Esami di Statistica (parte 1)

Y

C regressione 3

x :

=

. Y 5

1 44

52

88 3

0

= + =

. .

. .

Sa calcoliamo di

il la

intervalla

seguente seguente

qui previsione con

formula : 1

↑ +

I tara ·

-a

,

Coni

· 98

891

SS e

= 8

. 3

~

I 13 .

Sosistuendo atteniamo

· : 1683

1)

( 1

8 +

3 + 5 44 2

5 .

44 3 +

16 .

.

- .

.

,

.

.

(- 994)

114

6 16

= . , .

partire

A di

dal testo media 12

a sappiamo pari

avere

. una a per

,

/

probabilità seguente

la calcolo

il

effettuiamo

calcolare :

2 +

P(x(14) i

- 3

0

= =

= e .

b Questa la

volta seguente probabilità

calcola :

invece si

,

,

. - - 5

12 2

.

)

) (1

(2

P)g i x

5) e

e

X 1

e - 1

- = 2195

= 0

19 +

= -

= =

-

-

. .

Dobbiamo calcolare la seguente

.

c eg.i prop

Ex

E

+ 978x

- h(0 97)

.

2 1

i =

03 + 12

=

= +

=

i e

0 03 = 0

0

- = .

. .

. . 3655

0

= .

ESAME 27 GIUGNO 2023

Dobbiamo la

calcolare seguente probabilità

a :

. 1

1e + 6

p(4 b)

p(x

6) 5) p(x -

<X 1

- 1008

= =

= + 0 0504

l

= = + 0 =

t .

= .

! !

5 6

1512

= 0 .

.

b testo *

A partire dal otteniamo (

variabile +

~Poss

Y X >

x 2

+

= =

una

La

6)

. richiesta

probabilità è

= : 6

p(y() 1)

p(y 0) 6

P(rza) p(y 6

1 -

1

2 -

=

= =

= =

-

- - =

1 0094 9898

0 0148

0

= 0

=

- -

. . .

Per le

calcolare

dobbiamo

ristorante probabilità

seguenti

ogni

a . P(A) P(ADa)P(Da)

P(Abe)P(be) +

=

P(B) P(BDa)P(Da)

P(B(2)P(D) +

=

p(c) P(cda)P(Da)

P(cbe)P(be) +

=

Concentriamoci truccato chiamiamo

dado Da

attimo sul

· e con :

un

la faccia dispari

prob

X per una

.

la faccia

prob

Ex pari

per una

.

atteniamo

Quindi

· :

3x(2)

3x 2x 2

= =

1

1 1

9x = x

;

+ = = =

=

Andando sostituire atteniamo

· a :

P(A) 3 G

2 2 2 3 + 0

= =

=

+ =

+

. .

P(B) 1 +

= 0

(2) Et

p 3 60

%

= =

+

b Dobbiamo la

calcolare probabilità di

il th.

seguente Bayes

con :

. I

5 z

P(Ab)P(b)

P(BA) . 12 429

0

= =

-

= .

194

P(A) 0

194

0 .

.

Sempre th Bayes

usando il di atteniamo

.

c :

. " 2

P((a() P(((a)P((a)

= 571

0

=

= .

=

389

0

611

1 .

P(c) 0

- .

la

Calcoliamo media

a x:

. 1193 4 1157 6 1213

7

1234 1191

5 1

1159

+ 6

+

+ +

X = .

. . . . .

=

5

Il da

hp dato

di

sistema questo è

in

· :

caso

.

Ho He 120

+

1201

: N

N :

= , la

Poi deviazione

calcoliamo standard

anche S campionaria

· assia :

, 6) 2

512

(xi (1913

x)2 (1293

5 1192

2 46

1292 + 33

4 +... =

-

-

S .

.

=

= . . .

- .

calcoliamo

Adesso della test

statistica

valore t

il

· :

(1292

pr

(F 1201)55

t 6 624

= 0

-

-

- = . = .

33 46

. tabella

calcoliamo di tara

Adesso la t Studenti

il valore di

con

n 1

, [ 77) hp

accetto

7 70025 nul

)

77 2 2

77

2 =

2 )

2 =

05 =

025

0 -

= =

0

= =

= . .

. ,

. .

4 .

la

,

b Per costruire la la

l'IC formular

seguente

varianza uso

per

. (lmzs Inl)

o , x 2

-

Xa X-

Calcoliamo di tabella

valori chi

di quadro

nella

i

· e :

&

40

1 6

2 24

21

05

0 =

= 095

0 =

= = 025 4 .

. . . .

2

2

1. 40

=

975

0 48

0

= =

975 4

. .

. ,

Sostituendo atteniamo

· :

(4 122957)

1220 t 1403

4.

, 25

·

o = 9332

12

/ . .

,

Dato hp

il di

sistema

seguente

c :

. 02

Ho He

< : 1000

1000

: 027

, X"

Calcoliamo il valore statistica

della

· :

1)g2

(n

X 4 1219 57 4 48

= .

- = =

. .

1000

02 X

Calcoliamo il valore di :

X0 hp

6 accetto

)

48 nulla

VERO

05 4974

9 )

)

= =

0 =

=

= 05 .

. .

. .

.

Dato che casuali da

XI Xn popolazione

campioni

a sono una norma

. ...,

,

NC di

1)

, data

funzione

le la da

è

verosomiglianza :

, (i-p)a

"I 2

(p)

< e

: 2π

i 1

=

la funzione

Quindi log-verasomiglianza

di e

· :

log(2π)(xi )

log((p) = -

funzione

la

Deriviamo uguale

paniamola zero

e :

a

(i -

log((p)

& -

=

Da stimatore di

lo

atteniamo verosomiglianza cioe

massima

cui per p :

,

N

N Xi

Xn =

= i 1

=

Dato

b stimatore

lo di confronte

verosomiglianza Xn

massima e con

messo a

. stimatore

lo notiamo che

T :

, V(T)

v(Xn) 2 = 122

= ,

VIXn)

Essendo stimatore

>VIT) lo

, ha

efficiente

Xn è cioe

più varianza

, una

Inoltre bi

considerando il

quindi MSE T

maggiore precisione

minore e per

,

una . ,

distorto

Essendo

bios

quadrato

anche stimatore

del

il T

aggiungere

sogna uno

.

I 1)

bios= stimo

che

il di è

quello

rispetto

MSE Xn

sarà maggiore

suo uno

a ,

,

tore distorto

non .

Dato che distribuzione

la

di

media

Xn normali

è è

variabili

e , sua :

una

. z)

N(w

M - ,

la

Per distribuzione

T è

· invece :

, , *

<(2)

N(N

T in

- ,

Definito la

DETo di bit

1] prob il

errato

ricevere

con

Q messag

un ,

.

, la

bit errati

è interpretato

mal Dunque proba

2 3 .

gio sono

su

se

richiesta

bilità è : 03

3091 0)

P(0m) +

= -

dove :

3021-0) (esistono

bit combinazioni

che

prob errati

siano

2 3

: per

.

bit errati

3

a su

avere

o tutti

la che bit

prob errati

siano

3 i

e .

. il

la di

th Bayesi

.

b calcolare posteriori

Per prob può

si

a usare .

. [(0)

p(MO)

(M)

P(O = . 50 13

.

[(050

Sop(M %

8) 0

. 13

,

dove

· :

ICO la funzione che

indicatrice

è vale quando è

O nell'interval

s

50, 13

,

lo altrimenti

[0 1] 0

e

.

l'integrale denominatore la

al l'area

distr che

normalizza modo sot

in

la

to .

1

sia

curva

Quindi

· : 03

3091 6)

P(0 M) +

= - do

" 1303(1-0 09

& +

Calcoliamo il integrale

seguente :

↑ 1 03-0(-0

382-203do 58-

= -120

Sostituendo atteniamo : 03

38 %

2(382

p(0m) 0) 20

+

-

= -

=

E

che dato da

Calcoliamo questo

in è

a :

caso

. , p =3

Us

=

che -p

Visto N10 l'IC

1)

, calcolare

· possiamo segue

come :

= ,

p(1 p)

- p(1

p(1 p)

p) n)

-

-

pe(p p za

zaa + -

- n

- , tabella

guardando

Calcoliamo dalla normale

il valore Z

zaa

· :

1

1 2

2

90 70

d 7

) 0 95

=

2 64

11

=

05

10

0 =

0 =

-

= = 0 =

= = . 05

.

.

. .

.

Sostituendo otteniamo : 978

022

978 0

0

022 0

0 1500)

· (0 03)

· .

pe(0 .

.

. 0221 64

1

0 016

=

022 64 0

1 1500

. . . .

.

. . ,

,

Dato

b hp

di

il sistema :

. Ho He 02

03

-0

po po

: : 0 .

. ,

calcoliamo della

il test

valore statistica z :

p po

- 55

0

z = = .

98 1500

02 0

0 : .

.

Calcoliamo il di

valore

· Zara : hp

accetto

9670 55

1 =

70 VERO

975

2 2

6 )

)

095 1 = =

05 =

0

= 0 0

=

= = .

=

- 05 .

.

.

. . . nulla

fa procedimento

Si al bi

analoga punto

.

c un Ho He

15 25

Po

: po

=0 : 10 .

. , della

il

calcoliamo test

statistica

valore

· z :

23

z 2

25

022

0 0

= - .

. . =

9851500

15 0

0 . .

.

Calcoliamo il di

valore

· Zara : 23

9672 FALSO rifiuto

1 hp

=

70

975

2 2 =

6 )

095 1 = =

05 0

= 0 0

=

= = =

- 05 . .

.

.

. . . nulla

ESAME 31 MARZO 2021

calcolare la

Dobbiamo seguente probabilità

:

a .

P(VA2) 1 3

7 0

0

= =

- . .

b la

Per la

calcolare seguente seguente

calcoleremo

probabilità invece

, ,

. probabilità :

p(y)

p(V) 1

= -

dove PIV) la di perdere

probabilità

è nel Azi

As Az

· vino caso e

,

(v) ((0 7) 5))

(0

6) (0

p 1 1 63 37

= 2 0

4 0

5 0 =

+ =

+

- 0 -

0

. .

. . .

.

. .

. .

.

th di Bayes

il la seguente

calcolare

Usiamo prob.i