Elaborato Minitab - Indagine sclerometrica

I metodi utilizzati per l’analisi descrittiva sono:

▪ Frequenze, distribuzioni e tabulazioni: strumenti statistici che vengono utilizzati per

esaminare il conteggio delle occorrenze di valori all’interno di un intervallo.

▪ Tendenza centrale, media, mediana e moda dei dati: strumenti statistici che permettono di

riepilogare i dati in un singolo valore tipico o rappresentativo di tutti i valori nel set di dati

analizzato.

▪ Intervallo, quartili, varianza o deviazione standard: ci mostrano quanto sono sparsi i valori e

quanto essi differiscono dal valore medio.

I principali metodi utilizzati per l’analisi inferenziale sono

▪ ANOVA a una via: è un metodo statistico per testare le differenze tra le medie di tre o più

gruppi.

▪ Procedura di Tukey‐Cramer: quando nell’ANOVA si rifiuta l’ipotesi nulla, ci sono almeno due

medie significativamente diverse tra loro e la procedura consente di effettuare

simultaneamente confronti a due a due tra tutti i gruppi;

▪ Analisi dei residui: lo strumento diagnostico principale per controllare l’adeguatezza del

modello adottato e per evidenziare scostamenti dalle ipotesi di normalità, indipendenza ed

omogeneità delle varianze.

2. Analisi descrittiva

Sono state eseguite 30 prove per lato e il dataset contiene i risultati di 3 delle 10 battute

sclerometriche previste da normativa eseguite sulle due colonne dell'edificio.

Tab-1: Misure descrittive per la variabile lato

Variable Lato Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median Q3 Maximum

Durezza dx 29,000 3,085 9,517 10,64 22,000 35,000

sx 9,65 25,000 28,000 30,000 32,000 37,000

Variable Lato Range IQR Mode N for Mode

Durezza dx 28 7

sx 12,000 4,000 30 7

Dal confronto tra le misure della media e della moda tra lato destro e lato sinistro si nota che

sia la media che la moda del lato sx sono caratterizzate da durezza maggiore, la colonna di sx

ha quindi una maggior resistenza all’abrasione rispetto alla colonna di destra.

La media e la moda sono rispettivamente per il lato destro pari a 29,000 e 28 e per il lato

sinistro 30,100 e 30.

La variabilità delle misure della durezza è maggiore per il lato destro, ciò si può vedere dai

valori del range, dal coefficiente di variazione e dalla deviazione standard, maggiori in tutti e

tre i casi per il lato destro. Per il lato destro il 25% dei valori è inferiore a 27,500, il 50% è

inferiore a 29,500 e il 75% a 31,250. Mentre per il lato sinistro il 25% dei valori è inferiore a

28,000, il 50% è inferiore 30,000 e il 75% a 32,000. Da un’analisi più approfondita per

entrambi i lati possiamo notare (Fig.1):

▪ Per il lato destro abbiamo una distribuzione tendenzialmente non uniforme per la prima e la

terza battuta con modalità unimodale ed una distribuzione asimmetrica a sinistra e a forma di

J-shaped per la prima battuta, mentre per la seconda battuta abbiamo una distribuzione

tendenzialmente uniforme nella quale utilizzeremo i quartili per ottenere più informazioni.

▪ Per il lato sinistro abbiamo una distribuzione tendenzialmente non uniforme per tutte le

battute. In particolare, per la terza battuta, abbiamo una distribuzione a forma di J-shaped

invece per la seconda si ha una distribuzione tendenzialmente simmetrica (valori centrali più

frequenti).

Fig-1: Istogramma della Durezza

Tab-2: Misure descrittive per le variabili durezza e battuta

Variable Durezza Total Count CumN Percent CumPct

Durezza 22 1 1 1,6667 1,667

24 2 3 3,3333 5,000

25 2 5 3,3333 8,333

26 5 10 8,3333 16,667

27 2 12 3,3333 20,000

28 12 24 20,0000

40,000

29 3 27 5,0000 45,000

30 13 40 21,6667

66,667

31 4 44 6,6667 73,333

32 9 53 15,0000

88,333

33 1 54 1,6667 90,000

34 2 56 3,3333 93,333

35 2 58 3,3333 96,667

36 1 59 1,6667 98,333

37 1 60 1,6667

100,000

Total CumN Percent

Variable Battuta Count CumPct

Battuta 1 20 20 33,3333 33,333

2 20 40 33,3333 66,667

3 20 60 33,3333 100,000

Dalla Tab.2 vediamo le frequenze assolute e percentuali sia semplici che cumulate sia per i

valori di Durezza che per le Battute, che ci permettono l’interpretazione della funzione di

ripartizione empirica per la variabile durezza. Circa il 60% delle battute effettuate sono inferiori

o uguali a 30, e che già il 90% dei valori è inferiore a 33. In particolar modo si nota una

maggiore resistenza per il lato destro nella seconda battuta rispetto al lato sinistro (fig-2).

Fig-2: funzione di ripartizione empirica per la variabile durezza

più valori medi utilizzati:

▪ Media aritmetica

▪ Mediana, quartili

▪ Moda

Tab-3: Misure descrittive per la variabile durezza

Results for Lato = dx

Variable Battuta N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum

Durezza 1 10 0 30,500 0,898 2,838 26,000 28,000 30,500 32,500 35,000

2 10 0 27,500 1,170 3,690 22,000 24,000 27,000 30,500 33,000

3 10 0 29,000 0,632 2,000 25,000 28,000 29,000 30,250 32,000

Results for Lato = sx

Variable Battuta N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum

Durezza 1 10 0 30,000 1,150 3,620 25,000 27,750 29,500 32,000 37,000

2 10 0 30,500 0,946 2,991 26,000 28,500 30,000 32,500 36,000

3 10 0 29,800 0,696 2,201 26,000 28,000 30,000 32,000 32,000

▪ Per il lato destro, i valori di durezza della prima battuta sono per il 25% inferiori a 28,000 per

il 50% a 30,500 e per il 75% a 32,500. Per la seconda battuta il 25% dei valori è inferiori a

24,000 per il 50% a 27,000 e per il 75% a 30,500. Per la terza battuta il 25% dei valori è

inferiori a 28,000 per il 50% a 29,000 e per il 75% a 30,250.

▪ Per il lato sinistro, i valori di durezza della prima battuta sono per il 25% inferiori a 27,750 per

il 50% a 29,500 e per il 75% a 32,000. Per la seconda battuta il 25% dei valori è inferiori a

28,500 per il 50% a

30,000 e per il 75% a 32,500. Per la terza battuta il 25% dei valori è inferiori a 28,000 per il

50% a 30,000 e per il 75% a 32,000.

Fig-3: Boxplot della Durezza

Notiamo che la variabilità è massima per la seconda battuta sul lato destro ed è proprio per

questo motivo che siamo in presenza di una distribuzione uniforme. Mentre la variabilità è

minima per la terza e la prima battuta sul lato destro.

3. Analisi inferenziale

Procediamo l’indagine con la realizzazione dell’ANOVA ad una via per lo studio della relazione

tra la variabile durezza e la variabile lato, fissando il livello di significatività α pari al 95%. Tab-

4: ANOVA ad una via per le variabili durezza e lato

Method

Null hypothesis All means are equal

Alternative Not all means are

hypothesis equal

Significance level α = 0,05

Equal variances were assumed for the analysis.

Factor Information

Factor Levels Values

Lato 2 dx; sx

Analysis of Variance

Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value

Lato 1 18,15 18,150 2,02 0,160

Error 58 520,70 8,978

Total 59 538,85

Model Summary

S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred)

2,99626 3,37% 1,70% 0,00%

Means

Lato N Mean StDev 95% CI dx

30 29,000 3,085 (27,905;

30,095)

sx 30 30,100 2,905 (29,005;

31,195)

Pooled StDev = 2,99626

Il test dell’ANOVA non è risultato statisticamente significativo poiché per il test di Fisher

abbiamo ottenuto il valore osservato della statistica F=2.02 strettamente minore del valore

critico Fu. In questo caso possiamo notare dalla tabella “Analysis of Variance” che il p-value,

cioè la probabilità di osservare un valore di F maggiore o uguale a quello osservato, nel caso

l’ipotesi nulla sia vera, calcolato è pari a 0.160 e si tratta di un valore maggiore di α pari a 0.05.

Sapendo che l’ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie dei gruppi deve essere rifiutata quando

il p‐value è inferiore al livello di significatività scelto, possiamo affermare che le medie dei

valori di durezza per entrambi i lati sono statisticamente simili per l’intervallo di confidenza α.

Tab-5: Procedura di Tukey-Cramer Tukey Pairwise Comparisons Grouping Information Using the

Tukey Method and 95% Confidence

Lato N Mean Grouping

sx 30 30,100 A dx 30

29,000 A

Means that do not share a letter are significantly different.

Tukey Simultaneous Tests for Differences of Means

Difference Difference SE of Adjusted

of Levels of Means Difference 95% CI T-Value P-Value

sx - dx 1,100 0,774 (-0,449; 1,42 0,160

2,649)

Individual confidence level = 95,00%

Per avere un ulteriore conferma ed attendibilità dei risultati ottenuti abbiamo applicato la

procedura di Tukey-Cramer in modo da confrontare la differenza fra le due medie, anche se

normalmente viene applicata quando si rifiuta l’ipotesi nulla.

Fig-4: Intervalli di confidenza simultanei di Tukey-Cramer

Possiamo notare che l’intervallo dato dal range critico rispetto alla differenza fra medie

comprende il valore 0 perciò le medie sono statisticamente uguali(Fig-4). Per concludere

lo studio dell’ANOVA passiamo all’analisi dei residui.

Fig-5: Grafici dei residui

Per ognuno di questi grafici possiamo fare alcune considerazioni (Fig-5):

▪ Per il “Normal Probability Plot” si nota che i punti tendono ad allinearsi lungo la retta

confermando quindi l’ipotesi di normalità per la distribuzione delle osservazioni;

▪ Per il grafico “Residual versus Fits” si nota che i residui si dispongono in modo casuale

sopra e sotto lo zero, questo conferma l’ipotesi di omogeneità delle varianze;

▪ Nell’istogramma con le frequenze dei residui si può vedere che la distribuzione degli errori è

normale, questo conferma la condizione di normalità;

▪ Per il grafico “Residual versus Order” per l’ordine temporale delle osservazioni i punti

sono distribuiti in maniera casuale sopra e sotto lo zero. Perciò questo porta a confermare

l’ipotesi di indipendenza degli errori.

Dall’osservazione dei grafici dei residui abbiamo verificato la non violazione delle ipotesi di

normalità, omogeneità delle varianze, casualità e indipendenza delle osservazioni.

4. Conclusioni

L’indagine sclerometrica effettuata sulla colonna di destra e sulla colonna di sinistra, ci ha

portato allo studio della relazione tra il carico di rottura a compressione e la durezza

superficiale del calcestruzzo. I principali metodi utilizzati per l’analisi descrittiva e

inferenziale portano a determinare che le misure effettuate possono essere accettate

dato che non ci sono differenze statisticamente significative per l’intervallo di confidenza

α scelto. Questa conclusione è relativa ad un dataset che è ritenuto incompleto secondo

la normativa vigente poiché dovrebbero essere eseguite e prese in esame 10 battute

sclero