Esami svolti di Process Control

Corso di Controllo dei Processi

PROVA D'ESAME

Esercizio 1

Si consideri il processo descritto dalla matrice di trasferimento

G(s) = ^{[_{102(s+1)(1+10-3s) 102(s+1)(s+10)(1+10-3s)}]}

[_{5·10²(s+5·10³)(s+20) 2·10²s+20}]

la cui uscita y(t) ∈ ℝ² è la variabile controllata.

1. Si disegni uno schema di controllo MIMO basato su anelli a retroazione unitaria con disaccoppiamento all’indietro, indicando nello schema, esplicitamente, le funzioni di trasferimento all’interno dei vari blocchi.
2. Si progettiino i due regolatori SISO affinché gli errori a transitorio esaurito dovuti a segnali di riferimento y_r1(t) e y_r2(t) a scalino unitario siano entrambi nulli, le risposte allo scalino dei due sistemi controllati siano prive di oscillazioni e si abbia una buona reiezione (almeno 20dB di attenuazione) dei disturbi sinusoidali con pulsazione ≤ 10rad/s che agiscono sulla variabile controllata.
3. Si determini una pulsazione di campionamento adeguata per entrambi i sistemi di controllo, in modo tale che la corrispondente pulsazione di Nyquist coincida con una pulsazione in cui la risposta in frequenza di ciascuno dei due sistemi ad anello chiuso presenti almeno 40dB di attenuazione.
4. Per ciascun sistema di controllo SISO si determini la riduzione del margine di fase dovuta alla realizzazione digitale del regolatore, tenendo conto della scelta fatta in precedenza per la pulsazione di campionamento.
5. Si discretizzino i due regolatori progettati al punto 2 usando il metodo di Eulero all’indietro.

Esercizio 2

Si consideri il processo descritto dalla funzione di trasferimento ingresso-uscita

G(s) = 10 · e^-5s (s + 0.1)

la cui uscita y(t) è la variabile controllata.

Si progetti un sistema di controllo con regolatore PI che garantisca un margine di fase di almeno 60° e una banda passante ad anello chiuso di almeno 10rad/s.

A(s) = ¹⁰² │ _{(s+1)(s+10^-2)(s+10^-3)} │

│ ^5·102 │ _(s+5)(s+20)

a. Disaccoppiamento dell’indietro.

G(s) razionale, Δs, ω zen, a fare una minima proprietà di disaccoppiatore

U(s) = V(s) + T(s)V(s)

U(s) = Δ(s)V(s)

Δ(s) = (1 - T(s)^-1)

T(s) = │ ^{0 -G₁₂} │ _{-G21 G22}

enendo │ ∼G(s) = │ │ G₁₁ 0 │ │ 0 G₂₁ │

T₁₂(s) = - ^10-2 │ _(n+10^-3)

T₂₁(s) = ^5·10-5 │ _{(n + 2·10^-4s)}

Per progettare R₁, R₂ mi basta guardare G₁₁ e G₂₂ in ω.

b. R₁, R₂:

a) ϵP = 0 per Y_R1F,12(ω^-1) = 1

b) no oscillazioni, buona reiezione (> 20dB) per ω = 10 rad/s

Corso di Controllo dei Processi

PROVA D'ESAME

27 Giugno 2006

Prof. A. Ferrara

Esercizio 1

Si consideri il processo meccanico il cui modello matematico è

aθ̇̇ + bθ̇ + csinθ = 2·10⁴u

con u variabile di controllo e θ variabile controllata.

1. Si scriva l'equazione di stato e la trasformazione d'uscita del sistema considerato in ipotesi di condizioni iniziali nulle.
2. Si determini l'ingresso costante ū che garantisce all'equilibrio θ̄ = 0.
3. Si linei l sistema attorno al movimento d'equilibrio trovato in precedenza. Si determini inoltre la funzione di trasferimento ingresso-uscita.
4. Dopo aver posto a = 1, b = 102 e c = 200, si progetti un regolatore senza poli nell'origine che garantisca un margine di fase di almeno 80° e consenta di ottenere, a fronte di variazioni a scalino del riferimento, errore a transitorio esaurito < 10^-3.
5. Si determini la pulsazione di campionamento in modo tale che la corrispondente pulsazione di Nyquist coincida con una pulsazione in cui la risposta del sistema ad anello chiuso presenta almeno 20dB di attenuazione.
6. Si determini la riduzione del margine di fase dovuta alla realizzazione digitale del regolatore.
7. Si discretizzi il regolatore usando il metodo di Eulero all'indietro.

Esercizio 2

Si consideri il processo descritto dalla funzione di trasferimento ingresso-uscita

G(s) = ^50·102/_{(s + 500)(1 - 0.01s)}

la cui uscita y(t) è la variabile controllata.

Si progetti un sistema di controllo in modo che l'errore a transitorio esaurito dovuto a segnali di riferimento y_rif(t) costanti sia nullo e che la banda passante ad anello chiuso sia almeno 100rad/s.

Scelto K = -50K * 10⁴

K = 80.000

L_N(s) = 90.000

F₁(s) =           80.000 (s+200)(s-100)

R₁(s) = 0.18

=      80.000 (s+500)(s-100)

SPH 1

Y_oP(s) = ⁿ⁄_s

R₂(s) = integratore

L(s) = R_L(s)F(s)

ep: lim ¹⁄_s→0 1 + ...= ø OK

regolatore R(s) scelto soddisfa quindi:

ω_BPAC = 2.5 rad/s, MF > 75° → interseca a ߐ angolo

polo dominante e quindi ω_BPAC = ω_c = 10 rad/s

Ep → &exists; |Prove out| y_RIF(s) = ¹⁄_s

n_i: è un integratore

ad anello.

- c'è attenuazione dei disturbi per w ≥ 100 rad/s

- |L(ω)| taglia con pedunco -1 prottratto.

Esenodo, il guadagno d'anello questo io e

MF > 0, posso concludere che il sistema di

controllo è asintoticamente stabile.

3. ω_S tale che W_N sia uguale ad una

pulsazione in cui la risposta ad A.C. presenta

almeno 40 dB di attenuazione.

Esenodo in MF > 75° il sistema di controllo

chiusro e → angolo palo dominante e

presenta della del I ordine, posso

quindi dire che ω_BPAC = ω_C = 10 rad/s

per soddisfare la requifia devo prendere una

pulsazione W_N ≥ 10⁺³ rad/s

Scelgo ω_S tale da non exedere troppo MF e non

incorrere al fenomeno della quantistamione.

ω_S = 10⁴ rad/s

empao ω_S = 2ω_N , W_N = 0.5 · 10⁴ rad/s

G(s) = sy / su

8x = 10u - 1.8 x 10^-28x

G(s) = ₁₀/^{s + 1.8 x 10-2}

4. PI in modo che y_RIF(s) = ₁/^s no oscillazioni o sovraelongazione

Buona reiezione ai disturbi AC per < 10²

SPECIFICA #1

Regolatore PI

• R(s) = K_P + _KI/^s con T_I = _KP/^K_I
• | = K_P + _KP/^T_Is = _KP/^T_Is (1 + T_Is)

SPECIFICA #2

Equivale a imporre MF > 75° in modo che il sistema sia a singolo polo dominante → si comporta come un sistema di primo ordine.

SPECIFICA #3

Soddisfa garantendo attenuazione del modulo della funzione di sensitività in corrispondenza di tali frequenze:

• |S(j)|_dB ≤ 20 dB per < 10² rad/s
• con S(j) = ₁/^{1 + L(j)} e L(j) = R(j)G(j)