Esame di matematica per l'economia - traccia svolta con tre quesiti

CORSO di LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE

MATEMATICA PER L’ECONOMIA (10 CFU)

PROVA D’ESAME CON SVOLGIMENTO

–

PROF. SSA ROMANIELLO MARIA A.A. 2021-2022

1. Studiare la funzione () = + 1 − + 2

√2 √

2. Dominio e derivate parziali della funzione 1

−

(, ) = ⋅

3. Discutere e risolvere il sistema

2 − + = 1

3 − + = 2

{ ++ =0

(2) Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico

() = + 1 − + 2

√2 √

DOMINIO

La funzione è irrazionale intera, per la ricerca del dominio bisogna porre maggiore uguale a zero i

due radicandi: 1 1

2 + 1 ≥ 0 ≥ −

{ →{ →≥−

2

+2 ≥0 2

≥ −2

L’intersezione delle due condizioni fornisce il dominio di f:

1

= [− ; +∞[

2

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

{ = + 1 − + 2 { = 1 −

√2 √ √2

() ∩ : →

=0 =0

() ∩ = (1; −√2)

= + 1 − + 2

√2 √ + 1 − + 2 = 0

{√2 √

() ∩ : { →

=0 …

=1

2 + 1 = + 2

→{ →{ =0

… () ∩ = (1; 0)

La funzione interseca entrambi gli assi cartesiani.

( = 2)

La funzione ha due zeri.

SIMMETRIE −() = = −√2 + 1 + √ + 2 ≠ (−)

(−) = + 1 − + 2 ≠ ()

√−2 √− La funzione non è dispari.

La funzione non è pari

SEGNO

() ≥ 0

+ 1 − + 2 ≥ 0

√2 √

Risolviamo la disequazione irrazionale con due radici, del tipo:

() ≥ 0

() ≥ 0

≥ ⇔ {

√() √() () ≥ ()

Osserviamo che le prime due equivalgono al dominio di f(x):

+ 1 − + 2 ≥ 0

√2 √

1

≥−

{ 2

2 + 1 ≥ + 2

1

{ ≥ − 2

≥1

Ne deriva che: 1

(−

() > 0 : 1)

2

(1;

() < 0 +∞)

LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO

3

−√

lim (√2 + 1 − + 2) =

√ 2

1

→− 2 1 →

= − ∈ → () lim f(x) = f(x )

è continua 0

2 → 0

lim (√2 + 1 − √ + 2) = +∞ − ∞

→+∞

Abbiamo una forma indeterminata, differenza tra due infiniti. Usiamo la razionalizzazione

√2 + 1 + √ + 2

lim (√2 + 1 − + 2) = lim (√2 + 1 − + 2) ⋅

√ √ √2 + 1 + √ + 2

→+∞ →+∞

2 + 1 − ( + 2)

= lim √2 + 1 + √ + 2

→+∞ −1 +∞

= lim ≈ lim = = +∞

+∞

√

√2 + 1 + √ + 2

→+∞ →+∞

L’ordine di infinto +∞

del numeratore è superiore, il rapporto tende a

x

= 1

√ x 2

Possiamo verificare per via algebrica, raccogliendo il grado massimo al numeratore e al

denominatore

−1

lim =

√2 + 1 + √ + 2

→+∞ 1

(1 − )

= lim

→+∞ 1 2

√ √

(2 + ) + (1 + )

1

→ ∞, → 0

quando

= lim + √

→+∞ √2

= lim √(1 +

→+∞ √2)

razionalizzando:

√

= lim (1 +

→+∞ √2)

√

= lim = +∞

(1 +

→+∞ √2)

Non ci sono asintoti orizzontali.

DERIVATA PRIMA

() = + 1 − + 2

√2 √

1 1

′ ()

= ⋅2−

2√2 + 1 2 √ + 2

1 1

′ ()

= −

√2 + 1 2√ + 2

2√ + 2 − √2 + 1

′ ()

= 2√2 + 1 ⋅ √ + 2 1

= ]− ; +∞[

2 1

−

Osserviamo che il dominio della derivata prima non include 2

La funzione in questo punto non è derivabile.

3

2√

2√ + 2 − √2 + 1 2

lim = = +∞

+

0

+ 2√2 + 1 ⋅ √ + 2

1

→− 2 1

x = −

Nel punto il grafico ha tangente verticale.

2

Monotonia

′ ()

≥ 0

2√ + 2 − √2 + 1 ≥0

2√2 + 1 ⋅ √ + 2

Il denominatore è sempre positivo.

Studiaamo il segno del numeratore:

2√ + 2 − + 1 ≥ 0

√2

Risolviamo la disequazione irrazionale:

2√ + 2 ≥ + 1

√2

1

1 1 ≥−

≥− 2

{ ≥ − {

{ → →

2 2 7

4( + 2) ≥ 2 + 1 2 ≥ −7 ≥− 2

1

′ > 0 (− ; +∞) → strettamente crescente

2

Ricordiamo sempre che dobbiamo rispettare il Dominio della funzione. La parte in cui essa

assumerebbe valori negativi non è contenuta in D.

Grafico

(2) Dominio e derivate parziali della funzione

−

(, ) = ⋅

condizione che il denominatore dell’esponenziale sia non nullo:

Per la ricerca del dominio bisogna porre la − ≠0→ ≠

Il dominio è costituito da tutti i punti del piano tranne quelli appartenenti alla bisettrice del primo e

terzo quadrante: {(;

= ) ∈ ℜ: ≠ }

Calcolo delle derivate parziali di 1

−

(, ) = ⋅

1 1

0−1

− −

= = + ⋅ ⋅

2

( )

−

1

−

= [ ]

1 −

2

( )

−

1

0 − (−1)

−

= = 0 + ⋅ ⋅

2

( )

−

1

−

⋅

=

2

( )

−