Esempi di esame teorico di Matematica 2

Matematica II, Cds Chimica a.a. 2020/2021 Prova di teoria, 25 giugno 2021

Scegliere una delle seguenti tracce.

Esercizio 1.

(a) Enunciare il teorema di Green (ovvero le formule di Gauss-Green). +1X

(b) Data una successione a , dare la definizione di carattere della serie a generata

nn=0dalla successione. Fornire un esempio di serie per ciascuno dei possibili caratteri che una serie

può avere.

(c) Enunciare un criterio di convergenza per serie a termini positivi, e mostrare l’esempio

di una serie in cui questo criterio può essere

applicato.

Esercizio 2.

(a) Dare la definizione di curva parametrica nel piano. Dare la definizione di vettore tangente, e di curva regolare. Mostrare un esempio di curva regolare, verificando la precedente definizione.

(b) Dare la definizione di punto di massimo o minimo relativo per una funzione di due variabili. Mostrare un esempio di una funzione che ha un punto di massimo o minimo relativo.

(c) Dare la definizione di dominio x normale o y normale. Mostrare l'esempio di un dominio normale, e di un dominio che non lo è.

Matematica II, Cds Chimica a.a. 2020/2021

Prova di teoria, 26 aprile 2022

Rispondere a tre delle seguenti domande.

(a) Dare la definizione di somme parziali e di carattere di una serie numerica. Dare

Un es-empio di serie numerica per ciascun possibile carattere. Enunciare il criterio della convergenzaassoluta. Mostrare un esempio di serie convergente, ma non assolutamente convergente.

(b) Scrivere una generica equazione di↵erenziale del secondo ordine, omogenea, a coeffi-cienti costanti. Dare la definizione di polinomio caratteristico e mostrare come a partire datale polinomio si ottenga la famiglia delle soluzioni dell’equazione.

(c) Dare la definizione di curva parametrica regolare nel piano, e di vettore tangente.Enunciare la formula per il calcolo della lunghezza di una curva. Dare la parametrizzazionestandard del grafico di una funzione di una variabile, scrivere la formula per il calcolo dellalunghezza in questo caso particolare, e mostrare un esempio di applicazione della formula.

(d) Dare la definizione di derivate parziali e di gradiente di una funzione di due variabiliin un punto, e di gradiente. Fornire un esempio di funzione e delle relative derivate

parziali in un punto. Dare la definizione di differenziabilità di una funzione in un punto. Dare la definizione di punto critico. Mostrare l'applicazione delle formule di Gauss-Green al calcolo dell'area di un insieme.

Matematica II, Cds Chimica a.a. 2021/2022

Prova di teoria, 8 luglio 2022

Rispondere a tre delle seguenti domande.

1. Dare la definizione di serie di potenze, e di insieme di convergenza di una serie di potenze.
2. Enunciare il teorema sull'esistenza del raggio di convergenza di una serie di potenze e sulla formula per determinarlo.
3. Mostrare esempi di serie di potenze che abbiano raggio di convergenza: 0, 4, e +1.
4. Scrivere la forma generale di un'equazione differenziale del primo ordine variabili separabili.

Esempi di equazioni differenziali a variabili separabili con:

1. Nessuna soluzione costante
2. Due soluzioni costanti
3. Infinite soluzioni costanti

Il metodo risolutivo generale per le equazioni del primo ordine a variabili separabili consiste nel separare le variabili e integrare entrambi i membri dell'equazione.

La definizione di integrale di una funzione continua di due variabili su un dominio rettangolare è:

Il cambio di variabili negli integrali doppi si effettua utilizzando la formula:

Le ipotesi che rendono ammissibile un cambio di variabili sono:

Le coordinate polari sono un esempio particolare di cambio di variabili.

La definizione di curva regolare nel piano è:

Data una generica equazione polare, la parametrizzazione della curva corrispondente è:

Le formule che esprimono le coordinate del baricentro di una curva parametrica nel piano sono:

La definizione di punto di massimo e di...

Il minimo relativo per funzioni di due variabili si verifica quando il valore della funzione è il più basso all'interno di un certo intervallo di valori delle variabili.

Ecco un esempio di una funzione che ha un punto di massimo:

f(x, y) = x^2 + y^2

Il punto critico è un punto in cui le derivate parziali della funzione si annullano. Il teorema di Fermat per funzioni di due variabili afferma che se una funzione ha un punto di massimo o di minimo relativo, allora il punto critico corrispondente deve essere un punto di massimo o di minimo.

Ecco un esempio di un punto critico che non è un punto di massimo o di minimo relativo:

f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3

In questo caso, il punto critico è (0, 0). Tuttavia, se si analizza la funzione intorno a questo punto, si può vedere che non esiste un intervallo in cui la funzione sia sempre più grande o sempre più piccola rispetto al valore della funzione al punto critico. Pertanto, il punto critico (0, 0) non è un punto di massimo o di minimo relativo.