Simulazione esame 1 di Fondamenti di meccanica strutturale

D D D

=− I + J 1 + J K =− I + − + J 1 + J K

( (

G* 6 G* 6 6 2 2

(L & L) D

Condizioni al Contorno:

- Spostamenti nulli in A e C (condizione imposta dalla presenza di carrello e cerniera):

1=0 =0 ⇒ J =0 1

(L D D D

⇒ + − + J + J = 0 2

1= =0 6 6 4

L) ( D

- Continuità di freccia e di angolo nel punto di congiunzione dei 2 tratti:

J

D D D D

81 = 9 = 81 = 9 ⇒ + J = + − + +J 3

( ( D

2 2 48 2 48 48 16 2

(L L) &

B 81 = 9 = B 81 = 9 ⇒ + J = + − + J 4

(L L) ( & ( D

Mettendo a sistema le 4 equazioni possiamo ricavare le costanti di integrazione:

= J − ⇒ J = J +

4 J 8 8

& D D &

D D D

2 J = − + − J

4 6 12 D

2

= − + J + J

3 J 24 8

& D D

J = − + J + + − + − 2J −

24 8 8 2 3 6 4

& & &

1 1 1 1 1

2J = N + − + − O=

24 2 3 6 4 8

&

J = 16

& 3

= + =

J 16

16 8

D 3

D D D

= − + − =−

J D

4 6 12 16 48

J

D

Se sostituiamo nella seguente formula, possiamo ricavare l’angolo in uscita dal punto C:

H 1 3

B = 1= =− I− + − + K=

L)

H1 G* 4 2 2 16 16G*

) A :

&

Dunque moltiplicando l’angolo per il tratto di trave a sbalzo troviamo lo spostamento

A = B − = −

16G*

& )

In alternativa, si può procedere più velocemente notando che il tratto AC è una struttura simmetrica

caricata simmetricamente, quindi anche la linea elastica è simmetrica con freccia nella metà della

lunghezza di AC (tangente orizzontale nulla per x=a/2). Per questo motivo si sarebbe potuto studiare

anche solo una metà del tratto AC (ad esempio la metà di sinistra) sottoposta al momento flettente dato,

e poi imporre come condizione al contorno che la rotazione in x=a/2 è nulla. Il vantaggio di questo modo

di procedere consiste nel fatto che non è necessario studiare due linee elastiche e imporre la congruenza

di spostamento trasversale e angolo in x=a/2 tra le due linee elastiche con conseguente grande risparmio

di tempo.

A 3 −

? QRSSR

= B − TUUUUUUV B = =

A )P )P 3G* 3G*

−

A = 3G*

A D Trave incastrata ad un estremo, e soggetta ad un carico F al secondo: caso noto da formulario.

− D

A = 3G*

D

Dunque: − − −

D D

A = B + B − + =Y + Z − + =

)P 3G* 16G* 3G* 3G*

WXW )

1 500 ∙ 1250 1500 750 ∙ 1250 1500 750 D

= Y + Z 750 + = 40,37 ==

200000 ∙ 74191,8 16 3 3

ESERCIZIO 2

Il componente in figura è costituito da una trave a sbalzo a sezione circolare incastrata ad un estremo

(acciaio S235: E=210000 MPa, G=78000 MPa) e da un braccio rigido collegato alla trave alla cui estremità

libera è applicato un carico trasversale di valore N.

F=500

a) Disegnare e commentare le caratteristiche di sollecitazione,

b) Date le dimensioni geometriche riportate in figura, dimensionare il diametro minimo della trave

D

affinché sia garantito un coefficiente di sicurezza CS=4 rispetto allo snervamento del materiale.

c) Disegnare lo stato di sollecitazione sul cubetto infinitesimo di materiale in due punti a scelta fra A o C e B

o D (vedi figura) adottando il sistema di riferimento più opportuno e scrivere il relativo tensore delle

sollecitazioni.

d) Calcolare infine la freccia nel punto di applicazione del carico supponendo che il braccio sia rigido e

F

accettando l’ipotesi di piccole deformazioni.

La risoluzione corretta dei punti da a) a c) è condizione necessaria per la valutazione dei punti successivi.

= 1000mm

l

b=300mm l

F=500N B

l D

A

D=? C

b F G = 210 000 34

\ = 78 000 34

= 500

L ]=4

= 235 34

,

R^

_ = 300 ==

b = 1000 ==

F D

3 = _

?

F

Quello che per il tratto L è un momento torcente, deriva dalla flessione del tratto b:

3 = _ = 500 ∙ 300 = 150 000 == = 150 =

?

Equilibri: ( =

(

3 =

(

C

]

A &

3

( F

Caratteristiche di Sollecitazione:

3

( =0

` +=

+= a56 1 = 0

N ( 3 = −

`

3 + 3 − 1 = 0

] ` ( (

&

3 3 = 1 − 3 = 1 − = a56 1 =

( ` ( (

T 3 = 0

`

=−

Diagrammi di sollecitazione: T F

N +

A C C

A

3

` -FL Fb

3

? +

A

A C

C

⇒ -

Sezione più sollecitata

B \

e e

`

? ?fgh

Punto più sollecitato : B

3 d

`

\ = ∙

`b(c * 2

b

e = ∙

b(c i

?fgh jk

In cui:

d d

*= * =

64 32

k 32

64d

\ = =

`b(c d d

2 D

_ 32d 16 _

e = =

b(c d 2 d

?fgh D ,

m\

\ = + 3e no 3p]5] *onEq65: \ = R^

`b(c b(c ]

Rl Rl

?fgh

Eguagliando le 2 espressioni troviamo:

32 16 _ , 32 16 _ ,

rN O + 3 N O = ⇒ N O + 3 N O = N O

R^ R^

d d ] d d ]

D D D D

+ 768 _ ∙ 500 ∙ 1000 + 768 ∙ 500 ∙ 300

32 ] 32 4

=r

s

d=r

s

⇒ ∙N O ∙N O =

, 235

R^

m ' ∙& t&u, ∙&

= ∙8 9 = 44,7 ==

s v D'

D +65]J ,

Se avessimo adoperato avremmo ottenuto:

m\

\ = + 4e → d = 44,9 ==

b(c

`b(c

Rl ?fgh (Criterio leggermente più conservativo)

z d

- x

y 3

? e

e

4{oqn z: |}

32 32 ∙ 500 ∙ 1000

\ = = = 57,02 34 \

`b(c d ∙ 44,7 ||

D D \ = \ \ \

€ |}

16 _ 16 ∙ 500 ∙ 300

= = = 8,55 34 e

e b(c d ∙ 44,7 |}

?fgh D D \ e 0

|| |}

~\• = e 0 0

|}

0 0 0

d:

Punto e

|}

\ = 0

`

e = e = 8,55 34 e

b(c

?fgh |€

?fgh

4 + 4 500 \ = \

e = = = 0,42 34 e

b(c }

3 - 3 1569,3 |€

? •S‚f d ∙ 44,7

-= = = 1567,3 ==

4 4

+= = 500 0 0 e

|€

~\• 0 0 0

= 0 0

e

|€

4{oqn -: 4{oqn y:

\ = 0 \ = 0

` `

e = 0 e = 0

?fgh ?fgh

4 + 4 +

e = = 0,42 34 e e = = 0,42 34 e

b(c b(c

3 - 3 -

|€ |€

? •S‚f ? •S‚f

Identico a D Identico a D

Freccia in D: Per calcolarla applichiamo la Sovrapposizione degli Effetti.

3

? F

+ A

),

ƒ A ,& A ,

I : 3 ∙ ∙_∙ 500 ∙ 300 ∙ 1000

ƒ= = = = 4,91 ∙ 10 6 H = 0,281 H5…

? $D

„ ∙ * „ ∙ * 78000 ∙ 3,919 ∙ 10

'

k k