Esami svolti statistica 1

prova 130 maggio 2013

Esercizio 1:La seguente tabella riporta la distribuzione di frequenza assoluta del carattere X.

a. Che tipo di carattere statistico è X?b. Si calcoli la varianza di X.c. Sia Y un carattere con varianza pari a 1.2 e sia σ_XY = -1 la covarianza tra X e Y. Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y. Si commenti il risultato ottenuto.

Si usi la tabella per i calcoli.

Soluzione:

a) quantitativo discreto

b) σ_X² = ½ ∑_j(x_jn_j) - X²

X̄ = ½ [0 × 3 + 1 × 6 + 2 × 8 + 3 × 3]= 1,55

σ_X² = ½ [(0²) × 3 + (1²) × 6 + (2²) × 8 + (3²) × 3] - 1,55² = 0,8475

c) G_y² = 1,2σ_XY = -1

ρ_XY = ½ × ρ_XY = ½= -0,89

Considerando che ρ_XY varia tra -1 e 1-1 ≤ ρ_XY ≤ 1

con estremi che rappresentano una relazione lineareperfetta negativa (p_XY = -1) e positiva (p_XY =1)siamo molto vicini alla relazione lineare perfetta negativa,quindi è un caso del tipo

Esercizio 2:

Il tempo impiegato da un meccanico in per effettuare il collaudo delle autovetture può essere considerato una variabile casuale normale con media 25 minuti e varianza 36 minuti. Si determini la probabilità che il meccanico impieghi più di mezzora per effettuare il collaudo di un’autovettura.

Soluzione:

X ~ N(25,36) P(X>30)

Standardizzare

P(_X-25/⁶>30-25/⁶) = P(Z>〈/sub>〉/⁶)

= 1 - Φ(〈/sub>〉/⁶) = 1 - 0.7967 = 0.2033

Esercizio 3:

Un'azienda produttrice di scatole di plastica vuole valutare la resistenza del materiale con cui sono costruite le scatole. A tal fine estrae un campione di 6 unità su cui rileva i seguenti valori di un indice di resistenza: 15, 17, 8, 14, 12, 13.

1. Si determini l'intervallo di fiducia al 95% per la media della popolazione.
2. Usando la varianza campionaria determinata al punto a. si determini la dimensione campionaria necessaria per ottenere un intervallo di confidenza la cui semi-lunghezza non sia superiore a 0.5.

Soluzione:

NO IN ESAME

Esercizio 3:

NO IN ESAME

Quesito teorico 1:

Per verificare l'efficienza di uno stimatore si utilizza l'errore quadratico medio.

Detti due stimatori T₁ e T₂ dello stesso parametro θ, T₁ si dice più efficiente di T₂ se l'e.q.m. di T₁ è minore di quello di T₂

MSE(T₁) < MSE(T₂) ∀θ

Se uno stimatore è corretto B(T) = 0

MSE(T) = E[(T - θ)²]

⇒ MSE(T) = V(T)

⇒ se abbiamo due stimatori corretti, basta confrontare la varianza

V(T₁) < V(T₂) ∀θ

Dim. Scomposizione e.q.m.

MSE(T) = E[(T - θ)²] = E[(T - E(T) + E(T) - θ)²]

= E[(T - E(T))²] + E[(E(T) - θ)²] + 2E[(T - E(T))(E(T) - θ)]

= E[(T - E(T))²] + E[(E(T) - θ)²] + 2E[(T - E(T))(E(T) - θ)]

V(T) il valore atteso di una costante è la costante stessa

E(C(x)) = E(C) = V(T) + E[(E(T) - θ)²] + 2E[(T - θ)E(T - E(T))]

B(T) = 0 ⇒ E(T - E(T)) = E(T) - E(T) = 0

= V(T) + B²(T)

la covarianza non presenta valori di minimo e massimo

Coeff. di corr. lin.

formula

f_xy =

i valori di min e max sono -1 e 1

-1 ≤ f_xy ≤ 1

dove in -1 abbiamo una relazione lineare perfetta negativa

e in 1 una relazione lineare perfetta positiva

Coeffic. c.r. se corr. lineare perfetta (-1,1)

Dim.

supponiamo

y = αx + β

α > 0

y' = αx + β

calcoliamo la covarianza tra x e y

G_xy =

G_xy =

y̅ = αx̅ + β

G_xy =

σ_x²

σ_y2 = α²σ_x2

img src="https://i.imgur.com/Z5LhT6b.png" alt="equation">

Esercizio 1:

La seguente tabella riporta la distribuzione di frequenza assoluta dei caratteri X e Y.

X: Y:

• 0 1 2
• 0 1 2 3

a) Si calcolino le medie condizionate di Y dato X.

b) Si calcolino le varianze condizionate di Y dato X.

c) Si calcoli la varianza delle medie condizionate.

d) Si calcoli la media delle varianze condizionate.

e) Si determini il rapporto di correlazione di Y dato X.

f) Si commenti il risultato ottenuto.

Soluzione:

1. _Ȳjx=t