Equazioni differenziali - esempi

Equazioni Differenziali

Un'equazione differenziale ordinaria di ordine m è un'espressione del tipo:

F(x,y(x),y'(x),...,y^m(x)) = 0

dove F: A → R, A ⊂ R^m+2 aperto

L'ordine dell'equazione è l'ordine massimo di derivazione che vi compare, y^(x) → funzione incognita con x ∈ R

Risolgere un'equazione f(x,y(x),y'(x),...,y^m(x)) significa trovare una funzione y : I → R, I intervallo di R tale che:

• y sia derivabile fino all'ordine m in I.
• F(x,y(x),...,y^m(x)) = 0 ∀x ∈ I

Se scriviamo l'equazione in forma:

y^m(x) = f(x,y(x),...,y^m-1(x)) allora l'equazione è scritta in "forma normale".

Consideriamo l'equazione:

f(t,y,y') = 0

Bisogna risolvere: y'(t) = f(t) che ha infinite soluzioni del tipo:

y(t) = ∫f(t)dt + c ∈ R

L'integrale generale dell'equazione.

La condizione supplementare: y(t₀) = y₀

Permette di selezionare una soluzione particolare.

Il problema di risolvere l'integrale generale dell'equazione e trovare una soluzione particolare, prende il nome di problema di Cauchy.

Il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione almeno localmente.

Quando si parla di soluzione del problema di Cauchy si intende sempre una funzione che:

• è definita su un intervallo I, contenente il punto t₀ in cui è assegnata la condizione iniziale.
• è derivabile in tutto I e soddisfa l'equazione in tutto I.

EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI

SONO DEL TIPO: y'² = a(t) b(y) DOVE a E b SONO FUNZIONI CONTINUE

1. SUPPONIAMO CHE b(y)₀ = 0 IN y = y₀ ∈ ℝ ALLORA LA FUNZIONE y(x) = y₀ RISOLVE L'EQUAZIONE DATA E CHIAMEREMO y(x) = y₀ "INTEGRALE PARTICOLARE".
2. SUPPONIAMO CHE b(y) ≠ 0 ALLORA:

   ^y'/_b(y(t)) = a(t)

   UN'IPOTETICA SOLUZIONE SAREBBE:

   • y'(t) = a(t) b(y(t))

   DUNQUE:

   ∫^y'(t)/_b(y(t)) dt = ∫ a(t) dt + c

   ORA SI PUÒ EFFETTUARE UN CAMBIO DI VARIABILE: y = y(t) ⇒ dy = y'(t) dt OTTENENDO DUNQUE:

   ∫^dy/_b(y) = ∫ a(t) dt + c CON c COSTANTE ARBITRARIA.

   PERCIO' SE B(y) è UNA PRIMITIVA DI ¹/_b(y) E A(t) è UNA PRIMITIVA DI a(t), L'INTEGRALE GENERALE È:

   B(y) = A(t) + c

   SI PUÒ ANCHE PENSARE DI SOSTITUIRE: ^dy/_dt = y'(t)

Teorema

SI CONSIDERI IL PROBLEMA DI CAUCHY:

• ^y'/_{a(t) b(y)} DOVE a E b SONO FUNZIONI CONTINUE IN I
• y(t₀) = y₀

ALLORA ESISTE UN INTORNO DI t₀ I' ⊂ I ED UNA FUNZIONE y: I' → ℝ SOLUZIONE DEL PROBLEMA. LA CONTINUITÀ DI a E b CI ASSICURA LOCALMENTE L'ESISTENZA DI UNA FUNZIONE. SE b INOLTRE È DI CLASSE C¹ ALLORA TALE SOLUZIONE È UNICA!

Dunque:

• y₁,...,y_m sono integrali particolari linearmente indipendenti dell'equazione omogenea.
• Y è un integrale particolare di: a_m(x)y^m(x)+...+a₁(x)y'(x)+a₀(x)y(x)=0

L[y]=g(x)

Verifico che y risolve l'equazione:

y(x)=ŷ(x)+y₀(x) → L[y₀]=g(x)

L[ŷ]=0

L[y]=L[ŷ+y₀]=L[ŷ]+L[y₀]=0+g(x)=g(x)

(Linearità)

Equazioni lineari di ordine m a coefficienti costanti

Data:

a_my^m(x)+a₁y'(x)+a₀y(x)=0   con a_m≠0

Si cercano soluzioni della funzione y(x)=e^λx   λ∈ℂ

y'(x)=λe^λx

y''(x)=λ²e^λx

y^m(x)=λ^me^λx

Affinché y(x)=e^λx sia una soluzione dell'equazione allora:

a_mλ^me^λx+...+a₁λe^λx+a₀e^λx=0

e^λx(a_mλ^m+...+a₁λ+a₀)=0

a_mλ^m+...+a₁+a₀=0   →   Polinomio caratteristico

P(λ)=a_mλ^m+...+a₁λ+a₀=0

Sia P(λ)=0, l'equazione caratteristica, si hanno 3 casi:

1. Se P(λ)=0 e Δ>0 cioè ammette m radici reali e distinte: λ₁,...,λ_n allora le funzioni:
2. y₁(x)=e^λ₁x
3. y₂(x)=e^λ₂x
4. y_m(x)=e^λ_mx

Sono m integrali particolari linearmente indipendenti.

COEFFICIENTI DI FOURIER

DATA UNA FUNZIONE f: [0, 2π] → ℝ SOTTO QUALI CONDIZIONI SI PUÒ VEDERE f COME SOMMA DI UNA SERIE TRIGONOMETRICA E COME SI DETERMINANO I COEFFICIENTI a_k E b_k DELLA SERIE?

CONSIDERIAMO LO SPAZIO VETTORIALE V COSTITUITO DALLE FUNZIONI f: [0, 2π] → ℝ INTEGRABILI MUNITO DAL PRODOTTO SCALARE:

〈f, g〉 = ∫₀^2π f(t)g(t) dt

E DALLA NORMA:

‖f‖ = ^{√₂f, f 1₂} = (∫₀^2π f²(t) dt)^1₂

RICORDIAMO CHE LA NORMA INDICE UNA NOZIONE DI DISTANZA TRA LE FUNZIONI:

d(f, g) = ‖f-g‖ = (∫₀^2π [f(t)-g(t)]² dt)^1₂

LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE sem kx, cos kx SODDISFANO LE SEGUENTI RELAZIONI NEI INTEGRALI PER OGNI k, h = 1, 2, 3...

∫₀^2π (sem kx)² dx = ∫₀^2π (cos kx)² dx = π

∫₀^2π sem kx sem hx dx = ∫₀^{2π cos kx cos hx dx = 0 SE h ≠ k}

∫₀^2π sem kx cos hx dx = ∫₀^2π sem kx dx = ∫₀^2π cos hx dx = 0

DUNQUE LE FUNZIONI: ^{1_√2π cos kx 1_√π}, sem kx ^1_√π (k = 1, 2, ...)

COSTITUISCONO UN SISTEMA ORTONORMALE NELLO SPAZIO VETTORIALE V,

CONOSCENDO UNA BASE ORTONORMALE DI V_m, SI PUÒ CALCOLARE IL POLINOMIO DI GRADO ≤ m CHE MEGLIO APPROSSIMA f,

OSSIA LA PROIEZIONE S_m f DI f SU V_m SARÀ: S_m f = Σ _{i = 0}^m 〈f, l_i〉 l_i

ESPICAMENTE:

S_m f(x) = (∫₀^{2π 1_√2π f(t) dt}) ^1_√π + Σ _{k = 1}^m (∫₀^2π cos k t ^{f(t) dt}) ^{cos kx_√π} +

+ (∫₀^2π sem kx ^{f(t) dt}) ^{sem kx_√π} = 1₂a₀ + Σ _{k = 1}^m (a_k cos kx + b_k sem kx)

Un generico problema di Cauchy sarà:

_{u^(m) = Φ (u^(m-1), ... , u', u, t)}

_{u^(m-1)(t0) = um-1}

_{u'(t0) = u1}

_{u(t0) = u0}

EQUAZIONI DI 1° ORDINE A VARIABILI SEPARABILI

u' = f(t)g(u) → FORMULA GENERALE

Si risolve in 3 fasi:

• SEPARARE
• INTEGRARE
• RICAVARE → CONTROLLARE e sostituire t nell'equazione differenziale

Esempio

u' = t²u³

- SEPARARE: ^du/_dt = t²u³ → ^du/_u³ = t²dt

- INTEGRARE: ∫¹/_u³ du = ∫t²dt → -¹/_2u² = ^t³/₃ + e

- RICAVARE: ¹/_2u² = -^t³/₃ + e → ¹/_eu² = -^t³+e/₃

2u² = ³/_{e - t³} → u² = ³/_{2(e - t³)} → u = ±√³/_{2(e - t³)}

Se avessi avuto il problema di Cauchy:

u' = t²u³

u(0) = 1 → da questo ricavo e

DETERMINARE e :

u(0) = 1

u(0) = √³/_2e = 1 → ³/_2e = 1 → 3 = 2c → c = ³/₂

La soluzione del problema di Cauchy = u(t) = √³/₂ - t³ = √³/_{3 - 2t³}