definizione

la linguaggio DFAM

il da

di accettato un

. .

Per (Q *

Al

M Qx Q

S definito

DFA : ricorsivamente

definiamo come segue

un come sopra > :

= po -

, , , ,

6 c)

(a

* q e Q

1 q

=

. ,

, AgeQ

a)

5 S(f

ya)

(9 y)

* (p

*

2 = at

. , , ,

, ,

Il linguaggio L(M)

,

M

da

accettato quindi

è :

, 2x

L(M) A]

* ( (q0

* x) + .

= ,

Domanda 5

Dimostrare linguaggi regolari

che chiusi intersezione

sotto

i .

sono

Supponiamo MCQ

linguaggi

che La Di SAL)

MICQ

La Arl

esistono

regolari DFAS da che

i accettano

siamo .

e e qui

conseguenza

, , ,

.

L(Mz) (2)

L

L(M1)

(ossia

(1

rispettivamente e La = e =

Con

Definiamo Mr n. dn An)

DFA

nuovo =

un comi

, ,

,

Qn Qz

Q1 x

· = pz)

(q1

qn =

· ,

<(p Q3

q) eQxQ2 peQ1

An eq =

· = ,

In((p 62(q)

(d1(p)

a)

q) peQ 9eQ2

= per

· at

, ,

,

, ,

Una *. Quindi

(pqle Qnexe

x))

((p (d*

da Lan

(p

semplice x)

pl Ca

che *

x) de

induzione La

mostra ,

perogni e sappiamo

= x

per

, ,

,

, , ,

(x) (x) 8(x)

che XeL

* (Mn) .

(8* (x)

A1 An

definizione

Così

A2 mostra An

di

dalla E e

e . , ,

,

Viceversa S

* (x)

1

(S

(Mn)

, (X) (x)) S(X

An

, S definizione

An Quindi nostra di EA2

EA1

x el che dalla

volta

sappiamo E

se e

ancora una

, ,

. ,

ext(1 nLz .

Domanda 6

Sia (25 is

L

la PC

t

CFG b produzioni

S

, i con :

n

, , ,

, ,

,

, s/b(n)iSSt

S + L eILS

+

la

Scrivere leftmost

derivazione della stringa iblisstbatsnst .

S ibLSS

ibLaSt ibisst

ibLSSS

iSSt StSmSt

ibSSSibiSSSS ibSSSSSt StStSSt

ibris

=>

= > ibisstbSmSt iblisstbatsmst

iblisstbats

iblisstbLntSSt St

=> = .

Domanda 7 P)

la

Sia (E3 41 (3

G E

CFG produzioni

con :

,

, ,

, E EE((E)IE

=

Dimostrare che questa è ambigua

grammatica (E)

((E EEEE

()

(E)E E

E E => =

= =

=

= "I

Entrambe leftmost

derivazione stringa

della quindi

queste ambigua

la è

grammatica

sono i ,

Domanda 8

Dimostrare =b regolare

linguaggio

che è

il

a non

. .

Lab

Supponiamo NEN

ok Allora

che M Sia

regolare L

che

DFA stati

esiste accetta

sia , un con

. .

,

L

1 Regolari

Poiché Linguaggi

+ X

+ 2

. Lemma

Pumping

a il dove

x ,

x e UVw

= possiamo scrivere

per per x = ,

Soddisfano

U We

V :

, , lur/ N

Iv1 0

> ,

UVin L O

is

Poiché Quindi

N u sta

0

, contiene del di

più boc

simbolo , u

v

e nessuna

occorrenza occorrenza

e

a

una o .

+ 1 (poiché

+ Pertanto L

aggiungendo b

, ha

quindi

almeno almeno

= 1 , x

e

una =

nessu

a

, ma .

tanti Questa

Lemma

, dirci

quanti L

. contraddizione L

Pumping è

il che quindi

è regolare

è

U ,

a una

a non

e

ma .

L

↓. Dimostrare che libero dal

il contesto

linguaggio è

non .

Assumendo DJ

Lack Lemma

la

L libera linguaggi

Pumping

dal

costante

contesto

che dal ottenuta

N

sia sia i

per

e

liberi dal contesto 1 liberi

Poiché

Sia N Lemma

. dal

Pumping linguaggi contesto dice

il che

=a i ci

. scrivere =xyz

possiano

per

,

,

N

dove L 0

.

0

, quattro

Consideriamo

> casi

>

w :

m

contiene poiché

Se contiene due

VWxyz

b contiene almeno

solo O

allora

Consideriamo

solo

WXY solo

CASO 1 wxy

· s

: wxy s

o a

a =

. ,

. ,

che Analogamente

b

più rispetto il

quindi solo

può b

contiene

in in xy

cui

e caso

a non per

avere

u meno

o a .

.

Poiché

contiene Consideriamo O

,

woxyz

solo scontiene

CASO 2 WX rispetto

almeno il

quindi

: in

· .

c una c meno e

u

= a

. di b

.

di del

strettamente

può

numero numero

maggiore

non essere Poiché

N). Consideriamo O deve

b (poiché

contiene V

che contenere

3

CASO WXY sia w

: xy

a wy

non

ma c

· . ,

,

In entrambe)

b

di

almeno lo

di il

entrambi può

.

b il in essere

casi non

i s

numero

numero o

a

una a una

o ,

strettamente inferiore di

al numero .

c VWxyz

N)

(poiché Poiché deve

contiene >O

Consideriamo

b cha

4 contenere

S

Caso WXy xy

sia

· = wy wy

: c non

ma a .

, . ,

entrambe).

(o contiene

che b

almeno unabo Se allora

Se

b può

contiene allora più

una y non non

avere

una .

a

, ,

al 2

.

passiamo caso

In tutti L

quattro Lemma

Pumping

stringa dal

il

abbiamo che

linguaggi liberi dice

contesto

,

i

e i

una

casi ci

per

ma

,

L L libero

Questa contesto

contraddizione dal

è può

non

e essere

una

. .