Esami 3 Statistica

ESERCIZIO

E(Xn) V(Xm)

0

Dati 102 ha

e

e

a) si

e =

= ,

0

E(Tr) V(Tz) 02

= = I

on V(T2)

2 40

28 20 202

E(Tz) 40

20 +

3

+ 3

= = = =

- - ,

b) Gli medi

quadratici

errori sono

0

MSE(Tr) 10-02 D

= -

MSE(T2) 1302

982 200

108

8) 2 482

(48

40 9 2

+

+

3

= + =

= + - -

- - 5

ESERCIZIO -

-

(15 1)13091

X 1) (12

4344

T (x 2)s 1(y

SP (my

5625 15429 * 15429,

5

375

, 362 + 24400

= 2000 13

+ - =

= = =

- -

-

-

=

= =

=

, = ,

15

Mx 1

12

+

2

My

+ -

-

La toos

toos statistica

rifiuto

di te

La

è

a) U

zona 12514-1

708

1 708

.

(25) . .

,

,

t x y 362 2797

375 0

= - -

= = .

VSp(n 114400/E

m 2

+

+ Ho

quindi accetta

si

b) Considerando #to

quantili ha che

i 78

,

=2 si

=

(25)

05 .

,

.

[ 784/24400/5 2027)

(375 362) (

784114400/

2 362)

2 (375

Mx 1 142

2027

My e + 116

2

-

- =

+ +

- %

%

. . . .

Data la test

statistica

c) 29

375 362 0

Z -

= = .

112000 150

e

+

che ho N(O

sotto legge 1) forniscono

Per l'ipotesi

dati evidenza smentire

il p-value i

segue una non

.

3859081 cui

a per

=

, .

,

nella . 6

ESERCIZIO

dapprima

Calcolo

a) /Sxx /222

Sxy Syx 42 48

n 58 12

9

0 9

= = =

.

. . ·

. .

.

.

poi rz)

(2

SSR Syy 40 52

= =

. - .

sicche B SSxy

= 21

0

= .

Bx

2 64

y 19

= =

- .

R v 1764

= 0

= . Sxx))

b) B E

(B /SSR/1 596]

(1 = 264 0

0

= = -

%75 0

0 . .

. ,

.

. B 0/k

PI(Yxo 20) to

y (X-X) SS 12969325

4) 1

=

xo +

+

=

= 975 +

. =

.

,

.

Esercizio 1

p(x1 T)

T Mz

a) 2m 1

+

1

= 122

12v

xm =

= + +

, ..., =

- In

p(Hzxz

b) T)

T xm = =

= In

...., (1)

In formula la

Bayes

della di

questo che

il stato

sarebbe risultato impossibile

11-10-0 sarebbe

numeratore ovviamente

quindi

2) ,

caso ,

,

moneta fosse del Hz

utilizzata descritto

tipo da

stata .

ESERCIZIO 2

a) =-

dx

b) E(x) 5

2 + 7 3 5

= =

= .

Var(x) (52)

= 7

0

= .

ESERCIZIO 3

0(745750)

p(X 745m() 0( 25)

a) = 1 1056

0

= =

-

= . .

b) 150

X 743

4 42

64 64 750

1

20 1

- x + =

= =

= -

-

0 .

= .

. .

. 42)

(N(0 65)

(4

Xa sol

Xz

2) 5

~ = + =

- .

,

(X1 10) 0(100)

Xz 0(2 77)

1 1 1 9626

p 0384

0 0

= =

- =

-

- -

= . . . 4

ESERCIZIO

E(Tz) 3(T(X1 3Xz)) su)

2(u

a) 2xz

+ 0

2u

+

= - =

= -

4xz))

(T(Xz

E(tu) 2(u 4u)

Xz Eu

= + u +

=

- =

-

Entrambi gli distorti

stimatori .

sono

b) (E(T1)

(T1)

MSE u) 2 =

(T1)

Var (n u)

a) (0 i

1

+ 4 +

+

= + +

- =

-

MSE(T2) (E(Tz)

Var u)2

(Tz) m)

(zu

(1 16) 24

+

+ 1 2

+ +

= = + =

- - = =

(

Mettendo le

sistema troviamo

due che due

soluzioni le

a curve

9 -

/ MSE

ha di

Tr ,

valore

nell'intervallo

poiché piccolo

di

Quindi il più

Ma

intersecano 11 T

1 29 3462

per M =

si = . ,

.

16

Tr All'opposto

preferire di

da frori

di

Tc estremi

dell'intervallo

al

te

preferirà /29

è a .

ESERCIZIO 5

Y

X ed le

Siano che

variabili ha

Si

aleatorie

a) tradizionale elettronico

ed

relative rilevate X

rispettivamente

alle modo i

14

misure in 6 5 36

,

=

, , . =

. .

,

considera

Sy Si il test

S 4 708

758 1 .

e

= =

. .

Ho Ha

/0 le

:

: 2

= ,

statistica test

can

F S ~F(4

= 4)

,

Sy 27 f

R 16 76

rifiuto . Si l'ipotesi

di omoschedasticità

nulla di .

accetta

785714

,

regione osserva

e 0 2 si

39? cui

per

=

con =

: . .

.

b) lo

Si di

calcola L'intervallo

stimatore Sp amoschedasticità

congiunto della verificata

l'ipotesi di

sotto

Varianza 4 750 .

708

1

+ 3 233

= =

.

. .

2

confidenza

è (6 23342) 89182)

(

864/3 864/3

Mx 14 1

c 5 23342 14

36

My 33189

1

+ 2

6 5 36 1

-

- - - = :

;

.

. . .

. .

.

. .

. delle

Ad fra

differenza

livello confidenza che media

di due

del %, l'intervallo la

ci sia

non misurazioni,

suggerisce

90

un valore

il all'intervallo

che

visto appartiene

o .

L'ampiezza dell'intervallo confidenza

di è

media

di

2) media

la varianza

in caso

per

za/20/110

2 3

=

da Il

/10/ livello confidenza

di

(20) e

mi zaz 74

3 2

= =

. .

.

74)20

2P(zc 2 006

- . .

Esercizio6

B

ha

Si che 638/19 2

al 4539 911266

o 97

4539 14

36

0 6

032 573256

5 0

2

2

0

0 *

= = e

= = =

- .

. .

, . =

.

. . . .

6) Dato ipotesi

di

il sistema

Ho B He Bo

0

: = :

, la sotto

statistica l'ipotesi

considera test mulla

si Betn-2

/SS - [t

R fra

la t . lineare

rifiuto

di Avendo le

t=2 l'ipotesi

osservato che

è relazione

regione accetta

201 si ci

=

cui 3 non

per 009975 sia

: ,

. .

tradizionale ed elettronico

rilevate metodo

misure con .

L'intervallo confidenza

di dell'errore

la è

varianza

per

SR)

(SSR 13

(0

o 3114

= . . 1

ESERCIZIO

· dei

stazio

0

a) =

6) Ottenere teste la

equivale binomiale

lanci

di della

esattamente valutare probabilità

su

500000 2000000 a

(500000

Bin 5) ! 550000005500000 0007978844

1000000

M 1000000 0

0 0

= =

p =

= .

.

, .

!

5000001500000

I

Questa dovuta

probabilità

La è fatto

modesta che

al lo

quantità logaritmi l'esponenziale

passando applicando

stata calcolata

è al risultato campionario

spazio

ai .

è la

molto di probabilità

grande disperde

unitaria

e si

massa .

Risulta Infatti

la

che dei

legge

p(T) grandi

la

di teste essendo

molto

lanci

di ed

milione 1

invece 0 5

sarà ,

vicina

proporzione numeri

per

a

un

su =

. .

p)inx 2)

p(T) 0

( =

-

che

Questo l'esperimento

ripetessimo di moneta

implica di della

volte

piccolo del lancio teste

di

il visulterebbe appartenere

per piacere 1000000

a se numero

a . ,

500500).

ad (diciamo

abbastanza fra

di

ristretto valori

intervallo

un 499500 e

Esercizio 2

exp( " xi)

l(0 xm) 80

0

0

a x1

: = -

, ..., i 1

=

((0 Xm) 0

b) mlg(0) GliX X) - A

Xz M

x =

-

, = i

..., =

...,

,

E m

= 1Xi

Valuto Xi

la dello stimatore

correttezza aritmetica

- media

E))

ESERCIZIO 3

F)

ofp((z 1)p((

p(f(z 1) 1)

1 1)p((

(F(

= = 2002

= 4424

= = =

p 0

= =

= .

0) 1)Sp( 0)

1)

1)p(( to

1)

p(t(z [p((1 1

0)p((z 4

p((

1)

p(F(z 0.

0

1)p((z +

21(

p(F(z 1((

+ .

= =

= .

=

= = = .

- .

=

= = + =

6) =.

Datip((x 1) 1)

e p((z xe[0

1) 33

X

ep((3 la

che probabilità

Ci

la seguente

variabile valori

considera

4

2

0 1 2

0

= si

= = 0 assume

0

= con :

= = ,

. ,

. . , ,

12 3

O

X

p(x) 4720

0 064

096

0 0

368 .

.

.

.

10

1)

P(X

dove 2) 10 2) 8) Il

2) funziona

10 P(X 2) 8)

10

10 sistema probabilità

0

= 10

6

= 2 + 8

4

0 8

+ 6 4

0

0 0 + 4 +

0 0 8

= + :

con

0

2

2 6

= 0 0

0 0 0

. . . . .

. .

. . .

. . .

.

,

. . .

. . .

. .

. . . .

. . . .

1)

P(X

= 1 0 904

0

096

= =

- . .

Ca guasto

Se p((s

il

c) 1)

è 0 cui

compone = per

= :

,

1 2

O

X

p(x) 0 44 08

0

48

0 .

. .

Ne funziona

che il sistema probabilità

segue con :

P(X 1) 44 08

0

0 52

0

+

= =

, .

.

.

ESERCIZIO 4

3000002)

,

Si X-N(4400000

che

0 ha cui

per

,

P(z)4100000 4400000)

4100000)

P(x) -1)

P(z 0413447

= 0

=

- = .

b) Dato che

( 3000000)

P P(z 1400000) )

P(zc

1 3000000

= 00

- =

< =

Y 02)

Bin(10

la

considera da

variabile

si ~ cui

0

, .

P(y 1) P(y 70

0) (1 0

1 82) 1

1 1829272

8170728

0 0

= = =

- =

= -

- -

, .

. .

YN

Si la variabile (20

/100

considera YN

98) 96),

2) mi

X0 100 *

40 0

02

02 1 per

, ,

. .

,

.

.

P(y 25) P(z 2520) 57)0

P(z3

=

= 9998225

> = . .

ESERCIZIO S

Sia

0 62/1200

p ha /1-p)/m

distribuzione media

che Dato

normale di di<