Esami con soluzione completa di Fisica 2 di Ingegneria elettronica

S

4. Una particella con carica q viene utilizzata per eseguire un test dei

campi elettrico e magnetico presenti in una certo punto dello spazio. Si

osserva che la forza sulla carica è pari a: Q

F = qE u se la velocità della particella è v = v u ,

1 0 x 1 0 x

F = qE (2u + u ) se la velocità della particella è v = v u ,

2 0 x y 2 0 y

F = qE (u + u ) se la velocità della particella è v = v u ,

3 0 x y 3 0 z

con v > 0 ed E > 0 , entrambi costanti. Determinare i vettori E e B in tale punto.

0 0

5. La sbarra metallica di figura, con resistenza trascurabile, massa m e lunghezza h, scivola senza attrito su

due guide metalliche con velocità costante v = vu . All‘estremità delle guide è posto un resistore di resistenza

x

R. Il sistema è immerso in un campo magnetico statico non uniforme perpendicolare al piano delle guide,

-ax -1 -1

B(x) = B e sen(kx) con k=0.2m ; a = 1 m . L’autoinduttanza del

0 B

sistema e la resistenza delle guide sono trascurabili. La sbarretta è v

R

posta inizalmente ( t = 0 ) in x = 0. Gli attriti tra sbarretta e guide h, m

metalliche siano trascurabili. Si determini la forza che si deve

applicare sulla sbarretta, in modo da mantenere costante la

velocità della sbarretta. x

0

Soluzioni

1. (a) Prendiamo una scatola a forma di parallelepipedo di area A << S sui piani yz e di altezza h ≥ 2d.

Per la simmetria del problema la carica totale contenuta in tale superficie chiusa è nulla, quindi per il teorema

di Gauss il campo E risulta nullo sulle superficie A. Deduciamo che E = 0 per x ≥ d e x ≤ -d . Per calcolarlo nella



  

E

regione |x| < d utilizziamo la legge di Gauss: che per la simmetria del problema si scrive:

 0 x

  



  

  

x 2

x

E ( x ) 

     

   2 2

0 0 0

0  

E ( x ) xdx d x

Integrando rispetto ad x:

x

.   

 

  

d d 2 2 d

x d  

0 0 0

0 0 d d

.

(b) Nella regione –d ≤ x ≤ d, ponendo V(0) = 0 , abbiamo:

  

0 0 0

 

   

3 3

  x x

     

2 2    

   

0

V ( x ) V ( x ) V ( 0

) E ( x ) dx d x dx 2 2

0 0

d x d x

   

  

2 d    

2 d 3 2 d 3

0 0 0

x x x

 

2 2

d d

    

0 0 . Per x > d e x < - d , essendo E = 0 , abbiamo V(x) = V(d) per x > d e

V ( d ) ; V ( d )

 

3 3

0 0

V(x) = V(-d) per x < - d.

2. (a) Utilizzando il teorema di Gauss per il vettore D attraverso un cilindro con le due basi A all’interno

rispettivamente dei conduttori 1 e 2 abbiamo, poiche’ nei conduttori sia ha D = 0 =>

 Ad   d d.

q = 0 => A + A + = 0 => = - - = - 3

libera 1 2 2 1

(b) Utilizzando il teorema di Gauss per il vettore D un cilindretto con base 1 nel conduttore 1 e base 2 in un

+

1

() =

punto generico x nel dielettrico abbiamo DA = ( +x)A e quindi

1

      

  

d d 2 2 2 2

x d / 2 d 2 d / 2 d 5 d

 

       

1 1

V V ( 0

) V ( d ) E ( x ) dx dx

   

2

0 0

3. Supponendo a regime il circuito prima di chiudere l’interruttore S nel A

ramo AB non scorre corrente, quindi nelle tre resistenze scorre la R

R 2

1

=

corrente: ed ai capi del condensatore si ha la differenza di Q

+ +

1 2 3  R

C

3

3

( < 0) = () − () = =

tensione: =50 V.

3 + +

1 2 3

(a) Chiudiamo l’interruttore a t = 0 ed esaminiamo il conseguente B

andamento transitorio della tensione ai capi del condensatore, , con la

(0) = ( < 0).

condizione al contorno: Utilizziamo per esempio la

prima legge di Kirchoff applicata al nodo A. Otteniamo: P A

R

R

−/

() (0)

+ + = 0 =

da cui ricaviamo la legge : 2

1

2 3 

2 3

= R

C

con = 3.6 ms. 3

S

+

2 3

(b) Durante il transitorio, la corrente che scorre nel ramo AB è: B

Q

+ −/

2 3

() (0)

= = − . La corrente che scorre nel tratto

2 3 () (0) −/

() = =

PQ è la somma della corrente che scorre nella resistenza R : e la corrente che

2

2

2 2

(0)

− −

()

= = + = 0.1 + 0.025

scorre nella resistenza R : =0.1A, quindi : A .

1

1

1 1 2

= +

4. Utilizzando la nei tre casi dati:

= + = + = ;

0 0

= + = + = (2 + );

0 0

= + = + = ( + );

0 0

e combinando le espressioni trovate, si ottengono le espressioni:

− = +

( ) ( );

0 0

− =

( ) .

0 0

Dalla prima si deduce che B ha direzione e verso dell’asse z, quindi scriviamo: B = B u . Utilizzando la seconda

0 z

0

− = = =

( )

equazione determiniamo B : → . Quindi, utilizzando per

0 0 0 0 0 0

0

0

=

esempio la relazione : otteniamo il campo elettrico :

0

0

= + = + = − = = +

( ).

→

0 0 0 0 0

0 −

() ()ℎ ()ℎ

− 0

= − =− = = − ()ℎ () = =−

5. e quindi (a) .

0

La potenza elettrica dissipata sulla resistenza è pari alla potenza impiegata dalla forza esterna per muovere

2 −2 2 2

()ℎ

 0

() = =

.

la sbarra alla velocità v : P = F v = I => .

Compito di Fisica 2

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

7 luglio 2016 ,

1. Una distribuzione di carica a simmetria sferica con densità volumetrica costante posta nella regione

-7

delimitata dai raggi R = 1cm ed R = 3R , contiene la carica totale q = 10 C. (a) Determinare l’andamento

1 2 1

del campo elettrostatico e del potenziale elettrostatico generati da questa distribuzione di carica in tutto lo

-3

spazio. (b) Se una particella puntiforme di stessa carica e massa m = 10 g posta inizialmente all’infinito deve

attraversare tale distribuzione lungo un suo diametro, che condizioni dobbiamo imporre sulla sua velocità

iniziale perché ciò avvenga?

2. Tre lastre conduttrici quadrate di spessore b=3mm e lato L =10cm, tra 1

loro parallele, sono poste come in figura. Le lastre 1 e 2 sono tra loro distanti 3

d = 2b, la lastra 3 è inserita tra le altre due per la metà della sua lunghezza. 2

-8

La lastra 1 è carica con carica Q = 10 C , le altre lastre sono scariche.

Determinare (a) le densità di carica suelle varie superfici dei conduttori e (b) la forza sulla lastra 3 ( direzione

verso e modulo).

3. Nel circuito di figura C è un condensatore ad armature piane di forma circolare

e raggio r =2a poste a distanza d tra loro. Tra le due armature è presente un cilindro

2 R

T 1

coassiale costituito da un dielettrico imperfetto, di raggio r = a , costante dielettrica

1

 . r

relativa e conducibilità elettrica (a) Si calcoli la resistenza R e la capacità C del

r 2  2

C

condensatore con dielettrico. (b) Si determini l’andamento della corrente che scorre

nella resistenza R se alla chiusura del tasto T, all’istante t = 0, la carica sulle

1

armature del condensatore è nulla. (c) Si valuti il campo magnetico nei punti distanti

r dall’asse del condensatore, una volta raggiunta la condizione di regime.

1 c

4. Si calcoli il coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti elettrici

di figura, posti nel vuoto e costituiti da un filo rettilineo indefinito ed a

un circuito chiuso a forma di triangolo rettangolo con cateti c =3cm, d

d = 10cm, giacente nello stesso piano che contiene il filo indefinito e

tale che il cateto maggiore disti a =0.5cm da esso.

,

4. Una sbarra metallica di resistenza r = 2 massa M=30g e lunghezza L = 14cm scivola senza attrito su due

guide metalliche con velocità v come mostrato in figura. Alle estremità delle guide sono posti due resistori

.

uguali di resistenza R = 10 Il sistema è immerso in un campo B

magnetico statico uniforme perpendicolare al piano delle guide, B

= 1T. L’autoinduttanza del sistema e la resistenza delle guide sono v

R R

trascurabili. Se all’istante t = 0 la sbarretta si muove con velocità v r,L, M

0

= 3m/s, determinare l’andamento della velocità della sbarretta in

funzione del tempo.

Soluzioni

∙ =

∮

1. (a) Utilizzando il teorema di Gauss si ha:

0

E = 0 0 ≤ r < R 1

13

3 3

−4

= ( − ) = = = 9.1810 .

R ≤ r ≤ R con:

1 2 23 13 13

2 3

3 4( − 104

)

0

= r > R 2

2

4

0

Utilizzando la definizione di potenziale elettrostatico e ponendo V(∞)=0 abbiamo:

)

() = ( = = 30.

r ≥ R ; 2

2 4 4

0 0 2

R ≤ r ≤ R

1 2 2