Esame 4 Fondamenti di meccanica strutturale

≤ ≤ + =

+ ∙ =

{ =

+ ∙ + ∙ =− =− =

=− ∙ { − ∙ =− =

− ∙ =− ∙ �� =

=− ∙ − ∙ { �

− ∙ − ∙ =− ∙ �� =

{ ≤ ≤ −� =

+ =

{ − ∙ + = =� =

=− =−

{ − =− ∙ �� =

= ∙ − { ∙ − =− ∙ �� = l’i ast o D.

Dal diagramma di momento flettente risulta che la sezione più sollecitata è

GEOMETRIA DELLA SEZIONE

Essendo la sezione simmetrica rispetto agli assi e il suo baricentro si trova nel centro di simmetria e gli

y z,

assi e sono

y z principali di inerzia.

�= ∙ ∙ + ℎ− ∙ ∙ = + = ��

ℎ

⁄ −

ℎ

ℎ

∗ ∗ )∙

)+(

∙( − − ∙ =

= = ∙

=

,� = + , = , ��

ℎ− ∙ ∙

∙ ℎ ) ]+

∙[ ∙(

= + ∙ − =

= + + = ��

PUNTO PIÙ SOLLECITATO DELLA SEZIONE E COEFFICIENTE DI SICUREZZA

Nella sezione D le caratteristiche di sollecitazione sono:

=

= ∙ ��

=−

� = − ∙

� ℎ

ℎ − ≤ ≤

∗

∙ ={

� = , ℎ

∙ ≤ ≤ −

ℎ

ℎ )=

( + ∙ = , + =

� =� =−

,� � ∗

∙ ,�

= =

� =� = ,

,� ∙

l’effetto del

Trascurando quindi taglio (di due ordini di grandezza inferiore rispetto alle tensioni di momento

ℎ

=−

flettente), il punto più sollecitato risulta per :

� =� =

,� ℎ )=

( =−

� =�

Dato quindi il tensore delle tensioni:

[�] = [ ]

Risulta che la tensione equivalente è la stessa sia per il criterio di Tresca che per quello di Von Mises

(cedimento di materiale duttile), ed è pari a:

� = � =

,�

Si ricava il coefficiente di sicurezza:

�

�. . = = = ,

|

|�

FRECCIA NEL PUNTO C

Ai fini del calcolo dello spostamento orizzontale del punto C, il sistema risulta essere equivalente alla

sovrapposizione di due casi: ⁄

( )∙

∙ + ∙

= ∙ ∙

∙

= ∙ ∙

∙ ∙ ∙

��� [ ]=

= + = + +

∙ ∙ ∙ ∙ ]=

∙[ , ��

= + +

∙ ∙

ESERCIZIO 2

Si consideri la struttura in figura, con sezione circolare cava di diametro esterno D e diametro interno D .

e i

Tale struttura è sollecitata dalla forza F come indicato in figura.

Dati: L = 100 mm D = 35 mm R = 450 MPa

1 e eH

L = 300 mm D = 25 mm R = 570 MPa

2 i m

L = 100 mm F = 2000 N E = 210 GPa

3 y

L

3 x

L

2

z L

1

F

Si richiede di:

a) Disegnare l’andamento qualitativo delle tensioni agenti nella sezione più sollecitata della struttura.

b) Individuare il punto maggiormente sollecitato della sezione e calcolare i valori delle tensioni presenti.

Relativamente al punto più sollecitato della struttura:

c) Disegnare le tensioni mediante rappresentazione di un elemento di volume infinitesimo nell’intorno del

punto nel sistema (x, y, z) e scrivere il relativo tensore delle tensioni.

d) Disegnare i cerchi di Mohr.

e) Calcolare le tensioni principali con metodo grafico dai cerchi di Mohr.

La risoluzione corretta dei punti da a) a c) è condizione necessaria per la valutazione dei punti successivi.

ESERCIZIO 2

Dati:

L1=L3=100 mm

L2=300 mm

De=35 mm

Di=25 mm

F=2000 N

Reh=450 Mpa

Rm=570 Mpa

E=210 Gpa

a)ANDAMENTO DELLE TENSIONI

Uso i momenti di trasporto per sapere qual è la sezione più sollecitata.

L’incastro deve opporsi a F,Mz e Mx +Mx .

1 2

Mz=F*L2= 600 000 Nmm

Mx =Mx =F*L1= 200 000 Nmm (perché L1=L3)

1 2

Per le reazioni vincolari, utili al calcolo delle sollecitazioni, mi sposto nel tratto L1 della trave utilizzando più

viste su piani e calcolo poi il momento flettente ed il taglio su L1:

Mf=-( Mx +Mx )= -400 000 Nmm se z=0

1 2

N=0

T=F

Mf= -( Mx +Mx )+F*z Mf=-( Mx +Mx ) + F*L1= -200 000 Nmm se z=L1

1 2 1 2

Per la sollecitazione dovuta al momento torcente Mz:

vista su piano xz

F Mz

Mt=Mz costante sul tratto L1

Le tensioni nell’incastro sono quindi:

T=F

Mf= -( Mx +Mx )= -400 000 Nmm

1 2

Mt=Mz= 600 000 Nmm

b) A è il punto più sollecitato della sezione

4 4 4

Ix= π*(De -Di )/64= 54 487 mm

4

Ip= 2*Ix= 108 974 mm

Vi sono σ massima dovuta a Mf e τ massima dovuta a Mt :

∗

∗

σ = = 128,47 MPa

A ∗

∗

τ = = 96,35 MPa

A 0 0 96

0 0 0

c)TENSORE 96 0 128