5 eserci su funzioni integrali

3. Trovare dominio e studiare continuità e derivabilità della funzione

;

trovare il polinomio di Taylor di 2° grado di F(x) con centro in -1 .

3 3

,

F(x) è funzione composta da z = x e da cioè F(x) = s (x ) ; la

funzione integranda di s(z) è continua e derivabile in R quindi s(z) è continua e derivabile in R con

3

derivata uguale a che è continua e derivabile in R; x è continua e derivabile con con-

tinuità infinite volte in R, quindi F(x) è definita, continua e derivabile in R.

In base alla regola di derivazione delle funzioni composte e alle proprietà delle funzioni integrali,

risulta: .

Il polinomio di Taylor richiesto è uguale a ed es-

.

sendo F(-1) = 0 , F’(-1) = 6e , F’’(-1) = - 57e , il polinomio è

4. Trovare dominio e studiare continuità e derivabilità della funzione

l’equazione della retta tangente al suo grafico nel suo punto d’ascissa

e trovare 1 .

Conviene scrivere, grazie a una proprietà degli integrali definiti e al fatto che la funzione integran-

da è definita su tutto R, e, grazie alla proprietà

già utilizzata nell’esercizio 2), .

G è quindi somma di due funzioni, ciascuna delle quali e composta dalla funzione che ora compa-re

come secondo estremo d’integrazione, e da una funzione integrale con la stessa integranda che è

essendo l’integranda definita e continua in tutto R ed essendo le

(definita su tutto R !) ;

x –

funzioni Sh( x - 1) ed (e e) continue e derivabili in tutto R, si ha che la funzione G è definita,

continua e derivabile in tutto R .

Si ha e, in base alle regole di derivazione e alle proprietà delle fun-

zioni integrali, risulta: