Esame 3 Fondamenti di meccanica strutturale

A H

A

A L C

N B

P L

V

D

L

L D

H

D

Si scrivono gli equilibri riguardanti le reazioni vincolari esterne:

• ) Gli elementi AB e CD sono ASTE, quindi sopportano reazioni solo lungo i proprio assi

quindi non sono presenti reazioni orizzontali H = 0 N ; H = 0 N

A D

• ↑) V + V +P = 0

A D

• V V

D 2*L*P+ V *L=0 = -2000 N = 1000 N

A A D

Se non si fosse notata la presenza delle aste si sarebbe dovuto calcolare le reazioni orizzontali come

incognite del problema per un totale di quattro incognite.

Al fine di trovare le quattro incognite, si può ad esempio spezzare la struttura nei suoi elementi

semplici e calcolare le reazioni interne: V

C

V H

A C

C

H

A

A V

D H

D

V D

B

B H

B

Imponendo una equazione di equilibrio alla rotazione per entrambe le parti mostrate in figura si trova in

modo semplice che:

• H = 0 N, H = 0 N, H = 0 N, H = 0 N

A B C D V = 2000 N, V = -1000 N

Imponendo una equazione di equilibrio alla traslazione verticale si trova: B C

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

B. Determinare le espressioni analitiche delle caratteristiche di sollecitazione e disegnare i

corrispondenti diagrammi

Si definiscono prima di tutto le convenzioni che verranno usate per le reazioni interne per la

discussione ti tutti e tre gli stati di sollecitazione:

T +

- M

M

N N

T

• Sollecitazione Assiale (N) -2P -P

Lo stato di sollecitazione assiale, date le reazioni vincolari trovate al punto A, riguarda solo le due

aste verticale. In entrambi i casi, praticando un taglio ideale in qualunque punto delle due aste,

l’equilibrio da scrivere è:

=0 N= -V

↑) N+V

A,D A,D

• Sollecitazione al Taglio (T)

+P -P

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

La sollecitazione di Taglio interessa, al contrario di quella assiale, solo l’elemento orizzontale. Per

analizzare tale sollecitazione si può pensare di considerare distintamente il lato sinistro e destro

della struttura.

N x’

x C

P V

D

Si procede ora ad analizzare distintamente i tratti Nx e x’C imponendo gli equilibri verticali.

NB (muovendo da destra, faccia positiva): P-T=0 T=P=1000 N

BC (muovendo da sinistra, faccia negativa): V +T=0 T=- V =-1000 N

D D

• Sollecitazione al Momento Flettente (M)

+P

Il momento flettente è anch’esso presente solamente sull’elemento orizzontale in quanto gli

elementi di tipo asta possono essere solo sottoposti a trazione/compressione. Inoltre, essendo il

taglio che lo genera costante, il suo andamento non può che essere lineare. Muovendo

dall’estremo N, origine di un asse di riferimento di coordinata “x”, verso destra, è possibile trovare

NB.

l’ espressione analitica che descrive il momento flettente nel segmento Sezionando il segmento

in questione in un punto “x” qualunque compreso tra N e B si ottiene:

M(x) = P*x , (il massimo lo si ha quando x=L M(L)= 1000 Nm)

x P*x-M(x)=0

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

CB, x’C,

Consideriamo ora il secondo segmento il tratto e poniamo l’origine dell’asse di riferimento

C.

con coordinata “x’ ” in Muovendoci verso sinistra e sezionando il nuovo segmento in un punto

“x’ ” qualunque compreso tra C e B, ora si ottiene:

x’ - M(x’)+ V M(x’) = V

* x’=0 * x’,

D D

(il massimo lo si ha quando x’=L M(L)= 1000 Nm)

C. Calcolare la variazione di lunghezza delle aste verticali

Per rispondere a tale quesito bisogna far riferimento ai diagrammi di sollecitazione di sforzo normale

(di compressione) del punto precedente e all’equazione che lega la deformazione e la tensione interna

di un materiale. Si ha:

=

∆

• = ; =

• = − −2 = 900

•

Da tali formule si ricava che:

∆ = − . ∗ ! $$

"#

AB ∆ = −%. %& ∗ ! $$

"'

CD

(notare il segno meno che indica la compressione dell’elemento)

D. Calcolare le proprietà geometriche della sezione necessarie per determinare l’andamento

delle tensioni normali e tangenziali s a

z

G y

( = ) − ) − #* = +!! $$

# # #

•

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

,= − = '!.%!! $$ /0123 $123 45363

) )"#*

- - -

# #

• 7 = 9 ( = − ∗ ) ∗ * = %&#% $$

; <

) * '

8 : # #

• 7 = 9 ( = − *< ∗ − *< ∗ #* = #!!! $$

; ;

) ) '

8 : # # #

# #

• 7 = 7 + 7 = .&#% $$

'

8 = =

636 #

•

E. Individuare il punto più sollecitato e in questo punto calcolare le tensioni principali e

determinare le direzioni principali tramite i cerchi di Mohr.

Essendo il momento flettente la sollecitazione più influente sulla struttura, identifichiamo con

B

il punto la sezione più sollecitata della struttura. E’ indifferente in questo caso specificare se

la sezione appartiene al tratto NB o BC in quanto entrambi i tratti sono caricati con un

medesimo taglio (cambia solo il segno). Inoltre, in tale sezione il luogo dei punti più sollecitati

si trova ad una distanza di “a/2” dal baricentro della sezione. Dunque:

? = = A . ' @B)

@ )

$)= , #

• (estremo inferiore della sezione y=a/2)

C = = #. % @B)

D∗7

=

$)= ,∗#∗*

• (ovviamente non nello stesso punto di prima

bensì in corrispondenza del baricentro, y=0)

Per quanto riguarda invece i cerchi di Mohr per il punto maggiormente sollecitato si ha:

C =

E F G

= =0

H

? ?

=

0

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

F. Calcolare il coefficiente di sicurezza statico tramite l’ipotesi di cedimento più idonea al

materiale utilizzato.

Il coefficiente di sicurezza può essere calcolato come:

= I

JK

= .

Il termine al numeratore viene fornito dal problema come R . Per quanto riguarda il termine al

p02

JK G ?

denominatore si ha che Dunque:

*= = #. +

*

? 1L

G. Verificare al carico di punta le aste verticali

Il carico di punta viene calcolato come: O P,

#

B = = &!&+A!. . Q

MN #

Tale valore è superiore ai carichi che gravano sulle aste verticali.

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

ESERCIZIO 2

Sia data la trave illustrata; si chiede di:

a) calcolare le reazioni vincolari;

b) determinare le espressioni analitiche delle caratteristiche di sollecitazione e disegnare i

corrispondenti diagrammi;

individuare la sezione più sollecitata.

c)

Su tale sezione, si richiede di:

d) disegnare l’andamento delle tensioni normali σ e delle tensioni tangenziali τ;

e) individuare il punto più sollecitato della sezione e in tale punto calcolare i valori massimi

delle tensioni;

scrivere il tensore delle tensioni nel punto più sollecitato;

f)

g) calcolare le tensioni principali e i cerchi di Mohr nel punto più sollecitato;

h) calcolare il coefficiente di sicurezza secondo l’ipotesi di cedimento più idonea.

i) calcolare lo spostamento verticale del punto C

La risoluzione corretta dei punti da a) a d) è condizione necessaria per la valutazione dei punti successivi.

Dati:

L = 2000 mm

q = 3000 N/m

1

q = 1500 N/m

2

H = 70 mm

h = 60 mm

B = 70 mm

b = 10 mm 4

J = 920833 mm 3

S = 15875 mm

max

Materiale S275 (Rp =275MPa, Rm= 320 MPa)

02

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola …………………

q1 q2 z h H

x

C

A B y

b

y L

L B

RISOLUZIONE ESERCIZIO 2

A. Calcolare le reazioni vincolari

q1 q2 C

A B

V

A V

B

H

A

Imponendo gli equilibri nella direzione verticale, orizzonatale ed al momento si può trovare

che:

R + R − S T − S T = 0−→R = 1500X

F

) Y = 0

↑) S ∗ − R ∗ T + S ∗ T ∗ = 0−→ R = ∗ S + 3S =7500X = R

H

Z

F F

A

B. Determinare le espressioni analitiche delle caratteristiche di sollecitazione e disegnare i

corrispondenti diagrammi

Si definisce prima di tutto le convenzioni di segno che verranno usate per la discussione

di tutti e tre gli stati di sollecitazione:

T +

- M

M

N N

T

Cognome …………………………………………. Nome ………………..……………………….. Matricola ………………&he