Equazioni differenziali - esempi

Equazioni Differenziali

Un'equazione differenziale ordinaria di ordine m è un'espressione del tipo:

F(x, y(x), y'(x), ..., y^m(x)) = 0 dove F: A → ℝ, A ⊆ ℝ^m+2 aperto

L'ordine dell'equazione è l'ordine massimo di derivazione che vi compare.

ẏ = y(x) → funzione incognita con x ∈ ℝ

Risolvere un'equazione F(x, y(x), y'(x), ..., y^m(x)) = 0 significa trovare una funzione ẏ: I → ℝ, I intervallo di ℝ tale che:

• ẏ sia derivabile fino all'ordine m in I.
• F(x, ẏ(x), ..., ẏ^m(x)) = 0 ∀ x ∈ I

Se scriviamo l'equazione in forma:

y^m(x) = f(x, y(x), ..., y^m-1(x)) allora l'equazione è scritta in "forma normale".

Consideriamo l'equazione:

y'(t) = f(t) che ha infinite soluzioni del tipo:

y(t) = ∫ f(t) dt + c c ∈ ℝ

L'integrale generale dell'equazione.

La condizione supplementare: y(t₀) = y₀

Permette di selezionare una soluzione particolare.

Il problema di risolvere l'integrale generale dell'equazione e trovare una soluzione particolare, prende il nome di problema di Cauchy.

Il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione almeno localmente.

Quando si parla di soluzione del problema di Cauchy si intende sempre una funzione che:

• è definita su un intervallo I, contenente il punto t₀ in cui è assegnata la condizione iniziale.
• è derivabile in tutto I e soddisfa l'equazione in tutto I.

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale ordinaria di ordine m è un'espressione del tipo:

F(x, y(x), y'(x), ..., y^m(x)) = 0

Ove F: A → ℝ, A ⊆ ℝ^m+2 aperto

L'ordine dell'equazione è l'ordine massimo di derivazione che vi compare.

y = y(x) → funzione incognita con x ∈ ℝ

Risolvere un'equazione F(x, y(x), y'(x), ..., y^m(x)) = 0 significa trovare una funzione y: I → ℝ, I intervallo di ℝ tale che:

• y è derivabile fino all'ordine m in I.
• F(x, y(x), ..., y^m(x)) = 0 ∀ x ∈ I

Se scriviamo l'equazione in forma:

y^m(x) = f(x, y(x), ..., y^m-1(x)) allora l'equazione è scritta in "forma normale".

Consideriamo l'equazione:

y' = f(t)

Bisogna risolvere: y'(t) = f(t) che ha infinite soluzioni del tipo:

y(t) = ∫ f(t) dt + c   c ∈ ℝ

L'integrale generale dell'equazione.

La condizione supplementare: y(t₀) = y₀

Permette di selezionare una soluzione particolare.

Il problema di risolvere l'integrale generale dell'equazione e trovare una soluzione particolare, prende il nome di problema di Cauchy.

Il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione almeno localmente.

Quando si parla di soluzione del problema di Cauchy si intende sempre una funzione che:

• È definita su un intervallo I, contenente il punto t₀ in cui è assegnata la condizione iniziale.
• È derivabile in tutto I e soddisfa l'equazione in tutto I.

Equazioni a Variabili Separabili

Sono del tipo: y' = a(t)b(y) dove a e b sono funzioni continue

1. Supponiamo che b(y) = 0 in y = y₀ ∈ R allora la funzione y(x) = y₀risolve l'equazione data e chiameremo y(x) = y₀ "integrale particolare".

2. Supponiamo che b(y) ≠ 0 allora:

   ^y'/_b(y) = a(t)

   Un'ipotetica soluzione sarebbe:

   ^y'(t)/_b(y(t)) = a(t)

   Dunque:

   ∫^y'(t)/_b(y(t)) dt = ∫ a(t) dt + c

   Ora si può effettuare un cambio di variabile:

   y = y(t) ⇒ dy = y'(t)dt ottenendo dunque:

   ∫^dy/_b(y) = ∫ a(t) dt + c con c costante arbitraria.

   Perciò se B(y) è una primitiva di 1/_b(y) e A(t) è una primitiva di a(t),

   l'integrale generale è:

   B(y) = A(t) + c

   Si può anche pensare di sostituire: ^dy/_dt = y'(t)

Teorema

Si consideri il problema di Cauchy:

{y' = a(t)b(y)y(t₀) = y₀}

dove a e b sono funzioni continue in I.

Allora esiste un intorno di t₀ I'⊂I ed una funzione y : I'→R soluzione del problema.

La continuità di a e b ci assicura localmente l'esistenza di una funzione.

Se b inoltre è di classe C¹ allora tale soluzione è unica!

EQUAZIONI LINEARI DEL PRIMO ORDINE

SONO DEL TIPO:a₁(t)y'(t)+a₀(t)y(t)=g(t) SE IL COEFFICIENTE a₁(t) NON SI ANNULLA, DIVIDENDO PER a₁(t), SI PUÒ RISCRIVERE L'EQUAZIONE IN FORMA NORMALE:y'+α(t) y(t) = f(t)

SUPPORREMO α E f CONTINUE SULL'INTERVALLO I⊆ℝ. SE f=0 L'EQUAZIONE SI DICE “OMOGENEA”, CONTRARIAMENTE SI DIRÀ “CO