Appunti Modelli matematici

Z Z

2 2 2 2

+ = + =

x y dx dy x y dy dx

Ω 0 0 Ω

x 1

1

1

4 1

1

1 Z

Z 3 3 4

2 = =

=

= + dx

y x dx x .

x y O x

1

3 3 3 3

0

0 0 0

Z y

2

2) Consideriamo l’integrale − dove

x x e dx dy,

Ω 2

Ω = (x, ∈ : 1 ≤ ≤ 2, −1 ≤ ≤ 3

y) x y .

R

L’insieme Ω è sia che in-

x-semplice y-semplice,

fatti è un rettangolo con lati paralleli agli assi y

coordinati. Si ha che 3

Z Z Z

y y

2 2

− = =

x x e dx dy x dx dy− x e dx dy

Ω Ω Ω

essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli Ω

assi coordinati e le funzioni integrande prodotto

di una funzione di e di una funzione di si

x y O x

1 2

ottiene −1

2 3 2 3

Z Z Z Z

y

2

= 1 − =

x dx dy x dx e dy

1 1

−1 −1

2 2

1 1 28 3

3

i

h y 3

3 2

−1

=4 − = −

−

e e e .

x x

3 2 3 2

−1

1 1 Z

3) Consideriamo l’integrale dove

xy dx dy,

Ω √

2 2

Ω = (x, ∈ : ≤ ≤

y) x y x .

R c 2019 Sergio Lancelotti

3

L’insieme Ω è Infatti, si ha che

y-semplice. √

2 2

Ω = (x, ∈ : 0 ≤ ≤ 1, ≤ ≤ y

x

y) x x y .

R 1

Quindi si ha che √ #

"Z x

1

Z Z Ω

=

= xy dy dx

xy dx dy 2

x

Ω 0 O x

1

√ x 1

1 1

1

1 1

1

1 1

Z Z

2 2 5 3 6

=

= =

− = −

dx

xy x x dx x x .

2 2 2 3 6 12

0 0

2

x 0

Z

4) Consideriamo l’integrale (x + dove

y) dx dy,

Ω 2 2 2

Ω = (x, ∈ : + ≤ 1, 0 ≤ ≤

y) x y y x .

R

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo

quindi y

= cos

x ρ ϑ

Φ: ≥ 0, 0 ≤ ≤ 2π, |det (ρ, =

ρ ϑ J ϑ)| ρ. √

Φ 2

= sin

y ρ ϑ, 2 2 2

+ = 1

y

x

x

=

Allora y Ω

( 0 ≤ ≤ 1

ρ

(x, ∈ Ω ⇐⇒

y) π

0 ≤ ≤

ϑ .

4 O x

1

√

2

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove

′ 2

π o

n 2

′

Ω = (ρ, ∈ : 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ .

ϑ) ρ ϑ

R 4

Ne segue che Z Z 2

(x + = (cos + sin =

y) dx dy ρ ϑ ϑ) dρ dϑ

′

Ω Ω

essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda prodotto di una

′ ρ ϑ

funzione di e di una funzione di si ottiene

ρ ϑ !

π 1

1 π

Z 1

1

Z 4 h i 4

3

2 =

sin − cos

= (cos + sin = ϑ ϑ

ρ .

ρ dρ ϑ ϑ) dϑ 3 3

0

0 0 0

c 2019 Sergio Lancelotti

4 Z

5) Consideriamo l’integrale dove

xy dx dy,

Ω 2 2 2

Ω = (x, ∈ : 1 ≤ + ≤ 4, ≥ 0, ≥ 0

y) x y x y .

R

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo y

quindi = cos

x ρ ϑ

Φ: ≥ 0, 0 ≤ ≤ 2π, |det (ρ, =

ρ ϑ J ϑ)| ρ. 2

Φ

= sin

y ρ ϑ, 2 2

x y

+ = 4

Allora Ω

( 1 ≤ ≤ 2

ρ 1

(x, ∈ Ω ⇐⇒

y) π

0 ≤ ≤ .

ϑ 2 2 2

x y

+ = 1

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove

′ O x

1 2

π

n o

2

′

Ω = (ρ, ∈ : 1 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤

ϑ) ρ ϑ .

R 2

Ne segue che Z Z 3

= cos sin =

xy dx dy ρ ϑ ϑ dρ dϑ

′

Ω Ω

essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda prodotto di una

′ ρ ϑ

funzione di e di una funzione di si ottiene

ρ ϑ π

!

π 2

2

Z

15

1 1

Z 2

2

3 4 2

= cos sin = =

sin

ϑ ϑ dϑ

ρ dρ ρ ϑ .

4 2 8

0

1 0

1

Z

6) Consideriamo l’integrale 8xy dove

dx dy,

Ω 2 2 2

Ω = (x, ∈ : + ≤ 4, 0 ≤ ≤ + 2

y) x y x y .

R c 2019 Sergio Lancelotti

5

y

L’insieme Ω è Infatti, si ha che

y-semplice. √

n o

2 2

Ω = (x, ∈ : 0 ≤ ≤ 2, − 2 ≤ ≤ 4 −

y) x x y x .

R 2

Quindi si ha che Ω

√ #

"Z 2

4−x

2

Z Z

8xy = 8 =

dx dy xy dy dx O x

2

x−2

Ω 0

√ 2

4−x 2

2

1 Z

Z 2 3

2

= 8 2x − =

=8 dx x dx

xy −2

2 0

0 x−2 2

32

2 1

3 4 =

= 8 −

x x .

3 4 3

0

Z 2

7) Consideriamo l’integrale dove

xy dx dy,

Ω 2 2 2

Ω = (x, ∈ : + ≤ 1, ≤ + 1

y) x y y x .

R

Osserviamo che Ω = Ω ∪ Ω , dove

1 2

2 2 2 2 2 2

Ω = (x, ∈ : + ≤ 1, ≤ 0 Ω = (x, ∈ : + ≤ 1, 0 ≤ ≤ + 1

y) x y y , y) x y y x .

R R

1 2

y y

1 1 Ω

Ω 2

−1 −1

O x O x

1 1

Ω

1

−1 −1

Poiché ∩ Ω ) = 0, si ha che

m(Ω

1 2 Z

Z Z 2

2

2 +

= xy dx dy.

xy dx dy

xy dx dy Ω

Ω Ω 2

1

c 2019 Sergio Lancelotti

6 2

L’insieme Ω è simmetrico rispetto all’asse e la funzione integranda (x, = è dispari rispetto

y f y) xy

1

alla variabile Infatti,

x. 2 2

(x, ∈ Ω =⇒ + ≤ 1, ≤ 0

y) x y y

1

e 2 2 2 2

(−x) + = + ≤ 1, ≤ 0 =⇒ (−x, ∈ Ω

y x y y y) ,

1

2 2

(−x, = (−x)y = −xy = −f (x,

f y) y).

Z 2 = 0.

Quindi xy dx dy

Ω 1

Invece l’insieme Ω è Infatti, si ha che

x-semplice.

2 o

n p

2 2

Ω = (x, ∈ : 0 ≤ ≤ 1, − 1 ≤ ≤ 1 − .

y) y y x y

R

Quindi si ha che √

√

"Z # 2

1−y

2

1 1−y 1

1

Z

Z Z 2 2

2 2

= = =

x y

xy dx dy xy dx dy dy

2

y−1

Ω 0 0 y−1

2 1

1 1

1 1

Z 3 4 4 5

= =

− = −

y y dy y y .

4 5 20

0 0

In conclusione 1

Z

Z Z 2

2

2 =

+

= .

xy dx dy

xy dx dy

xy dx dy 20

Ω

Ω Ω 2

1

Z

8) Consideriamo l’integrale 2x dove

dx dy,

Ω 2

Ω = (x, ∈ : 1 ≤ + ≤ 1, ≥ 0, ≥ 0

y) x y x y .

R

Osserviamo che Ω = \ dove

A B,

2 2

= (x, ∈ : 0 ≤ + ≤ 2, ≥ 0, ≥ 0 = (x, ∈ : 0 ≤ ≤ 2 − 0 ≤ ≤ 2

A y) x y x y y) y x, x ,

R R

2 2

= (x, ∈ : 0 ≤ + 1, ≥ 0, ≥ 0 = (x, ∈ : 0 ≤ 1 − 0 ≤ 1

B y) x y < x y y) y < x, x < .

R R c 2019 Sergio Lancelotti

7

y y y

2 2

1 1

Ω A B

O x O x O x

1 2 2 1

Quindi Z Z Z

2x = 2x − 2x =

dx dy dx dy dx dy

A B

Ω

essendo e insiemi si ottiene

A B y-semplici

2 2−x 1 1−x 1

2 1

Z Z

Z Z Z

Z Z

2−x 1−x

h i h i

=2 − 2 − 2

= 2 =

x dy dx dx

x dy dx dx

xy xy

0 0

0 0 0 0 0

0 0

2 1 7

1 1

1

Z Z 2 1

h

i i

h 3 2 3

2 2 2

− 2 =

−

=2 2x − − 2 − = 2 − x x x .

x dx x x dx x 3 2 3 3

0 0

0 0

Z 2

9) Consideriamo l’integrale dove

xy dx dy,

Ω 2 2 2

Ω = (x, ∈ : 9x + 4y ≤ 36, ≥ 0

y) x .

R 2 2

x y

L’inseme Ω è l’insieme dei punti del piano compresi fra l’asse e l’ellisse di equazione + = 1.

y 4 9

y

Passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poiché

l’insieme Ω è contenuto nei e quadrante,

I IV

conviene scegliere che la coordinata appartenga

ϑ 3

all’intervallo [−π, Poniamo quindi

π].

= 2ρ cos

x ϑ

Φ: ≥ 0, −π ≤ ≤ |det (ρ, = 6ρ.

ρ ϑ π, J ϑ)|

Φ Ω

= 3ρ sin

y ϑ,

Allora O x

2

( 0 ≤ ≤ 1

ρ

(x, ∈ Ω ⇐⇒

y) π π

− ≤ ≤

ϑ .

2 2

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove

′ −3

π

π o

n 2

′ ≤ ≤

Ω = (ρ, ∈ : 0 ≤ ≤ 1, − .

ϑ

ϑ) ρ

R 2 2

c 2019 Sergio Lancelotti

8 Ne segue che Z Z

2 4 2

= 108ρ cos sin =

xy dx dy ϑ ϑ dρ dϑ

′

Ω Ω

essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda prodotto di una

′ ρ ϑ

funzione di e di una funzione di si ottiene

ρ ϑ π

!

π 1

1

Z 1 72

1

Z 2

2 5 3

4 2 sin =

= 108 cos sin = 108 ρ ϑ .

ρ dρ ϑ ϑ dϑ 5 3 5

π π

0 0

− −

2 2

2

8x

Z

10) Consideriamo l’integrale 1+ dove

dx dy,

2 2

+

x y

Ω 2 2 2 2 2

Ω = (x, ∈ : + ≤ 9, 9x + ≥ 9, −x ≤ ≤ 0

y) x y y y .

R y 1 3

O x

L’inseme Ω è l’insieme dei punti quadrante compresi fra

IV

2

y

2 2 2 Ω

l’ellisse di equazione + = 1, la circonferenza + = 9,

x x y

9

la retta = −x e l’asse

y x.

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

= cos

x ρ ϑ

Φ: ≥ 0, −π ≤ ≤ |det (ρ, =

ρ ϑ π, J ϑ)| ρ.

Φ

= sin

y ρ ϑ, −3

Allora 2 2 ≤ 3

ρ

+ ≤ 9

 

x y 3

 √ ≤ ≤ 3

ρ

 

   2

2

2 2

2 2 2

9 cos + sin

(x, ∈ Ω =⇒ =⇒ 9 cos + sin ≥ 9 =⇒ ϑ &the