Simulazioni esami statistica parte 1

Prova scritta di Statistica (10 CREDITI)

II canale (Dott.ssa Conigliani)16/06/2009

COGNOME: ....................................................NOME: ........................................................

Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione.

Esercizio 1. [10 punti]

Data la seguente distribuzione doppia che riguarda un collettivo di studenti iscritti al terzo anno secondo i caratteri “crediti conseguiti” (X) e “media dei voti” (Y):

• a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la sua funzione di ripartizione;
• b) calcolare la mediana, i quartili, un indice di asimmetria per il carattere X: M_e = 26.91, Q₁ = 23.77, Q₃ = 28.78, A = 0.25;
• c) calcolare la proporzione di individui con più di 60 crediti e media inferiore a 28 [R: 0.40];
• d) valutare se tra i due caratteri X e Y vi è dipendenza assoluta [R: χ²_cal = 0.15].

Esercizio 2. [8 punti]

In una lotteria nazionale sono stati venduti 30 mila biglietti, di cui 30 vincenti. Si determini la probabilità di vincere almeno un premio acquistando 100 biglietti. E se si acquistano 1000 biglietti? [R: P(N ≥ 0)=0.095; P(N ≥ 0)=0.632]

Esercizio 3. [12 punti]

Date le seguenti coppie di valori (x,y)

(3.5), (5.9), (9.11), (15.18), (25.27)

a) Individuare quale delle due funzioni y = α + βx e y = α + βx² approssima meglio la relazione esistente tra x e y e stimare i parametri [R: la retta, con R² = 0.98, α = 2.48, β = 0.09].

b) Nell'ipotesi di normalita' della componente accidentale, sottoporre a test l'ipotesi di indipendenza lineare β = 0 con livello di significatività pari a 0.05 [R: rifiutare Ho].

c) Spiegare quale e' la relazione tra l'indice di bonta' di adattamento R² e il test di indipendenza lineare.

a) Individuare la zona di accettazione e la zona di rifiuto del test al livello 0.05 [R: A = {¯X > -0.46}; R = {¯X < -0.46}]. b) Calcolare la potenza del test [R: 1 - β = 0.9719]. c) In favore di quale ipotesi si conclude? [R: si rifiuta H₀] d) Qual e' la probabilità di commettere un errore concludendo come indi-cato al punto c)? Motivare la risposta [R: 0.05].

Prova scritta di Statistica (10 CREDITI)

II canale (Dott.ssa Conigliani) - 13/07/2009

COGNOME:

NOME:

Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione.

Esercizio 1. [10 punti]. Sul volume I conti degli Italiani 1997 si trovano i seguenti dati relativi al tasso di disoccupazione (X) e al tasso di inflazione dei consumi privati (Y) in Italia negli anni 1991-1996:

• X: 8.8, 9.0, 10.3, 11.4, 11.9, 12
• Y: 6.3, 5.1, 4.6, 5.7, 4.5, 2.5

1. rappresentare graficamente la distribuzione doppia;
2. calcolare media, mediana e varianza di Y [R: μ = 5.4; Me = (5.1; 5.6); σ²= 0.653];
3. stimare i parametri della retta di regressione del tasso di inflazione dei consumi privati in funzione del tasso di disoccupazione e determinare la bontà di adattamento della relazione stimata [R: α = 10.049; β = -0.44; R² = 0.5];

la retta stimata al punto c) può essere utilizzata per prevedere il tasso di inflazione dei consumi privati in corrispondenza di un tasso di disoccupazione pari a 13? Motivate la risposta, e in caso affermativo effettuare la previsione richiesta [R: Ŷ = 4.329; la previsione non e' attendibile].

Esercizio 2. [8 punti]. Due giocatori, A e B, fanno il seguente gioco: lanciano un dado, e se esce un numero pari vince il giocatore A, mentre se esce un numero dispari il dado viene lanciato nuovamente; se in questo secondo lancio esce un numero vince il giocatore A, altrimenti vince il giocatore B. a) Determinare la probabilità di vincere per A e per B [R: P(A) = 0.58; P(B) = 0.42]; b) Sia X la variabile casuale che assume valore 0 se A perde e valore 1 se A vince. Calcolare il valore atteso e la varianza di X [R: E(X) = 0.58; var(X) = 0.24];

Esercizio 3. [12 punti]. Per andare ad un rifugio vi sono due percorsi: Ventotloc percorsi scelgono il primo percorso, e rimanenti sedici persone scelgono il secondo, e i tempi di percorrenza (in minuti) danno luogo alle seguenti statistiche:

Esame 16/6/2009 Pagina 1

Es. 3

• x | 3 | 9 | 15 | 25 | m=5
• y | 6 | 12 | 18 | 21

S_xy = 62

S_y = 0,2

^-x = 14,6 ^-y = 14 S_y² = 60 S_x² = 60,84

^{^}β = S_xy = 62 = 0,99 S_x² = 60,84

^ = ^-y - ^{^}β^-x = 14,6 - 2,18 R² = S²_yx = 60² 53 S_y = 60,84,60 = 0,996

^{^}y = ^ + β_x²

• x² = z
• z | 9 | 36 | 81 | 225 | 625

^-z = 195,2 S² = 32804,56

PAGINA 4

dopo 3 soggetti sono i (0,36)

1. _0.94, _m = 10

   R = {_X > _0,1 + _1,56 ^s_m} = {_X > 0,1,56₁₀}

   = {_X > 0,19}

2. 1 - _β = P(_R|_H1) = P(_X > 0,19|_H1) = P(_Z > 0,19 - 1/4₁₀)

   (_Z > _2,326) -0,51_m ^=_2,326

   ^s_m = 2,326

   -0,51^=_2,326

   ^s_m ^=_s/_m = -4,552

   _m ≈ 21