Esami svolti statistica 1

prova 130 maggio 2013

Esercizio 1:

La seguente tabella riporta la distribuzione di frequenza assoluta del carattere X.

1. Che tipo di carattere statistico è X?

2. Si calcoli la varianza di X.

3. Sia Y un carattere con varianza pari a 1.2 e sia σ_xy = -1 la covarianza tra X e Y. Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y. Si commenti il risultato ottenuto.

Si usi la tabella per i calcoli.

Soluzione:

a) quantitativo discreto

b)

σ_X² = ¹/_m ∑_j x_j² n_j - x̄²

= ¹/₂₀ (0·3 + 6 + 4·8 + 3·3) - 1,5² = 0,8475

c) σ_Y² = 1,2

σ_xy = -1

ρ_xy = ^σ_xy/_{σX σY} = ^-1/_{√1,2   √0,8475} = -0,89

Considerando che ρ_xy varie tra -1 e 1

-1 ≤ ρ_xy ≤ 1

con estremi che rappresentano una relazione lineare perfetta negativa (ρ_xy = -1) e positiva (ρ_xy = 1)

Siamo molto vicino alla relazione lineare perfetta negativa, quindi è un caso del tipo

prova 1 30 maggio 2013

Esercizio 1:

La seguente tabella riporta la distribuzione di frequenza assoluta del carattere X.

x_j n_j 0 3 1 62 8 3 3

20

1. Che tipo di carattere statistico è X?
2. Si calcoli la varianza di X.
3. Sia Y un carattere con varianza pari a 1.2 e sia σ_XY = -1 la covarianza tra X e Y. Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y. Si commenti il risultato ottenuto.

Si usi la tabella per i calcoli.

Soluzione:

1. a) quantitativo discreto
2. b) σ_X² = 1/m ∑^k_{j = 1} (x_j² n_j) - X̄²

   X̄ = 1/m ∑^k _{j = 1} (x_j n_j)

   X̄ = 1/20 [0.3 + 1.6 + 2.8 + 3.3] = 1,55

   = 1/20 (0.3² + 1.6 + 4.8 + 3.3) - 1,55² = 0,8475c) σ_Y² = 1,2σ_XY = -1

   ρ_XY = σ_XY / (σ_X σ_Y) =    = -1 / √1,2 √0,8475 = -0,89

Considerando che ρ_XY varie tra -1 e 1

-1 ≤ ρ_XY ≤ 1

con estremi che rappresentano una relazione lineare perfetta negativa (    ρ_XY = -1) e positiva (    ρ_XY = 1)

siamo molto vicini alla relazione lineare perfetta negativa, quindi è un caso del tipo

Esercizio 2:

Il tempo impiegato da un meccanico per effettuare il collaudo delle autovetture può essere considerato una variabile casuale normale con media 25 minuti e varianza 36 minuti. Si determini la probabilità che il meccanico impieghi più di mezzora per effettuare il collaudo di un'autovettura.

Soluzione:

X ~ N(25, 36)

P(X > 30) = ?

standardizziamo

P(_X-25/6 > _30-25/6) = P(Z ≥ _5/6)

= 1 - Φ(_5/6) = 1 - 0,7367 = 0,2633

Esercizio 3:

Un'azienda produttrice di scatole di plastica vuole valutare la resistenza del materiale con cui sono costruite le scatole. A tal fine estrae un campione di 6 unità su cui rileva i seguenti valori di un indice di resistenza:

15 17 8 14 12 15

1. Si determini l'intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione.
2. Usando la varianza campionaria determinata al punto a. si determini la dimensione campionaria necessaria per ottenere un intervallo di confidenza la cui semi-lunghezza non sia superiore a 0.5.

Soluzione:

NO IN

ESAME

prova 2

30 maggio 2013

Esercizio 1:

La seguente tabella riporta la distribuzione di frequenza assoluta congiunta dei caratteri X e Y.