Esami svolti Fondamenti di automatica, parte 4

FONDAMENTI DI AUTOMATICA - GESTIONALE

Domanda Scritta del 27/02/2023 Z.

Esercizio #1 Per ognuno dei seguenti segnali nel tempo, calcolare la rappresentazione nel dominio

k (2k) −

1. u (k) = ((−3) + 2 )δ (k 3)

−1

1 k+1

2 −

2. u (k) = δ (k 2)

−1

2 k−2

3

Esercizio #2 Data la rappresentazione in variabili di stato di un sistema lineare e stazionario (tempo discreto)

−1

x (k + 1) a 1 x (k) 1 0

1 1 u (k)

1

x (k + 1) 0 a 1 x (k) 1 0

= +

2 2 u (k)

2

x (k + 1) 0 0 a + 1 x (k) 0 1

3 3

x (k)

1

y (k) 0 1 0

1

x (k)

= 2

y (k) 0 0 1

2 x (k)

3

R\{−1}.

∈

1. Studiare la stabilità del sistema al variare di a T

0 1 2

2. Posto a = 0, determinare la risposta libera y (k) in uscita a partire dallo stato iniziale x(0) = .

l

3. Posto a = 0, determinare la risposta forzata y (k) nell’uscita, dove l’ingresso forzante u (k) è come sotto

f 1

(u (k))

rappresentato, mentre u (k) = (−1) δ (k).

1 −1

2

Esercizio #3 Data la rappresentazione in variabili di stato di un sistema lineare e stazionario (tempo continuo)

−1 −1

ẋ (t) 0 x (t) 0

1 1

−1 −1

ẋ (t) 0 x (t) 0

= + u(t)

2 2

−2

ẋ (t) 0 0 x (t) 1

3 3

x (t)

1

1 1 0 x (t)

y(t) = 2

x (t)

3

1. Determinare se il sistema è raggiungile e/o osservabile.

2. Studiare la stabilità esterna del sistema.

3. Determinare la rappresentazione ingresso-uscita nel tempo (ponendo le condizioni iniziali nulle).

Cognome: Nome: Matricola:

FONDAMENTI DI AUTOMATICA - GESTIONALE

Domanda Scritta del 27/02/2023

Esercizio #1

1. Trasformate segnali 1

1

U + 64

(z) = 27

1 2 2 −

z (z + 3) z (z 3)

1

(z) = 8

U 2 23

−

z(z )

Esercizio #2

1. Stabilità sistema ∈

Valori di a per stabilità asintotica: a (−1, 0)

Valori di a per stabilità semplice: a = 0

∈ −1) ∪ ∞)

Valori di a per instabilità: a (−∞, (0,

2. Risposta libera nell’uscita oppure anche (dice lui sotto)

−

(k 1) + δ (k)

2δ

−1 0

y (k) =

l 2δ (k)

−1

3. Risposta forzata nell’uscita

k−4

− − − −

(k 4) + (−1) δ (k 4) + (k 1)δ (k 1)

δ

−1 −1 −1

y (k) =

f (k)

kδ −1

Esercizio #3

1. Raggiungibilità e/o Osservabilità sistema

□ □

Raggiungibile Osservabile

□ □

Non raggiungibile Non osservabile

2. Stabilità esterna sistema

□ □

Esternamente stabile Non esternamente stabile

3. Rappresentazione ingresso-uscita nel tempo

2 dy(t)

d y(t) −2u(t)

+ 2y(t) =

+3

2

dt dt

Svolgimento esercizi

Svolgimento esercizio #1

1. 1. Come primo passo riscriviamo il segnale come combinazione di segnali tabellati, quindi

k k −

u (k) = ((−3) + 4 )δ (k 3)

−1

1 k−3+3 k−3+3 −

= ((−3) + 4 )δ (k 3)

−1

3 k−3 3 k−3

− −

= 3 (−3) δ (k 3) + 4 4 δ (k 3).

−1 −1

Segue quindi Z[u

U (z) = (k)]

1 1

3 k−3 3 k−3

Z[(−3) − Z[4 −

= 3 δ (k 3)] + 4 δ (k 3)]

−1 −1

1 z 1 z

3 3

= 3 + 4 .

3 3 −

z z +3 z z 4

2. Come primo passo riscriviamo il segnale come combinazione di segnali tabellati. Si ha

k−2

k−2+2+1

2 2

3

− −

u (k) = δ (k 2) = 2 δ (k 2),

−1 −1

2 k−2

3 3

da cui

k−2

2 1 z

3 3

Z −

U (z) = 2 δ (k 2) = 2 .

−1

2 23

2

3 z −

(z )

Svolgimento esercizio #2 2

− − −

1. Il polinomio caratteristico della matrice A è p(λ) = (λ a) (λ a 1), dunque gli autovalori sono

λ = λ = a e λ = a + 1. Si ha stabilità asintotica quando tutte le radici hanno modulo minore di 1,

1 2 3

ovvero per ∈ ∩

a (−1, 1) (−2, 0) = (−1, 0).

|λ | |λ | |λ | −1

Per a = 0 si hanno = = 0 e = 1, quindi si ha stabilità semplice. Il caso a = è escluso

1 2 3

da dominio. Infine, per tutti i valori rimanenti si ha instabilità, poiché almeno un autovalore presenta

modulo maggiore dell’unità.

2. Per a = 0, la matrice A diviene

−1

0 1

0 0 1

A = ,

0 0 1

2

ed il suo polinomio caratteristico p(λ) = λ (λ−1) (il polinomio caratteristico non è da ricalcolare, ma basta

−1

valutare in a = 0 il polinomio calcolato al primo punto). Nel dominio z, abbiamo Y (z) = zC(zI−A) x(0).

l

In particolare, si hanno

−1 1 1 1

−

−1

z 1 2 2

z z z

1 1

−1 0

−1

− 0 z

(zI A) = = ,

z z (z−1)

1

−

0 0 z 1 0 0 z−1

quindi

1 1 1

− 1 1

2 2

z z z 0

0 1 0 1 1

−1 z z (z−1)

0

−

C(zI A) = = ,

z z (z−1) 1

0 0 1 0 0

1 z−1

0 0 z−1

ed infine

0

1 1 2z

0 +1

−1 z z (z−1) z(z−1)

− 1

Y (z) = zC(zI A) x(0) = z = .

l 1 2 z

0 0 2

z−1 z−1

Quindi

2z + 1 −

2δ (k 1) + δ (k)

−1 0

−1 z(z−1)

Z

y (k) = = .

l 2 z 2δ (k)

−1

z−1 −

Si noti che la prima componente è equivalente a 2δ (k) δ (k).

−1 0

0 2

3. Poiché (−1) = (−1) = 1, il segnale u (k) è quindi u (k) = δ (k). Il segnale u (k) è invece dato da

−1

2 2 1

k−3 − −

u (k) = (−1) δ (k 3) + δ (k 3).

−1 −1

1

Le trasformate sono 1 z 1 z

U (z) = +

1 3 3

−

z z 1 z z + 1

z

U (z) = .

2 −

z 1 −1 −1

− −

La risposta forzata in uscita è data da Y (z) = C(zI A) BU (z), dove C(zI A) è già calcolata nel

f

punto precedente. Si ha

1 0

1 1 1 1

0

−1 z z (z−1) z z (z−1)

− 1 0

C(zI A) B = =

1 1

0 0 0

0 1

z−1 z−1

e quindi

1 1 1 z 1 z

+

−1 3 3

z z (z−1) z z−1 z z+1

−

Y (z) = C(zI A) BU (s) =

f z

1

0 z−1

z−1

1 z 1 z 1 z

+ +

4 4 2

z z−1 z z+1 z (z−1)

= .

z 2

(z−1)

Poiché

z

−1

Z = kδ (k),

−1

2

−

(z 1)

si hanno k−4

− − − −

y (k) = δ (k 4) + (−1) δ (k 4) + (k 1)δ (k 1)

−1 −1 −1

1f

y (k) = kδ (k).

−1

2f

Svolgimento esercizio #3

1. Si hanno

−1

0 3 C 1 1 0

2 −1 −1 −1 −2

B AB A B 0 3 CA

R = = O = = .

2

−2

1 4 CA 1 1 6

Poiché det(R) = 0, il sistema non è raggiungibile. Poiché det(O) = 0, il sistema non è osservabile.

2. Si ha

−1 1 1

−

0

s +1 0 1 s+1 (s+1) (s+2)

1 1

−1 −

0

− 0 s +1 1

(sI A) = = ,

s+1 (s+1) (s+2)

1

0 0 s +2 0 0 s+2

da cui

1 1 2

−1 −

−

Ψ(s) = C(sI A) = ,

s+1 s+1 (s+1) (s+2)

−2

−1

−

W (s) = C(sI A) B + D = .

(s + 1)(s + 2)

Poiché tutti i poli coinvolti in Ψ(s) e W (s) hanno parte reale negativa, il sistema è esternamente stabile.

3. Per condizioni iniziali nulle, si ha Y (s) = W (s)U (s), ovvero

2

(s + 3s + 2)Y (s) = (−2)U (s).

Applicando la antitrasformata di Laplace ambo i membri, otteniamo

2

d y(t) dy(t) −2u(t).

+3 + 2y(t) =

2

dt dt

Cognome: Nome: Matricola:

FONDAMENTI DI AUTOMATICA - GESTIONALE

Domanda Scritta del 3/04/2023

Esercizio #1 Per ognuno dei seguenti segnali nel dominio di Laplace, calcolare la rappresentazione nel tempo.

2

1 1

1. U (s) =

1 s

(s+1)e s+2

−s −s

3 2 −s

s +s+e s +e

2. U (s) = e

2 4 −1

s

Esercizio #2 Data la rappresentazione in variabili di stato di un sistema lineare e stazionario (tempo continuo)

       

ẋ (t) 0 1 0 x (t) 1

1 1

ẋ (t) 1 1 1 x (t) 0

= + u(t)

2 2

       

ẋ (t) 0 1 0 x (t) 0

3 3

 

x (t)

1

−1

y (t) 1 0

1 x (t)

= 2

 

−1

y (t) 1 1

2 x (t)

3

1. Attraverso la decomposizione di Kalman rispetto all’ osservabilità, indicare le matrici C e A del sotto-

o o

sistema osservabile.

2. Attraverso la decomposizione di Kalman rispetto alla raggiungibilità, indicare le matrici A e B del

c c

sottosistema raggiungibile/controllabile. −Kx

3. Se possibile, calcolare una legge di retroazione dallo stato u = affinché gli autovalori del ciclo chiuso

− −1.

ẋ(t) = (A BK)x(t) siano λ = λ = λ =

1,des 2,des 3,des

Esercizio #3 Data la rappresentazione in variabili di stato di un sistema lineare e stazionario (tempo discreto)

       

−

x (k + 1) 1 a 0 0 x (k) 1 0

1 1

u (k)

1

−

x (k + 1) 1 1 a 0 x (k) 1 1

= +

2 2

        u (k)

2

|a|

x (k + 1) 0 0 x (k) 0 1

3 3

 

x (k)

1

y (k) 1 0 0

1 x (k)

= 2

 

y (k) 1 0 1

2 x (k)