Statistica – Esami

s

2

s s s s

a b a b

1 2 3 1 s

3

s

1 s s

1 2

s

2 a s

3

s

3

a b b a

a a

Riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.

Statistica per il management II

Prova scritta del 11.07.06

1) Una fabbrica deve acquistare una nuova macchina. Le due migliori marche, A e B, vengono confrontate

in termini di velocità, rilevando per ognuna di esse il tempo medio impiegato per 100 prestazioni. Verrà

acquistato l’impianto che avrà un vantaggio di almeno un secondo di durata media sull’altra. Assumendo

che lo scarto quadratico medio e la durata media relativi alla popolazione ipotetica di tutte le potenziali

durate siano uguali per entrambe, e in particolare che lo scarto quadratico medio sia pari a 2, si calcoli la

probabilità che venga scelta la macchina B. S S

q > 0

2) Sia una variabile casuale con funzione di densità dipendente da un parametro . Siano e

X 1 2



X , , X

due stimatori del parametro basati sul campione casuale tali che:

1 n

1 q

1 1

q

= +

E [ S ] q q

= - = = +

E [ S ] Var[ S ] Var[ S ]

, , , ,

1 2 1 2 2

n n

n n

quale è preferibile, e perchè?

3) Un’azienda dispone di due uffici vendite. Nell’ambito di una strategia di rinnovamento, si sta valutando

l’opportunità di ampliarne uno. Si rende quindi necessario operare un confronto tra il numero di ordini

ricevuti settimanalmente dai due uffici. In 4 settimane per l’ufficio 1 si è rilevato un numero medio di

ordini ricevuti pari a 36 e una varianza pari a 2.25, mentre per l’ufficio 2 si è avuto un numero medio di

ordini pari a 40 e varianza pari a 2.89. Assumendo che gli ordini settimanalmente ricevuti dagli uffici

vendite dell’azienda seguano una distribuzione normale con varianze uguali, si può affermare che le

a =

aziende ricevano lo stesso numero medio di ordini se 0.02 ?

b b

» + =

Y N ( x ,16), i 1, 2,..., n

4) Si consideri il modello dove Y è una variabile casuale, e X una

i 0 1 i = = =

x 2; x 4; x 6

generica variabile quantitativa. In corrispondenza dei livelli si sono osservati i

1 2 3

= = =

y 2

; y 16

; y 14

seguenti valori della variabile casuale Y: . Specificare l’intervallo di valori che

1 2 3

b a

- =

1 .8

contiene con un livello di fiducia pari a .

1

5) Un medico ha adottato una nuova terapia ottenendo 270 guarigioni su 350 trattamenti. Qual è la

probabilità che la terapia, impiegata per i prossimi 250 pazienti, ne curi tra i 150 e i 175?

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 12.03.07

= = = = = - =

P ( X 0) P ( X 1) P ( X 1) 1/ 3

1) Sia X una v. c. tale che , inoltre sia Y così definita

¹

0 se X 1

ì

=í

Y =

1 se X 1

î

a) Calcolare Cov(X,2Y);

b) Calcolare Var(X-3Y);

c) X e Y sono indipendenti? Motivare la risposta.

2) Si consideri la seguente realizzazione di un campione casuale

{0.05, 1.46, 0.49, 0.72, 0.11}

l

- x

l l Î

{ e ; {.1,1, 2}}

essa proviene da una densità appartenente alla famiglia . Qual è la stima di

l

massima verosimiglianza di ? 

X , , X 

3) Si consideri un campione casuale estratto da una distribuzione con media incognita

1 n  

e varianza unitaria. Si consideri il seguente stimatore di n

1 1 å

= +

W X X

1 i

2 2 n =

i 2

a) W è corretto?

b) W è asintoticamente corretto?

c) W è consistente in media quadratica?

4) Sia data una realizzazione campionaria di 100 elementi estratta da una popolazione bernoulliana

con una proporzione di casi favorevoli pari a 0.25. L’estremo superiore di un intervallo di

confidenza stimato utilizzando questo campione è 0,1651. Qual è il livello di confidenza?

5) Si vuole valutare l’efficacia degli investimenti in pubblicità sul fatturato per un certo settore

aziendale. Si hanno i seguenti dati relativi a un campione 4 aziende (migliaia di euro):

investimenti (X) 3 4 6 8

fatturato (Y) 40 46 52 28

b b

= +

Y X

a) Ipotizzando un legame lineare , stimare i valori del fatturato corrispondenti

0 1

agli investimenti 8 e 9 tramite il metodo dei minimi quadrati.

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Università G. d’Annunzio. Facoltà di Scienze Manageriali

Insegnamento: Statistica per il Management – corso avanzato –

Proff. T. Sclocco, M. Di Marzio

Prova scritta del 12 giugno 2007

(tempo: 90 minuti)

1) In un esperimento si è osservata la presenza o l’assenza di parassiti delle specie A e B su

=

n 100 piante di una certa varietà. Verificare l’ipotesi che le due specie di parassiti

a = 1%

attacchino le piante indipendentemente l’una dall’altra ( ).

Parassita B presenteP Parassita B assente

Parassita A presente 28 16 44

Parassita A assente 34 22 56

62 38 100

X , X

2) Si consideri un campione casuale di due elementi estratto da una distribuzione di Poisson con

1 2



parametro . Dimostrare che la statistica somma campionaria

= +

T X X

1 2





è sufficiente per 2

c

3) Si consideri una variabile casuale Chi-quadrato con 50 gradi di libertà. Approssimare il valore 0.3,50

usando il teorema centrale del limite. 2



4) Si consideri una popolazione con media incognita e varianza nota. Sulla base di un campione casuale

s

>

n 2 

di dimensione , si vuole stimare il parametro Quale stimatore si considera la statistica:

+

X X

1 n

=

T ,

n

della statistica T si indichino

a) valore atteso

b) distorsione

c) varianza

d) errore quadratico medio.

5) Si consideri la seguente distribuzione di probabilità

X P(X=x)

1 

2  

3 1-2

1

a) sapendo che le probabilità sono tutte maggiori di 0, determinare lo spazio parametrico;

{1,1,3}

b) data la realizzazione campionaria , trovare lo stimatore di massima verosimiglianza





di

Riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.

Statistica per il management II

Prova scritta del 13.06.05

1) Descrivere il test per la verifica dell’indipendenza tra due variabili statistiche tra cui si

ipotizza un modello di regressione lineare con errori distribuiti normalmente.

2) Elencare e spiegare le assunzioni di base del modello di regressione lineare.

3) Definire il concetto di statistica campionaria e spiegare in che senso essa realizza una sintesi

dell’informazione statistica. 

4) Data una popolazione normale con media incognita e scarto quadratico medio pari a 60, si



vuole operare una stima intervallare della media della popolazione a un livello di

confidenza del 95% ottenendo intervalli di ampiezza 10. Qual è la numerosità campionaria

necessaria?  2

5) Si consideri una popolazione con media incognita e varianza nota. Sulla base di un

s



campione casuale di dimensione n, si vuole stimare il parametro . Come stimatore si

considera la somma del primo e dell’ultimo elemento del campione diviso per la dimensione

campionaria +

X X

1 n

=

T ,

n

della statistica T si indichino:

a) valore atteso

b) distorsione

c) varianza

d) errore quadratico medio

E’ DISPONIBILE LA III EDIZIONE DELLE DISPENSE SULLA PAGINA WEB DEL

CORSO ALL’INDIRIZZO http://www.unich.it/manageriali/

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 15.02.06

1) Si supponga che la variabile casuale X abbia la seguente distribuzione di probabilità

X P ( X )

-

1 0.1

0 0.6

1 0.2

2 0.1

= =

a 2 b 1

dati i seguenti valori , calcolare:

2 2

+ > >

E [ X ] Var

[ aX b ] P ( X 0) P ( X a )

a) ;

b) il valore della funzione di probabilità congiunta in corrispondenza della seguente

realizzazione di un campione casuale -

( 1, 2, 1, 1, 0) .

 2

X , X , X  

2) Sia un campione casuale estratto da una popolazione con media e varianza . Si

1 2 9  

considerino i seguenti stimatori di

9

å X i + +

3 X X 2 X

=

i 1 1 6 4

ˆ ˆ

 

= =

e

1 2

9 2

a) verificare la (non) distorsione di ciascuno;

b) Quale stimatore è il migliore? E in quale senso?

3) Determinare l’ampiezza campionaria che consente di ottenere un intervallo di confidenza al 90%

 = 15 nel

per la media di una popolazione normale con scarto quadratico medio caso si voglia

commettere un errore campionario pari a 1.5.

4) Si consideri la seguente distribuzione statistica doppia:

X 2 4 6 8 10 12

Y 1 3 4 20 12 35

a) calcolare la retta di regressione dei minimi quadrati di Y su X,

b) indicare l’osservazione che presenta lo scostamento maggiore rispetto al valore teorico

fornito dalla retta,

c) trovare il valore di previsione fornito dalla retta per .

=

X 11

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 15.02.07

1) Uno studente viene sottoposto a un test consistente in una domanda con quattro possibili risposte.

Prima del test il docente ritiene che la probabilità che lo studente conosca la risposta esatta è 0.4.

Sappiamo che lo studente nel caso non conosca la risposta sceglierà a caso una delle quattro

alternative. Se lo studente risponde esattamente, qual è la probabilità che egli effettivamente

conosca la risposta esatta? 

X , , X

2) Dato un campione casuale di n elementi , si considerino i seguenti due stimatori della

1 n

media: n /2 n

X X

å å

i i

= = -

T e T 1

1 2

n n

= =

i 1 i 1

Quale dei due è preferibile?  = 0

3) Si consideri una realizzazione di un campione casuale di n elementi da una normale con e

scarto quadratico medio incognito. Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza della

scarto quadratico medio.

4) Disponiamo della seguente realizzazione di un campione casuale di 30 elementi

{1 0 2 0 0 0 1 0 1 0 2 0 1 0 0 0 2 3 0 0 5 0 5

0 2 0 1 0 2 0}



qual è il valore massimo di in corrispondenza del quale accettiamo l’ipotesi che esso provenga da

una distribuzione geometrica con parametro 0.5?

5) Si consideri la seguente distribuzione semplice doppia

X 2 4 6 8

Y 3 6 6 10

la relativa retta di regressione di Y su X fornisce i seguenti valori teorici

3.1 5.2 7.3 9.4.

Si è calcolato un intervallo di confidenza per il coefficiente di regressione. L’ ampiezza

dell’intervallo è pari a 6.1666. Determinare il livello di confidenza.

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 15.12.05

1) Lo stipendio lordo dei dipendenti ad un certo livello professionale è una v. c. con valore atteso

pari a 20.000 euro e varianza 500. Tutti i dipendenti dovranno pagare una quota fissa di 100 euro

per un fondo previdenziale e a quello che rimane viene tolto il 20% per le tasse. Quanto sarà il

reddito medio al netto del fondo e delle tasse? E la varianza? 2

m s

2) Si considerino le seguenti variabili casuali indipendenti del tipo :

N ( , )

: : :

X N (1, 4); X N (0,1); X N (2,1)

1 2 3

Indicare le forme distributive e i relativi parametri delle vv. cc. Y, W, Z così definite

1

= + -

Y 2 X X X

1 2 3

3

2

=

W 5 X .

2 2

-

X 1

æ ö 2

2 ( )

1

= + + -

Z X X 2

ç ÷ 2 3

2

è ø

3) Si supponga che la variabile “essere fumatore” abbia nella popolazione distribuzione

=

p 0, 3

bernoulliana con parametro . Fissato il criterio di estrazione con reinserimento,

=

a) si elenchino tutti i possibili campioni di n 3 elementi,

b) si ricavi la distribuzione della media campionaria.

4) Sia data una realizzazione campionaria di 9 elementi estratta da una popolazione normale con

varianza nota. Un intervallo di confidenza al 99% per la media, calcolato utilizzando tale

realizzazione, è pari a: =

i {10, 12}

m

Qual è la varianza della popolazione? s

= =

n 9 2

5) Si ha un campione casuale di grandezza estratto da una popolazione normale con . Si

vuole verificare il seguente sistema di ipotesi: m =

H : 0

0 m =

H : 2

1

>

Si decide di rifiutare se x 0.5 .

a) Trovare la probabilità di commettere un errore di I specie;

b) Trovare la probabilità di commettere un errore di II specie.

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 16.12.04

1) Una compagnia di assicurazione suddivide le persone in due classi: “soggette” e “non

soggette” ad incidenti. Le statistiche mostrano che le persone “soggette” hanno probabilità

0.5 di avere un incidente in un anno, e le “non soggette” 0.3.

a) Se il 25% della popolazione è soggetta ad incidenti qual è la probabilità che un

nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dall’acquisto della polizza?

b) Se un nuovo assicurato ha un incidente entro un anno dall’acquisto della polizza,

qual è la probabilità che si tratti di una persona “soggetta” ad incidenti?

2) Dopo aver presentato le distribuzioni di probabilità esponenziali e geometriche, discuterne le

proprietà. X , X ,..., X

3) Dato un campione casuale da una popolazione bernoulliana, trovare media e

1 2 n n

1 å

=

p X

varianza della statistica proporzione campionaria .

i

n =

i 1

4) Si vuole sapere se nell’ultimo mese una catena di montaggio sia andata fuori controllo nel

senso di produrre pezzi difettosi non casualmente. La taratura prevede che se i difetti non

sono indotti da fattori sistematici il numero di difetti per prodotto segue una distribuzione di

l a

= = =

Poisson con parametro 2 . Sia 0.01 . Nell’ultimo mese sono stati prodotti N 30

pezzi con le seguenti caratteristiche di difettosità

o ³

n di difetti (modalità) 0-1 2 3 4 5

o

n di pezzi (frequenze) 2 10 8 4 6

5) Al fine di valutare il contributo delle esportazioni sull’incremento annuo del fatturato

complessivo, un’azienda ha rilevato i seguenti dati relativi agli ultimi cinque anni di attività:

Incremento 1 3 4 7 5

fatturato (Y)

Esportazioni 2 5 8 6 9

(X) b b

= +

Y X

Ipotizzando un legame lineare , stimare, con il metodo dei minimi quadrati,

0 1

l’incremento di fatturato previsto per un valore delle esportazioni pari a 10.

E’ DISPONIBILE LA III EDIZIONE DELLE DISPENSE SULLA PAGINA WEB DEL

CORSO ALL’INDIRIZZO http://www.unich.it/manageriali/

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 18.12.06



X , , X

1) Dato un campione casuale , si considerino i seguenti due stimatori della media:

1 n n n

X X

å å

i i

= =

T e T

1 2

2

n 4 n

= =

i 1 i 1

>

Quale dei due è preferibile se n 4 ?

2) Si vogliono testare le seguenti ipotesi sulla regolarità di una moneta usando un campione casuale di 100 lanci

 = .25

e : =

H : P ( esce testa ) .5

 0

 =

H : P ( esce testa ) .6

 1

calcolare la potenza del test.

3) Sia data la seguente distribuzione doppia Y

0 1 2

0 5 10 15

X 1 5 0 1

a) Calcolare Var(X-2Y);

b) Disegnare la spezzata di regressione di Y su X;

c) Calcolare i parametri della retta di regressione di Y su X.

4) Dimostrare che gli stimatori dei minimi quadrati della retta di regressione sono corretti e funzioni lineari

delle variabili responso (Y).

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

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Università G. d’Annunzio Facoltà di Scienze Manageriali

Insegnamento: Statistica per il Management – corso avanzato –

Proff. T. Sclocco, M. Di Marzio

Prova scritta del 18 dicembre 2007

(tempo: 75 minuti) = =

X , X , X E [ X ] 2 e Var

[X ]=1 E [ X ] 1 e Var [X ]=4

1) Sapendo che le vv. cc. sono tali che ; ;

1 2 3 1 1 2 2

=

E [ X ] 0 e Var

[X ]=9 , calcolare la media, e la varianza di

3 3 = -

T X +4 X 2 X

1 2 3

a) X , X , X

nel caso in cui sono a due a due indipendenti;

1 2 3

b) = - = = -

Cov ( X , X ) .5; Cov ( X , X ) 2.5; Cov ( X , X ) 1

se 1 2 1 3 2 3

X , X ,..., X

2) Dato un campione casuale dalla funzione di densità

1 2 n q

- x

q q q

= > >

f ( x

; ) e x 0, 0

q

calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro .

3) Da 30 osservazioni indipendenti delle variabili casuali X e Y si sono ottenuti i seguenti risultati

Y

X 1 2 3

4 3 5 2

6 7 2 1

8 2 8 0

Si sa che le distribuzioni dei caratteri X e Y sono le seguenti:

X 4 6 8

p (X) 0.35 0.35 0.3

X

Y 1 2 3

p (Y) 0.3 0.5 0.2

Y a =

Verificare per 0.05 se X e Y si possono ritenere indipendenti.

4) Da una funzione di densità doppia è stata estratta la seguente realizzazione campionaria di cinque elementi:

X 1 3 7 12

Y 8 6 5 2

a) Stimare il predittore lineare ottimo (funzione di regressione lineare)

b) Fare una previsione di Y in corrispondenza di .

=

X 1

Riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.

Statistica per il management II

Prova scritta del 24.05.06

1) Si hanno tre palline e cinque urne. Si inseriscono casualmente le palline una alla volta nelle urne.

Indicare la probabilità con la quale nella prima urna vengono inserite due palline.

2) Il direttore di una catena di 100 supermercati si chiede con che probabilità il guadagno medio

giornaliero supererà i 350 euro sapendo che il guadagno di ogni supermercato si distribuisce

uniformemente nell’intervallo [0, 600] e che il guadagno di ogni supermercato è indipendente da

quello di qualunque altro. m

=

E [ X ]

3) Si supponga di disporre di un campione casuale di dimensione 2n, siano inoltre e

2 m

s .Si considerino i seguenti stimatori della media :

=

Var [ X ] 2 n n

1 1

å å

= =

X X e X X ,

1 i 2 i

2 n n

= =

i 1 i 1

esprimere con motivazione, se i due stimatori sono equivalenti oppure quale sia preferibile.

4) La società capogruppo di un gruppo aziendale, al fine di verificare la corretta applicazione di una

strategia di rinnovamento della struttura produttiva dettata alle sue controllate, ha rilevato per 5 di

esse il numero X di nuovi macchinari acquistati e l’incremento Y della produzione realizzato

nell’ultimo mese: Nuovi macchinari 2 3 5 6 8

Incremento q.tà 80 180 250 350 600

prodotta

a) Stimare i parametri della retta di regressione dell’incremento della quantità prodotta

sul numero dei macchinari introdotti nelle aziende.

2

b b s

» +

Y N ( x , )

b) Posto che , costruire l’intervallo di confidenza per il coefficiente di

i 0 1 i

regressione dell’incremento della quantità prodotta sul numero di macchinari introdotti dalle

a

- =

aziende al livello 1 99% .

5) Si consideri la seguente realizzazione di un campione casuale di 100 osservazioni della v.c. X:

Durata (0,0.5] (0.5,1] (1,2]

(X)

Frequenza 45 30 25

a =

Si può affermare al livello di significatività .05 che è stato estratto dalla densità esponenziale con



pari 

parametro a

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Statistica per il management II

Prova scritta del 25.05.04

1) Presso una ditta produttrice di bevande si vuole studiare l’efficienza del processo produttivo.

Secondo le specifiche di processo il contenuto di zucchero per ogni confezione prodotta si

distribuisce normalmente con media 1.5 e varianza 0.36.

a) Se si vuole scartare il 3% della produzione con troppo zucchero e il 3% con troppo poco

zucchero, quale deve essere l’intervallo di valori entro cui una confezione è ammessa?

b) Il contenuto medio di zucchero di un campione di 9 confezioni è di 2.3 grammi.

Verificare l’ipotesi che il contenuto medio osservato rispetti il valore medio previsto

 

dalle specifiche ( 0.01 ).

2) I 191 dipendenti di una banca sono classificati secondo il sesso e la categoria lavorativa:

Impiegato Funzionario Dirigente

M 55 19 9 83

F 71 27 10 108

126 46 19 191

a) Sapendo che in missione è andato un dirigente, con che probabilità è maschio?

b) Se ad ogni dipendente è stato regalato un biglietto per una lotteria aziendale, con quale

probabilità un funzionario vincerà il primo premio?  

c) Verificare l’indipendenza tra sesso e categoria lavorativa ( 0.05 ).

3) Un’azienda nei primi cinque anni di attività ha realizzato il seguente fatturato:

Anno (X) 1 2 3 4 5

Fatturato (Y) 10 30 70 140 210

Per la pianificazione strategica è necessario prevedere il fatturato dei prossimi due anni.

Ottenere la previsione del fatturato in corrispondenza degli anni 6 e 7 fornita dalla stima

della retta di regressione tramite il metodo dei minimi quadrati.

4) Illustrare il concetto di statistica campionaria.

5) Illustrare la funzione di distribuzione di probabilità binomiale.

E’ DISPONIBILE LA III EDIZIONE DELLE DISPENSE SULLA PAGINA WEB DEL

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Università G. d’Annunzio Facoltà di Scienze Manageriali

Insegnamento: Statistica per il Management – corso avanzato –

Proff. T. Sclocco, M. Di Marzio

Prova scritta del 25 settembre 2007

(tempo: 75 minuti)

1) Una banca classifica i mutuatari come “ad alto rischio” e “a basso rischio”. Solo il 15% dei suoi mutui viene

concessa ai clienti della categoria “ad alto rischio”. Di tutti i mutui, il 5% presenta delle inadempienze e il

40% di quelli con inadempienze sono stati concessi a mutuatari “ad alto rischio”. Qual è la probabilità che

un mutuatario sia “ad alto rischio” e inadempiente?

2) In Una città ci sono 500 agenti immobiliari: il valore medio (in migliaia di euro) delle proprietà vendute

annualmente da ciascuno di loro è 800, mentre la deviazione standard è 300. Si estrae un campione casuale

di 100 agenti e si rilevano i valori delle proprietà vendute annualmente. Qual è la probabilità che la media

campionaria sia compresa tra 790 e 820?

( X , X ) 

3) Supponiamo che sia un campione casuale di osservazioni da una popolazione con media e

1 2

2

  

varianza . Quale è preferibile tra i seguenti stimatori di

1 1 1 3 1 2

     

W X X ; Y X X ; Z X X ;

1 2 1 2 1 2

2 2 4 4 3 3

4) Si vuole verificare l’ipotesi nulla che il diametro medio della popolazione dei cuscinetti a sfera prodotti da

un processo produttivo sia di 5 millimetri contro l’ipotesi alternativa che sia superiore a 5 mm. Si sa che la

popolazione ha distribuzione normale con scarto quadratico medio di 0.1 millimetri. Il test è basato su un

campione casuale di 16 osservazioni e su un livello di significatività pari a 0.05. Con quale probabilità non

si rifiuta l’ipotesi nulla nel caso in cui il diametro medio della popolazione sia 5.05 millimetri?

5) Il tempo T di vita di un prodotto ha tasso di guasto pari a:

2

l  ³

(

t ) 3

t , t 0

Calcolare:

a) la funzione di ripartizione e la funzione di densità di T ;

b) la probabilità che un esemplare abbia durata compresa tra gli istanti 0.6 e 1.2.

Riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.