Esame 5 Fondamenti di meccanica strutturale

P A

CAMPATA II N=R

A

T=0

M =+M +M=-100 Nm

P A

CAMPATA III T=0

N=0

M =0

P

CAMPATA IV T=-P= -1000 N

M =P(a-x) M (x=0)= -100 Nm ; M (x=a)= 0 Nm

P P P

DIAGRAMMI M

p 100 Nm

+ -

-

350 Nm

c) SEZIONE PIÙ SOLLECITATA

Da uno studio fatto sui diagrammi di sollecitazione si può valutare come la sezione più

sollecitata sia quella di incastro appartenente al tratto verticale (N=1000 N) (M =350 Nm).

P

d) PROPRIETÀ GEOMETRICHE SEZIONE PIÙ SOLLECITATA

2 2 2

A = H – h = 324 mm

39852

Il sistema oYZ in figura è baricentrico per le proprietà geometriche

della sezione.

e) ANDAMENTI TENSIONI NORMALI E TANGENZIALI E TENSIONI MASSIME

3.1

N ∙ ∙ 131.7

#$%

! !

M ' 134.8

FZ

#$% #$%

f) PUNTO PIÙ SOLLECITATO E COEFFICIENTE DI SICUREZZA

I punti più sollecitati (in della sezione di incastro

blu in figura)

sono quelli a .

L`acciaio è un material duttile dunque si sceglie il criterio di Tresca

o Von Mises.

- ' 3. 135

)*,, 135

)*

- ' 4. 135

)*,/ 235

2 1.74

01 3 135

)*

OSSERVAZIONE: Si è implicitamente ammesso che l`effetto del Taglio sia trascurabile

rispetto alle flessioni. Si valuti ora a posteriori l`esattezza dell`ipotesi fatta studiando le

tensioni massime di taglio nel punto C della struttura considerando la sezione C come

appartenente al tratto orizzontale di sinistra soggetto ad un taglio T.

T=1000 N

1 45 6 7 1647 9

#$%

. 6.9

, ;

: <=>

#$% ! @

?

τ che si avrebbe per y=0 ovvero quando σ (y)=0 è di fatto trascurabile.

max P

g) CALCOLO DELLA FRECCIA NEL PUNTO D

Sistema di riferimento locale per il calcolo della linea elastica.

A x=0

C x=2a

C x’=0

D x’=a

CAMPATA I

B

AA

! B C C'D

A

! C C

B ' DC ' E

2 2

!

CAMPATA II

B

AA

!! B C'0

A

!! C

B ' 0C ' F

2

!!

CAMPATA III

B 0

AA

!!! B H

A

!!! B HC ' I

!!!

Condizioni al contorno

1) Y (x=0)=0 B=0

I

2) Y ’(x=0)=0 A=0

I

3) Y ’(x=a) = Y ’(x=a)

I II

2 2

-Ma –Pa = –Pa + C C= -Ma

4) Y (x=a) = Y (x=a)

I II 'F →F

$ $ $ $

J K K J

CALCOLO FRECCIA

C

B C'

2 2

!! B C

A

!! RS T VS

R

M O Q RS W. WWXYXZ [S\

A UP UP

N PP

] S ∙ _` M ≈ S ∙ M W. bcb dd

^ N N

FONDAMENTI di MECCANICA STRUTTURALE 09IHRMN 09IHRLN

A.A. 2013/14

MECCANICI - AUTOVEICOLO

ESAME SCRITTO 12.09.2014

ESERCIZIO 2

Sia dato una struttura con sezione come indicato in figura.

Il baricentro G si trova a distanza pari a 17 mm dal bordo superiore della sezione e 23 mm dalla base

inferiore della sezione.

Nella sezione più sollecitata di questa struttura sono applicati un momento flettente e uno sforzo

M z

di taglio .

T

y

Si chiede di determinare:

a) l’andamento delle tensioni normali σ e delle tensioni tangenziali τ sulla sezione;

b) il punto più sollecitato della sezione e i corrispondenti valori massimi delle tensioni σ e

τ;

c) il tensore delle tensioni in tale punto;

d) le tensioni principali;

e) i cerchi di Mohr;

f) il coefficiente di sicurezza secondo l’ipotesi di cedimento più idonea.

La risoluzione corretta dei punti da a) a d) è condizione necessaria per la valutazione dei punti successivi.

Dati:

= 100 Nm

M z

= 1600 N

T y

= 40 mm

a = 26 mm

a’

= 30 mm

b = 14 mm

b’

Materiale S275 (Rp =275MPa)

02 a z

b

b’ a’

y

SVOLGIMENTO Δ = 17 mm

Δ’ = Δ – (b – b’) = 1 mm

a) Studio delle σ e τ associate alla sezione

σ ( )

dovute a M

Z

→ e e′ e e′

9 ' ∆ ∙ e e′ ≅ 65493.33

12

12

! ′

e′ ′ e′

9

2i ' e′ j ∆′k l ≅ 10257.33

2

12 2 2

!! ' 75750.66

! !!

Tensioni in punti caratteristici

∆ ∆ 22.44

∆′ 1.32

∆′ m

e ∆ e ∆ 17.16

n

0 0

o

τ ( )

T

dovute a y ′ e ∆

A A A

∙ 2 ∙ e ∆ p ' q r e ∆ s

1 A A A A

2 2 2

!! A

1 ∆′ t e ∆ ∆ u 1176

A A A 9

2

!!

1 1 ∆

∗ A

!! per area I se y < 0

∆' ∆

1 1 ∆' w ' x 1

∗ ∗

2 2

! A

} r s

∆ € O € • ∆

e ~• ∆

A A A

2

y ∆

|

z O 1 ~• ∆ €O € ∆′

∗

{ 2 ~• ∆ € O € ∆′

N‚[\S [•~ƒ~_•„_• S … ‡ ~• ∆ € O € • ∆

† A A

}1 ‰ ~• ∆ € O € • ∆

!! ˆ A

Ž

1 ‰ ′

. !! ˆ 1 ‰

Š‹Œ• |

%ˆ ~• ∆ €O € ∆′

! ˆ

Ž

{ A r s

∆

1 0 e 1183

A A 9

2

#$%

Tensioni in punti caratteristici

1 ∆ ‰

. ∆ . 0

• ˆ

′

%ˆ 1 ‰

∗

. ∆′ . 17.94

ˆ

′

%ˆ m 1 ‰

. 0 . 17.85

#$% ˆ

′

%ˆ o

. e ∆ 0

%ˆ

Andamento delle σ e τ