Esami svolti Statistica

X

• 1.5.

(c) (2 punti) Trova il valore mediano di X.

•

5. Un'azienda ha due linee di produzione, L1 e L2. L1 produce il 60% degli articoli e ha

un tasso di difettosità del 1.5%. L2 produce il restante 40% degli articoli e ha un

tasso di difettosità del 2.5%. Un articolo viene scelto a caso dalla produzione totale e

risulta difettoso.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che l'articolo difettoso provenga dalla linea

• L1?

(b) (2 punti) Qual è la probabilità che un articolo scelto a caso sia difettoso?

• (c) (2 punti) Se un articolo scelto a caso non è difettoso, qual è la probabilità

• che provenga dalla linea L2?

Giorno 5 (Totale: 30 punti)

1. Una rara condizione medica ha una prevalenza dello 0.02% nella popolazione

generale. Un nuovo test diagnostico per questa condizione ha una sensibilità del

99.8% (risulta positivo nei malati) e una specificità del 97.5% (risulta negativo nei

sani). Un paziente si sottopone al test e il risultato è positivo.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che questo paziente sia effettivamente

• affetto dalla condizione?

(b) (2 punti) Calcola la probabilità che il test dia un risultato falso negativo.

• (c) (2 punti) Se il paziente fosse sano, qual è la probabilità che il test dia un

• risultato positivo?

2. Il tempo di ricarica di un veicolo elettrico (in ore) è modellato da una distribuzione

uniforme tra 3.0 e 7.0 ore.

(a) (2 punti) Scrivi l'espressione matematica della funzione di densità di

• probabilità di questo tempo di ricarica. Cisco Confiden+al

(b) (2 punti) Qual è la probabilità che la ricarica duri tra 4.0 e 6.0 ore?

• (c) (2 punti) Calcola il tempo medio di ricarica e la sua deviazione standard.

•

3. Un'azienda vuole stimare la percentuale di prodotti difettosi nella sua produzione.

Su un campione casuale di 800 prodotti ispezionati, 48 risultano difettosi.

(a) (2 punti) Fornisci una stima puntuale della proporzione di prodotti

• difettosi.

(b) (2 punti) Costruisci un intervallo di confidenza al 90% per la vera

• proporzione di prodotti difettosi nella popolazione.

(c) (2 punti) Spiega cosa significa, in termini pratici, l'intervallo di confidenza

• che hai calcolato.

4. Il numero medio di chiamate perse in un'ora da un operatore telefonico è 0.5.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che in un'ora l'operatore non perda

• nessuna chiamata?

(b) (2 punti) Calcola la probabilità che in 2 ore l'operatore perda esattamente

• 3 chiamate.

(c) (2 punti) Qual è la probabilità che il tempo tra due chiamate perse

• consecutive sia superiore a 3 ore?

5. Un sistema di allarme è composto da due sensori indipendenti, S1 e S2. La

probabilità che S1 funzioni è 0.92 e la probabilità che S2 funzioni è 0.88. Il sistema di

allarme suona se almeno uno dei due sensori non funziona.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che il sistema di allarme suoni?

• (b) (2 punti) Se il sistema di allarme suona, qual è la probabilità che sia stato

• il sensore S1 a non funzionare?

(c) (2 punti) Qual è la probabilità che entrambi i sensori funzionino?

•

Giorno 6 (Totale: 30 punti)

1. Un'azienda produce smartphone. Il 0.5% degli smartphone prodotti presenta un

difetto di fabbricazione. Un ispettore seleziona un campione di 500 smartphone.

(a) (2 punti) Utilizzando un'approssimazione adeguata, calcola la probabilità

• che nel campione ci siano esattamente 3 smartphone difettosi.

(b) (2 punti) Qual è la probabilità approssimata che il numero di smartphone

• difettosi sia maggiore di 5?

(c) (2 punti) Spiega in quali condizioni questa approssimazione è considerata

• appropriata.

2. I seguenti dati rappresentano il numero di clienti serviti da un cassiere in intervalli

di 15 minuti per 10 osservazioni: [5, 7, 4, 8, 6, 7, 5, 8, 6, 7].

(a) (2 punti) Calcola la media e la mediana del numero di clienti serviti.

• (b) (2 punti) Determina il range e la deviazione standard campionaria.

• (c) (2 punti) Se il numero di clienti serviti segue una distribuzione di Poisson,

• qual è la probabilità di servire esattamente 6 clienti in 15 minuti?

3. Il tempo di vita (in mesi) di un certo tipo di batteria ricaricabile segue una

distribuzione esponenziale con un valore atteso di 20 mesi.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che una batteria duri meno di 10 mesi?

• (b) (2 punti) Se un sistema è composto da due di queste batterie in serie, qual

• è la probabilità che il sistema funzioni per più di 15 mesi? Cisco Confiden+al

(c) (2 punti) Se un sistema è composto da due di queste batterie in parallelo,

• qual è la probabilità che il sistema funzioni per più di 15 mesi?

4. Un'urna contiene 15 palline, di cui 8 sono rosse e 7 sono blu. Si estraggono 4 palline

senza reinserimento.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità di estrarre esattamente 2 palline rosse e 2

• palline blu?

(b) (2 punti) Calcola la probabilità di estrarre almeno 3 palline rosse.

• (c) (2 punti) Se le prime due palline estratte sono rosse, qual è la probabilità

• che le successive due siano blu?

5. Un sistema di sicurezza è composto da 4 sensori identici, ciascuno con una

probabilità di funzionamento del 95%. Il sistema funziona se almeno 3 sensori sono

operativi.

(a) (2 punti) Calcola la probabilità che il sistema funzioni correttamente.

• (b) (2 punti) Se il sistema funziona, qual è la probabilità che tutti e 4 i sensori

• siano operativi?

(c) (2 punti) Qual è la probabilità che esattamente 2 sensori non funzionino?

•

Giorno 7 (Totale: 30 punti)

1. Un sondaggio pre-elettorale su 1000 elettori ha rivelato che 550 intendono votare

per il candidato X.

(a) (2 punti) Calcola la stima puntuale della proporzione di elettori che

• supportano il candidato X.

(b) (2 punti) Costruisci un intervallo di confidenza al 95% per la vera

• proporzione di elettori che supportano il candidato X nella popolazione.

(c) (2 punti) Spiega cosa si intende per "margine di errore" in questo

• contesto.

2. Un processo produttivo genera articoli il cui peso (in grammi) è normalmente

distribuito con una media di 200 grammi e una varianza di 25 grammi.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che un articolo selezionato a caso pesi tra

• 190 e 210 grammi?

(b) (2 punti) Se si selezionano 9 articoli a caso, qual è la probabilità che la

• loro media campionaria del peso sia inferiore a 195 grammi?

(c) (2 punti) Qual è il peso che separa il 5% degli articoli più pesanti dal

• restante 95%?

3. Un'urna contiene 12 palline bianche e 6 nere. Si estraggono 4 palline senza

reinserimento.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che le 4 palline estratte siano tutte

• bianche?

(b) (2 punti) Calcola la probabilità di estrarre esattamente 3 palline bianche e

• 1 nera.

(c) (2 punti) Se si sa che almeno una pallina nera è stata estratta, qual è la

• probabilità che siano state estratte esattamente 2 palline nere?

4. Una variabile casuale non negativa ha una media di 15.

X

(a) (2 punti) Utilizzando la disuguaglianza di Markov, fornisci un limite

• superiore alla probabilità che sia maggiore o uguale a 45.

X Cisco Confiden+al

(b) (2 punti) Se la varianza di è 8, usa la disuguaglianza di Chebyshev per

X

• stimare la probabilità che si discosti dalla sua media di più di 6 unità.

X

(c) (2 punti) Spiega la relazione tra la disuguaglianza di Chebyshev e il

• Teorema del Limite Centrale.

5. Un sistema di erogazione di acqua è composto da una pompa principale (P) e due

pompe di riserva (R1, R2). La pompa principale ha una probabilità di funzionamento

del 98%. Le pompe di riserva hanno ciascuna una probabilità di funzionamento del

85%. Il sistema funziona se la pompa principale è operativa, oppure se entrambe le

pompe di riserva sono operative. Tutte le pompe operano indipendentemente.

(a) (2 punti) Calcola la probabilità che il sistema funzioni.

• (b) (2 punti) Se il sistema non funziona, qual è la probabilità che la pompa

• principale sia guasta?

(c) (2 punti) Qual è la probabilità che esattamente una pompa di riserva sia

• operativa?

Giorno 8 (Totale: 30 punti)

1. Un test a scelta multipla ha 20 domande, ognuna con 5 opzioni di risposta di cui una

sola è corretta. Uno studente risponde a caso a tutte le domande.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità che lo studente risponda correttamente a

• esattamente 5 domande?

(b) (2 punti) Calcola la probabilità che lo studente risponda correttamente ad

• almeno 18 domande.

(c) (2 punti) Se il test avesse 200 domande, quale approssimazione useresti

• per calcolare la probabilità di rispondere correttamente a più di 50

domande? Giustifica la scelta.

2. I seguenti sono i punteggi ottenuti da 15 studenti in un esame: [70, 75, 78,

80, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 60, 62, 100, 55].

(a) (2 punti) Calcola il primo quartile (Q1) e il terzo quartile (Q3) di questi

• punteggi.

(b) (2 punti) Determina il Range Interquartile (IQR) e spiega cosa

• rappresenta.

(c) (2 punti) Utilizzando la regola dell'1.5 * IQR, verifica se ci sono outlier in

• questo set di dati.

3. Il numero di difetti in rotoli di tessuto segue una distribuzione tale che, in media, si

riscontrano 1.2 difetti per rotolo.

(a) (2 punti) Qual è la probabilità di trovare esattamente 2 difetti in un

• rotolo?

(b) (2 punti) Calcola la probabilità di trovare almeno 3 difetti in 3 rotoli.

• (c) (2 punti) Se un ordine è composto da 100 rotoli, quale approssimazione

• useresti per calcolare la probabilità di trovare più di 130 difetti totali?

4. Un'azienda ha un lotto di 300 componenti elettronici, di cui 15 sono difettosi. Un

tecnico seleziona un campione di 25 componenti per un controllo.

(a) (2 punti) Calcola il numero atteso di componenti difettosi nel campione.

• Cisco Confiden+al

(b) (2 punti) Determina la varianza del numero di componenti difettosi nel

• campione.

(c) (2 punti) Qual è la probabilità che nel campione non ci sia nessun

• componente difettoso?

5. Si lancia una moneta non truccata 800 volte.

(a) (2 punti) Utilizzando l'approssimazione normale con cor