Statistica – Esami

Analisi delle vendite stagionali

Il dirigente di un'azienda di abbigliamento si chiede se le vendite risentano di fattori stagionali. Allora egli estrae un campione casuale di 180 fatture relative all'ultimo anno e li ripartisce a seconda del bimestre in cui sono stati emessi. Numerando i bimestri da 1 a 6 si sono ottenuti i seguenti risultati:

Calcolare la retta di regressione e testare la significatività del coefficiente di regressione per α = 0.01.

Analisi dei circuiti elettrici

Si considerino i quattro circuiti elettrici rappresentati sotto. Siano A1, A2, A3 gli eventi in cui gli interruttori s1, s2, s3 sono chiusi. Sia A l'evento in cui il percorso tra i terminali a e b è chiuso. Si esprima A in funzione di A1, A2, A3 per ognuno dei circuiti rappresentati.

Circuito 1:

  s1 --- a --- b --- s2

Circuito 2:

  s1 --- a --- s2 --- b

Circuito 3:

  s1 --- a --- s2 --- s3 --- b

Circuito 4:

  s1 --- s2 --- a --- s3 --- b

Riportare passaggi matematici e spiegazioni. Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.

management II

Prova scritta del 11.07.06

1. Una fabbrica deve acquistare una nuova macchina. Le due migliori marche, A e B, vengono confrontate in termini di velocità, rilevando per ognuna di esse il tempo medio impiegato per 100 prestazioni. Verrà acquistato l'impianto che avrà un vantaggio di almeno un secondo di durata media sull'altra. Assumendo che lo scarto quadratico medio e la durata media relativi alla popolazione ipotetica di tutte le potenziali durate siano uguali per entrambe, e in particolare che lo scarto quadratico medio sia pari a 2, si calcoli la probabilità che venga scelta la macchina B. S Sq > 0

2. Sia una variabile casuale con funzione di densità dipendente da un parametro . Siano eX 1 2X , , X due stimatori del parametro basati sul campione casuale tali che: 1 n1 q1 1q= +E [ S ] q q= - = = +E [ S ] Var[ S ] Var[ S ], , , ,1 2 1 2 2n nn n quale è preferibile, e perché?

3. Un'azienda dispone di due uffici vendite.

Specificare l'intervallo di valori che contiene con un livello di fiducia pari a 0.15) Un medico ha adottato una nuova terapia ottenendo 270 guarigioni su 350 trattamenti. Qual è la probabilità che la terapia, impiegata per i prossimi 250 pazienti, ne curi tra i 150 e i 175? Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 12.03.07

= = = = = - =

P ( X 0) P ( X 1) P ( X 1) 1/ 3

1) Sia X una v. c. tale che , inoltre sia Y così definita

Y = 0 se X ≤ 1

Y = 1 se X > 1

a) Calcolare Cov(X,2Y);

b) Calcolare Var(X-3Y);

c) X e Y sono indipendenti? Motivare la risposta.

2) Si consideri la seguente realizzazione di un campione casuale

{0.05, 1.46, 0.49, 0.72, 0.11}

l- xl l Î{ e ; {.1,1, 2}}

essa proviene da una densità appartenente alla famiglia . Qual è la stima

dilmassima verosimiglianza di ? X , , X 3) Si consideri un campione casuale estratto da una distribuzione con media incognita1 n  e varianza unitaria. Si consideri il seguente stimatore di n1 1 å= +W X X1 i2 2 n =i 2a) W è corretto?b) W è asintoticamente corretto?c) W è consistente in media quadratica?4) Sia data una realizzazione campionaria di 100 elementi estratta da una popolazione bernoullianacon una proporzione di casi favorevoli pari a 0.25. L’estremo superiore di un intervallo diconfidenza stimato utilizzando questo campione è 0,1651. Qual è il livello di confidenza?5) Si vuole valutare l’efficacia degli investimenti in pubblicità sul fatturato per un certo settoreaziendale. Si hanno i seguenti dati relativi a un campione 4 aziende (migliaia di euro):investimenti (X) 3 4 6 8fatturato (Y) 40 46 52 28b b= +Y Xa) Ipotizzando un legame lineare , stimare i valori del fatturato corrispondenti0 1agli investimenti

Università G. d'Annunzio. Facoltà di Scienze Manageriali

Insegnamento: Statistica per il Management – corso avanzato

Proff. T. Sclocco, M. Di Marzio

Prova scritta del 12 giugno 2007 (tempo: 90 minuti)

1) In un esperimento si è osservata la presenza o l'assenza di parassiti delle specie A e B su n=100 piante di una certa varietà. Verificare l'ipotesi che le due specie di parassiti attacchino le piante indipendentemente l'una dall'altra (H0: pA = pB = 1%).

2) Si consideri un campione casuale di due elementi estratto da una distribuzione di Poisson con parametro λ. Dimostrare che la statistica somma

campionaria= +T X X1 2è sufficiente per 2c3) Si consideri una variabile casuale Chi-quadrato con 50 gradi di libertà. Approssimare il valore 0.3,50usando il teorema centrale del limite. 24) Si consideri una popolazione con media incognita e varianza nota. Sulla base di un campione casuales>n 2 di dimensione , si vuole stimare il parametro Quale stimatore si considera la statistica:+X X1 n=T ,ndella statistica T si indichinoa) valore attesob) distorsionec) varianzad) errore quadratico medio.5) Si consideri la seguente distribuzione di probabilitàX P(X=x)1 2  3 1-21a) sapendo che le probabilità sono tutte maggiori di 0, determinare lo spazio parametrico;{1,1,3}b) data la realizzazione campionaria , trovare lo stimatore di massima verosimiglianzadiRiportare passaggi matematici e spiegazioni.Usare una grafia leggibile e una simbologia corretta.Statistica per il management IIProva scritta del 13.06.051) Descrivere il test

1) Per la verifica dell'indipendenza tra due variabili statistiche si ipotizza un modello di regressione lineare con errori distribuiti normalmente.

2) Le assunzioni di base del modello di regressione lineare sono:

• Linearità: la relazione tra la variabile dipendente e le variabili indipendenti è lineare.
• Indipendenza degli errori: gli errori sono indipendenti tra loro.
• Omomorfismo degli errori: gli errori hanno la stessa varianza per tutti i valori delle variabili indipendenti.
• Normalità degli errori: gli errori seguono una distribuzione normale.

3) La statistica campionaria è una sintesi dell'informazione statistica ottenuta da un campione. Essa rappresenta una stima dei parametri della popolazione sulla base dei dati campionari.

4) Per operare una stima intervallare della media della popolazione a un livello di confidenza del 95% con intervalli di ampiezza 10, è necessaria una numerosità campionaria di 384.

5) Per stimare il parametro di una popolazione con media incognita e varianza nota, si considera come stimatore la somma del primo e dell'ultimo elemento del campione diviso per la dimensione campionaria. La statistica T è indicata come +X X1 n=T ,n.

valore atteso: E

distorsione: d

varianza: Var

errore quadratico medio: EQM

È disponibile la III edizione delle dispense sulla pagina web del corso all'indirizzo http://www.unich.it/manageriali/

Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.

Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.

Statistica per il management II

Prova scritta del 15.02.06

1. Si supponga che la variabile casuale X abbia la seguente distribuzione di probabilità

   X	P(X)
   -1	0.1
   0	0.6
   1	0.2
   2	0.1

   Dati i seguenti valori, calcolare:

   1. E[X]
   2. Var[aX+b]
   3. P(X<0)
   4. P(X>a)

2. Sia un campione casuale estratto da una popolazione con media μ e varianza σ^2. Si considerino i seguenti stimatori:

   • X̄ = (∑Xᵢ)/n
   • S^2 = (∑(Xᵢ-X̄)^2)/(n-1)

   Calcolare i valori di X̄ e S^2 dati i seguenti valori del campione: (1, 2, 1, 1, 0).

1. a) verificare la (non) distorsione di ciascuno;
2. b) Quale stimatore è il migliore? E in quale senso?
3. 3) Determinare l'ampiezza campionaria che consente di ottenere un intervallo di confidenza al 90% σ = 15 nel per la media di una popolazione normale con scarto quadratico medio caso si voglia commettere un errore campionario pari a 1.5.
4. 4) Si consideri la seguente distribuzione statistica doppia:
• X 2 4 6 8 10 12
• Y 1 3 4 20 12 35
5. a) calcolare la retta di regressione dei minimi quadrati di Y su X,
6. b) indicare l'osservazione che presenta lo scostamento maggiore rispetto al valore teorico fornito dalla retta,
7. c) trovare il valore di previsione fornito dalla retta per X = 11
8. Usare una grafia il più possibile leggibile e una simbologia corretta.
9. Non basta fornire i risultati finali, occorre riportare passaggi matematici e spiegazioni.
10. Statistica per il management II
11. Prova scritta del 15.02.07
12. 1) Uno studente viene sottoposto a un test consistente in una domanda con