Esami di Statistica (terza parte)

B

+ 0

= = :

= . ,

stabilire stimatori

Per deve

di

corretti

Ta

Ts

se sono

a p

e

. che

risultare : E[Ta]

E[Te] = N

=

le

Dunque loro aspettazioni

calcolare

dobbiamo sfruttare

possiamo

e

dell'aspettazione

linearità loro

decomponendo

la cioè nelle

Ta

TI com

a

,

sostituendo

ponenti l'aspettazione quindi ot

di Xe X2 Xz

e con p ;

e

,

teniamo -

:

E)E[x] 3E[Xs]) E(p

2E[Xa] 3)

ETTs] corretto

=

Sp

+ 0

+

=

-

= = non

-

bE[Xs])

ETX) 2)

El 4N)

E[Xe]

ETTa] concetto

1

+ N =

=

= - + non

=

-

b

. Per stabilire dei due

quale stimatori dobbiamo

efficiente

più

sia ,

le di chi la

dei due

Tz

calcolare Tr avrà

varianze varianza

e

e

efficiente

considerato

sarà più

minore :

) Vor(xz))

(aVar(x) 35 (1 9)

% aVar(xa)

( a

Vor(Ts) 4

+ +

= +

+ =

=

- E ,

5

.

0

= =

(E)"(agVar(Xe) Vor(xz) (2 2)

aVor(x2)

Vore(Tal &

as 4

2 2 +

2

+ +

=

= + . .

.

b

4)

=(2 67

2

+ + = 0

= = .

efficiente

Te è più

· .

Dato di

il ipotesi

sistema

seguente

a :

. /0

0

Ho He 1

+

1 :

=

: , Se

le Si

anche

Calcoliamo medie i

Xe

· e :

X 8

6 2

6 + 4

+ 4 4

3 + 9 24

6

+

= 0

.

. =

.

. . .

5

3

y 2

3 7 4

5

6 6

+ 6 1 + 36

5

+

+

= .

. .

.

. .

=

5 Si

Se

Dopodiché calcoliamo

· :

S(xi- 24 2

62440-6

(68 24 45

+ 2

6

6

= - - .

. . 4 2

= (63-536

(yi-y +( 36

S 42 1

5

= - =

.

4 f:

Adesso calcoliamo test

della

il valore statistica

· =S

f 458 .5

2

=

Sapendo che 16 936

F14 F14 = 39

35

6

16

· = 0 0

=

e 4)

4) 95 .

05 .

.

0

0 .

, .

.

, ,

,

hp nulla

accetto

=> VERO = . Sp

della dalla

b lo

Calcoliamo dato

stimatore congiunto varianza

. ,

Se Si

fra

media :

Sy 7581708 33

4

= =

.

Dopodiché la formula

seguente calcolare l'IC della dif.

usiamo

· per

due

le

ferenza fra medie : =

( -YI tare Sp

/

IC .

: ·

m-e

+

n

,

tar

Calcoliamo

· :

n-1

, 5005 860

2

1 1

2 6

90 =

05

= =

0 20 =

0 0

= =

- = 8

. .

. . ,

otteniamo

Sostituendo

· : 5 885)

( 325

860 2

1 1

79

14 1

36 = =

.

6 5

- -

· . . .

. ,

. . di

Per la

l'ampiezza

calcolare dell'intervallo confidenza

C per

. media la formula

seguente

uso :

272/2 0 3

. =

N

Da ricaviamo

qui

· Zara :

10

3 n 3 74

2

Zara = = .

=

23

20

Dunque ottenere

vogliamo

· :

P(z73 74)

Amp Interv 0062

2 2 0031

0 0

=

=

.

= . . .

. .

4 1 74)

p(z(2 0031

0

9969

1 =

0

= -

- .

.

. formule

le

o

Calcoliamo seguenti

2 p

a con

e :

. ,

Sxy 638

8

B 453

0

=

= =

. .

Sxx 032

19 .

Bx

y 578

6 2

36 24

5 453

0

a =

= .

= -

- .

. .

.

02

SSR 2 911266 9

0 e

= =

. .

3

Dato

b il di ipotesi

seguente sistema

. Ho He

p B + 0

0

: = :

,

calcoliamo test t

della statistica

il valore

· :

B 453

t 0

o 0

- - 0061

2

=

= . = .

↳ SSR 911366

2 .

2)Sxx

(n 032

- 19

3 . .

Dopodiché tara

calcoliamo

· :

n-2

, hp

t accetto nula

6

2 1822

=

05 025 182

00613

3

=

0

= =

= 0 3

.

. .

. .

.

,

La formula la

l'IC

calcolare è

c varianza

per per :

. SSR

Se

o (

Ic : 12

era

ne tabella Chi-quadro

Calcoliamo dalla

valori

i

· :

X8025

2

6 = =

1-2 025 348

95 9

) 05

0 =

= 0

=

= 0 = 3

. .

. .

,

E

2 975 x0975

1 216

=

0 0

3

- = .

. ,

otteniamo

Sostituendo

· : 478)

S (0

(

911966

9112662

2 13

311

. =

. .

. ,

/

348

9

. 216

0 .

distribuzione

La della delle distribu

bottiglie

capacità

a segue una

. media deviazione

normale ml standard .

ml

zione 750 4

0

con e

p = =

Per trovare la da fare

probabibilità richiesta la è

· prima casa

,

la

normalizzare variabile X variabile Z

in :

una

X

z 750

745

m 95

1

= - = =

- - .

O 4

A calcoliamo

questo punto

· :

5) 25)

745)

p(x 1

= = 1056

0

- =

. .

In

b la

questo stiamo che

valora la

cercando t prob

caso x

un c

. .

.

bottiglia

della del cioè

capacità inferiore %,

sia sia 5

X :

a

x)

P(X = = 05

0 .

Sappiamo che dunque sostituendo

64

-1

> 70 ;

1-d

· d 95

05 = =

0

0 =

= = 05 .

. . .

otteniamo :

[50)

p(z)x - 750

= x )

64 56

6

750

X

1 743

= 44

05 x

=)

-

0 =

= =

-

-

= -

. . .

.

4

In la

vogliamo

questo calcolare probabilità

seguente cioè

.

c ,

caso

P(X1-X210) che

dato normali indipendenti

entrambi

Xe X2 sono

; e distribuzione della

stessa

la deviazione differenza

, la

standard

con media standard

anch'essa normale deviazione

Xe

X sarà O

con e

-

calcolata segue

come :

02

04 32 65

26 5

16 =

+ =

Ox =

+

= .

xa

-

A calcoliamo

questo punto Z

· segue

come :

X

z 10 77

1

0

p

= -

- = = .

65

5

O .

A otteniamo

questo punto : 77)

10) 77) (1

P(x1 p(z 77)

P(z

1 1

2

x2 1 1

= 9616

=

=

= = 0

= =

-

- - -

. .

. .

0384

= 0 .

Dobbiamo la

calcolare delle

congiunta

probabilità asservazioni

a n

. T)

P) ipotesi

le

entrambe

sotto

Xa

T Xn

Xe T

= =

= :

...,

, , moneta

poiché ottenere

la

Sotto testa

la di

probabilità

Hz è equa,

: ,

la

lancio congiunta è

Quindi

è prob

in ogni :

. (2)

P(Xe T Hz)

Xn

T

, =

= =

...,

Sotto la ottenere

poiché di

teste

ha la testa

moneta

Ha due prob

: .

,

la

lancio Quindi congiunta

prob

è è

in 1.

ogni :

.

.

P(Xe THa) 14

Xn

T

, 1

=

= = =

...,

la

b formula di Bayes

Usiamo :

. THe)P(Hz)

T) P(xz

P Xe Xn

T

He , Xn ,

T

= = =

=

= ...,

. .

. , T)

P(xe Xn

T

, ..., =

=

con :

P(Hz) che le

PCHal rappresentano entrambe

prob ,

· priori sono

e e

a

XnT)

PIX1 la marginale t

dell'osservazione

prob

T è

=

· c i

...,

, . .

T) p(x1

(Xe P(xe

P THe)P(Hz)

Xn Xn

T T

,

, THa)P(ta)

= Xm

= = T

,

+

= = =

=

.

. ., ..,

. ...,

2n

(E) t

E E 1 =

= + +

.

. 1

+

la

Quindi la

che (He)

moneta

prob è

,

· sia equa :

22

(2)

E L

1

T) +

(tzXz

P .

T Xn = =

= =

= 24

..., n &

n

, + 2

+

+

+

1

+

La che

prob Ha delle fosse risultata

.

c sia asservazioni

se

vera cro

una n

. truccata

moneta ed testa

la

è quanto

nulla è uscireble

in

ce sempre

ESAME APRILE

9 2024

Calcoliamo Sxy

innanzitutto

a :

,

. ,

Sxy Sxx Syy 48

9

58

233 12

9 =

42

0

R · =

= .

. · .

.

. .

Dopodiché calcoliamo le formale

seguenti

2

· B

e con :

Sxy 12

48 976

B = 0

= =

. .

Sxx 9

222 . 19

B

y 64

29 9

216

d 1

26 =

= 0

-

= .

- .

. . .

b Per calcolare formula

l'IC la seguente

Buso

per :

. SSR

IC BItara

: (n-2/Sxx

·

n-2

,

Come calcoliamo SSRi

· prima casa 121

Sky 148

SxxSgy 223

SSp 9 58 9 48 52

-

-

= .

= .

. . = .

Sxx 222 9

.

dopodiché calcoliamo tar

E

· :

n-2

, 70

1 306

2

2 95 )6 05 7 025

0

= 0 =

= =

=

- 0

= =

.

. 05 0 .

. . .

Sostituendo atteniamo

· : 51

48 . [ 596]

[C 0 932 0 164

9

216 2

+ =

306

0

: 0

-

. . .

.

. .

,

Dobbiamo di

il

calcolare la

seguente intervallo

.

c previsione seguen

con

te formula (x)

(1 2 +

+

+G =

IP +

pxo

a

: + 2

n -

, 194851

2

(2 [19 31

+ + =

29 64

= 2812

216 69

306

+ 0 .

.

. .

. ,

la funzione di (x1

verosomiglianza Xn)

(10)

a campione x2

per un ...,

,

,

è Ge

: (0e8)nn I