Statistica – Esami

Statistica per il management II

Prova scritta del 03.02.05

1. Studio dell'efficienza del processo produttivo

Presso una ditta produttrice di bevande si vuole studiare l’efficienza del processo produttivo. Secondo le specifiche di processo il contenuto di zucchero per ogni confezione prodotta si distribuisce normalmente con media 5 e varianza 0.36.

a) Se si vuole scartare il 3% della produzione con troppo zucchero e il 3% con troppo poco zucchero, quale deve essere l’intervallo di valori entro cui una confezione è ammessa?

b) È stato estratto il seguente campione casuale (5, 2.2, 6, 4.5, 7, 6.4, 8, 9, 9, 2.9); si può affermare con livello di fiducia pari a 0.1 che le specifiche riguardanti la media sono rispettate?

2. Probabilità di vetture difettose

Un’azienda automobilistica possiede tre stabilimenti A, B, C, che producono rispettivamente il 10%, 30% e il 60% della produzione totale. È noto inoltre che dai tre stabilimenti provengono vetture difettose in percentuale rispettivamente del 10%, 5%, 5%. Qual è la probabilità che una vettura difettosa, estratta a caso dalla produzione totale, provenga dallo stabilimento B?

3. Efficacia degli investimenti in pubblicità

Si vuole valutare l’efficacia degli investimenti in pubblicità sul fatturato per un certo settore aziendale. Si hanno i seguenti dati relativi a un campione 5 aziende (migliaia di euro):

• Investimenti (X): 2, 5, 8, 9, 11
• Fatturato (Y): 40, 44, 50, 32, 34

a) Ipotizzando un legame lineare, stimare i valori teorici del fatturato forniti da tale retta.

b) Commentare il valore del coefficiente di regressione ottenuto.

4. Test Chi quadrato

Illustrare il test Chi quadrato con riferimento ai problemi inferenziali che è volto a risolvere.

5. Concetto di funzione di verosimiglianza

Illustrare il concetto di funzione di verosimiglianza.

È disponibile la III edizione delle dispense sulla pagina web del corso all’indirizzo http://www.unich.it/manageriali/

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Prova scritta del 03.06.04

1. Coefficiente di variazione e funzione di ripartizione

Data la seguente funzione di distribuzione discreta:

a) Calcolare il coefficiente di variazione;

b) Calcolare i seguenti quattro valori della funzione di ripartizione F: F(-3); F(-0.5); F(1); F(2.5).

2. Indipendenza delle vendite da fattori stagionali

Il dirigente di un’azienda di abbigliamento si chiede se le vendite risentano di fattori stagionali. Allora egli estrae un campione casuale di 180 fatture relative all’ultimo anno e le ripartisce a seconda del bimestre in cui sono stati emessi. Numerando i bimestri da 1 a 6 si sono ottenuti i seguenti risultati:

• Bimestre: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Numero di fatture emesse: 25, 35, 30, 28, 32, 30

Verificare l’ipotesi di indipendenza del numero di fatture emesse da fattori stagionali (α = 0.01).

3. Efficacia degli investimenti in pubblicità

Si vuole valutare l’efficacia degli investimenti in pubblicità sul fatturato per un certo settore aziendale. Si hanno i seguenti dati relativi a un campione 5 aziende (migliaia di euro):

• Investimenti (X): 3, 4, 6, 8, 10
• Fatturato (Y): 40, 46, 52, 28, 32

a) Ipotizzando un legame lineare, stimare i valori del fatturato corrispondenti agli investimenti 8 e 9 tramite il metodo dei minimi quadrati.

b) Verificare l’ipotesi che β = 0 (α = 0.05).

4. Teoria della funzione di verosimiglianza

Esporre la teoria della funzione di verosimiglianza.

5. Modello ipergeometrico

Illustrare il modello ipergeometrico.

È disponibile la III edizione delle dispense sulla pagina web del corso all’indirizzo http://www.unich.it/manageriali/

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Prova scritta del 03.11.06

1. Estrazioni di palline da un'urna

Un’urna contiene 10 palline bianche e 5 palline nere. Si estrae casualmente una pallina alla volta fino a che si ottiene una pallina nera. Se si suppone che ogni volta che si estrae una pallina la re-inseriamo nell’urna prima della successiva estrazione, calcolare la probabilità che:

a) Si debbano estrarre esattamente 4 palline;

b) Si debbano estrarre almeno 3 palline.

2. Distribuzione di probabilità

Si consideri la seguente distribuzione di probabilità:

• X: 1, 2, 3
• P(X=x): θ, θ, 1-2θ

a) Sapendo che le probabilità sono tutte maggiori di zero, determinare lo spazio parametrico;

b) Data la realizzazione campionaria {2, 2, 3}, trovare lo stimatore di massima verosimiglianza di θ.

3. Test sulla media campionaria

Si è estratto un campione di 49 elementi da una popolazione normale con varianza 162. La media campionaria risulta essere 87.3. Si è operato un test sulla media con sistema di ipotesi del tipo H₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀. La statistica test ha assunto il valore z = -4.23.

a) Specificare il valore di μ sotto l’ipotesi nulla.

b) Sapendo che α = 2%, si giudichi se l’ipotesi nulla è stata respinta.

4. Distribuzione doppia e retta di regressione

Data la seguente distribuzione doppia:

a) Calcolare la retta di regressione;

b) Verificare a livello α = 0.95 l’ipotesi di indipendenza di Y da X.

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Prova scritta del 05.07.04

1. Distribuzione uniforme per i tempi di esecuzione

Il capo del personale di una grande industria ha stabilito che un operaio impiega tra i 9 e i 12 minuti per completare il suo compito in un processo di assemblaggio. Per saperne di più sul rendimento dell’operaio, ipotizzando che la distribuzione dei tempi di esecuzione sia uniforme, egli vuole determinare f(x), E[X], Var[X].

2. Stima distorta

Si dimostri che la statistica
\(W = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}{n}\)
è uno stimatore distorto di σ².

3. Verifica della distribuzione normale

Un fornitore di servizi telefonici vuole sapere se la distribuzione delle durate delle chiamate segue una legge normale. A tal fine viene estratto un campione di 400 chiamate riassunto nella seguente distribuzione:

Verificare la conformità di questo campione alla distribuzione normale (α = 0.05).

4. Regressione lineare semplice

Dato un modello di regressione lineare semplice, dimostrare che lo stimatore dei minimi quadrati \(\hat{b}_1\) è non distorto.

5. Funzione di verosimiglianza

Illustrare il concetto di funzione di verosimiglianza.

È disponibile la III edizione delle dispense sulla pagina web del corso all’indirizzo http://www.unich.it/manageriali/

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Prova scritta del 09.06.06

1. Stima di massima verosimiglianza

Si consideri un campione casuale estratto dalla funzione di densità \( f(x; θ) = cx^{θ−1}(1+x)^{−θ} \) dove c è un numero positivo, e 0 ≤ x ≤ 1. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di θ e giudicare se è consistente.

2. Funzionamento del sistema complesso

Il sistema complesso rappresentato in basso funziona se e soltanto se vi è un percorso di interruttori chiusi da sinistra a destra. Si supponga che gli interruttori restino aperti in modo indipendente e che la probabilità di restare aperto per ogni interruttore sia quella indicata. Qual è la probabilità che il sistema funzioni?

• Probabilità: 0.2, 0.1, 0.4, 0.4

3. Proporzione di elettori

Si supponga che in un certo comune, il 40% degli elettori preferiscano il candidato A. Si estrae un campione di 100 elettori.

a) Trovare media e varianza della proporzione di elettori del campione che preferiscono A.

b) Trovare la probabilità che almeno 75 soggetti del campione preferiscano A.

4. Influenza dell'anno di iscrizione sul voto

Un professore universitario vuole sapere se l’anno di iscrizione influenza il voto ottenuto al suo corso di statistica. Così egli esegue un test con α = 0.05 sui seguenti dati:

Cosa concluderà?

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Università G. d'Annunzio

Facoltà di Scienze Manageriali

Insegnamento: Statistica per il Management – corso avanzato –

Proff. T. Sclocco, M. Di Marzio

Prova scritta del 10 luglio 2007 (tempo: 75 minuti)

1. Test sulla media campionaria

Si è estratto un campione di 69 elementi da una popolazione normale con varianza 169. La media campionaria risulta essere 87.3. Si è operato un test sulla media con sistema di ipotesi del tipo: H₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀. La statistica test ha assunto il valore z = -4.23.

a) Specificare il valore di μ sotto l’ipotesi nulla.

b) Sapendo che α = 2%, si giudichi se l’ipotesi nulla è stata respinta.

2. Probabilità e distribuzioni

La connessione di un utente a un calcolatore viene ogni volta accettata con probabilità p. Supponendo che tentativi successivi abbiano esiti indipendenti, indichiamo con X_i il numero di tentativi necessari per ottenere il collegamento in n giorni diversi.

a) Qual è la legge di X?
b) Lo stimatore \( \hat{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} \) è corretto per p?
c) Qual è la distribuzione di \( \hat{X} \) per n grande?

3. Significatività del coefficiente di regressione

Il dirigente di un’azienda di abbigliamento si chiede se le vendite risentano di fattori stagionali. Allora egli estrae un campione casuale di 180 fatture relative all’ultimo anno e le ripartisce a seconda del bimestre in cui sono stati emessi.

• Bimestre: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Numero di fatture emesse: 18, 35, 42, 30, 15, 30

Calcolare la retta di regressione e testare la significatività del coefficiente di regressione per α = 0.01.

4. Circuiti elettrici e probabilità

Si considerino i quattro circuiti elettrici rappresentati sotto. Siano A₁, A₂, A₃ gli eventi in cui gli interruttori s₁, s₂, e s₃ sono chiusi. Sia A_ab l’evento in cui il percorso tra i terminali a e b è chiuso. Si esprima A_ab in funzione di A₁, A₂, A₃ per ognuno dei circuiti rappresentati.

Riportare passaggi matematici e spiegazioni. Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.

Prova scritta del 11.07.06

1. Confronto tra macchine

Una fabbrica deve acquistare una nuova macchina. Le due migliori marche, A e B, vengono confrontate in termini di velocità, rilevando per ognuna di esse il tempo medio impiegato per 100 prestazioni. Verrà acquistato l’impianto che avrà un vantaggio di almeno un secondo di durata media sull’altra. Assumendo che lo scarto quadratico medio e la durata media relativi alla popolazione ipotetica di tutte le potenziali durate siano uguali per entrambe, e in particolare che lo scarto quadratico medio sia pari a 2, si calcoli la probabilità che venga scelta la macchina B.

2. Preferenza tra stimatori

Sia X una variabile casuale con funzione di densità dipendente da un parametro θ. Siano S₁ e S₂ due stimatori del parametro basati sul campione casuale X₁, ..., X_n tali che:

• E[S₁] = θ + 1/n
• E[S₂] = θ
• Var[S₁] = Var[S₂]
• n = 1, 2, ..., n

Quale è preferibile, e perché?

3. Confronto tra uffici vendite

Un’azienda dispone di due uffici vendite. Nell’ambito di una strategia di rinnovamento, si sta valutando l’opportunità di ampliarne uno. Si rende quindi necessario operare un confronto tra il numero di ordini ricevuti settimanalmente dai due uffici. In 4 settimane per l’ufficio 1 si è rilevato un numero medio di ordini ricevuti pari a 36 e una varianza pari a 2.25, mentre per l’ufficio 2 si è avuto un numero medio di ordini pari a 40 e varianza pari a 2.89. Assumendo che gli ordini settimanalmente ricevuti dagli uffici vendite dell’azienda seguano una distribuzione normale con varianze uguali, si può affermare che le aziende ricevano lo stesso numero medio di ordini se α = 0.02?

4. Modello di regressione lineare

Si consideri il modello \( Y_i = β_0 + β_1x_i + N_i(0, 16) \), i = 1, 2,..., n dove Y è una variabile casuale, e X una generica variabile quantitativa. In corrispondenza dei livelli x₁ = 2; x₂ = 4; x₃ = 6 si sono osservati i seguenti valori della variabile casuale Y: y₁ = 2; y₂ = 16; y₃ = 14. Specificare l’intervallo di valori che contiene β₁ con un livello di fiducia pari a 0.15.

5. Probabilità di guarigione

Un medico ha adottato una nuova terapia ottenendo 270 guarigioni su 350 trattamenti. Qual è la probabilità che la terapia, impiegata per i prossimi 250 pazienti, ne curi tra i 150 e i 175?

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Prova scritta del 12.03.07

1. Covarianza e varianza

Sia X una v.c. tale che P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = -1) = 1/3, inoltre sia Y così definita:

Y = \(\begin{cases} 0 & \text{se } X \leq 1 \\ 1 & \text{se } X > 1 \end{cases}\)

a) Calcolare Cov(X, 2Y);

b) Calcolare Var(X-3Y);

c) X e Y sono indipendenti? Motivare la risposta.

2. Stima di massima verosimiglianza

Si consideri la seguente realizzazione di un campione casuale {0.05, 1.46, 0.49, 0.72, 0.11} proveniente da una densità appartenente alla famiglia \( f(x; θ, λ) \) dove θ ∈ {0.1, 1, 2}. Qual è la stima di massima verosimiglianza di λ?

3. Stime di media campionaria

Si consideri un campione casuale estratto da una distribuzione con media incognita μ e varianza unitaria. Si consideri il seguente stimatore di X:

W = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i + \frac{X_1 + X_2}{2}\)

a) W è corretto?

b) W è asintoticamente corretto?

c) W è consistente in media quadratica?

4. Intervallo di confidenza

Sia data una realizzazione campionaria di 100 elementi estratta da una popolazione bernoulliana con una proporzione di casi favorevoli pari a 0.25. L’estremo superiore di un intervallo di confidenza stimato utilizzando questo...