Modelli probabilistici per l'ingegneria - Appunti presi a lezione

ENFASI SUGLI ELEMENTI

oppure, con il coefficiente binomiale

=( )

,

Esempio

= {, , , }

Dato

|| = = 4 = 2

con e

Si determinino tutti i modi possibili in cui, prendendo 2 elementi di I,

è possibile ordinare gli elementi.

➢ Per elemento A , , ,

, ,

➢ Per elemento B , , ,

, ,

=

, Giuseppe Carlomagno

36 Cardinalità delle parti di S

ovvero l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di S

Ricordando che:

➢ → ()

Insieme potenza di I o Insieme delle parti

L’insieme potenza è un insieme i cui elementi sono tutti i possibili

sottoinsiemi propri o impropri dell’insieme I.

Esempio

|()| = + + + ⋯ +

( ) ( ) ( ) ( )

! ! ! !

|()| = + + + ⋯+

0! ∙ ! 1! ∙ ! 2! ∙ ! ! ∙ !

cioè

|()| = ( )

= Giuseppe Carlomagno

37 Lezione 6

19/10/2023

Variabili aleatorie

Esistono due classi di variabili aleatorie:

➢ Variabili aleatorie discrete;

➢ Variabili aleatorie continue.

Esempio

Esperimento casuale: Lancio di 3 monete (o lancio di 1 moneta per 3 volte)

È un esperimento composto da 3 esperimenti indipendenti l’uno dall’altro.

Ci si interessa al numero di successi k, ovvero un esito stabilito.

Stabilito il risultato “TESTA” come successo, (k = ”TESTA”)

Si ha che: È possibile costruire una funzione discreta

• =

per

= ( , , ) ∶ → {, , , } in cui si riportano:

1 1 2 3 - Sull’asse delle ascisse,

• =

per - l’insieme dei risultati

= ( , , )

2 1 2 3 dell’esperimento (S);

= ( , , )

3 1 2 3 - Sull’asse delle ordinate,

= ( , , ) i valori associati ad S.

4 1 2 3

• Valori Y

=

per 4

= ( , , )

5 1 2 3

= ( , , ) 3

6 1 2 3

= ( , , ) 2

7 1 2 3 1

• 0

=

per 0 2 4 6 8

1 2 3 4 5 6 7 8

= ( , , )

8 1 2 3 Giuseppe Carlomagno

38 Variabile aleatoria discreta X

Una variabile aleatoria discreta X è una funzione matematica definita in S.

(S è l’insieme dei risultati degli esperimenti)

A ciascun risultato dell’esperimento è associato un valore.

∶ → {, , . . . , }

codominio = insieme dei risultati di X

(La variabile aleatoria X è discreta poiché il codominio è un insieme discreto di valori)

➢

Spazio dei risultati ( ) di X

Si definisce spazio dei risultati un insieme di tutti i valori che può assumere X

{{ }: {, }}

= = ∈ , … ,

(attraverso X è possibile caratterizzare i possibili risultati dell’esperimento).

➢ Funzione di massa di probabilità ( ) di X

(0,1]

è una funzione matematica definita in S, con valori compresi tra

(S è l’insieme dei risultati degli esperimenti)

{, } (, ]

: , … , →

ℎ ρ (X = k)

()

⏟

̂

=

{, }

∀ ∈ , … ,

{{X k}: {0, 3}}

Ω = = k ∈ 1, 2,

Nel nostro caso

Con l’esempio di prima

• =

per , ,

{X 0} {( )}

= → 1 2 3

• =

per

{X = 1}

{( ), ( ), }

→ , , , , ( , , )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

• =

per

{X = 2}

{(

→ , , ), ( , , ), ( , , )}

1 2 3 1 2 3 1 2 3

• =

per , , )

{X 3} {( }

= → 1 2 3 Giuseppe Carlomagno

39

Funzione di massa di probabilità ( )

Probabilità associata alla variabile aleatoria X

È possibile scrivere la probabilità associata alla variabile aleatoria X

con un valore numerico, nel seguente modo:

• =

per

{ } ρ({ })

ρ , ,

( X = 0 ) → 1 2 3

• =

per

ρ{ }

X = 1 → } { }

ρ({ , , ∪ , , ∪ { , , })

1 2 3 1 2 3 1 2 3

• =

per

ρ{ }

X = 2 → } { }

ρ({ , , ∪ , , ∪ { , , })

1 2 3 1 2 3 1 2 3

• =

per

ρ{ } ρ({ })

, ,

X = 3 → 1 2 3

k ( = ) Grafico

numero di successi 1

0 8 3

3

1 8 2

3

2 1

8

1 0

3 8 0 1 2 3 4

1 3 ()

8 8

Giuseppe Carlomagno

40 ➢ Funzione di ripartizione di probabilità ( ) di X

(0,1]

è una funzione matematica definita in S, con valori compresi tra

(S è l’insieme dei risultati degli esperimenti)

{, } (, ]

: , … , →

ℎ ρ (X ≤ k)

()

⏟

̂

=

{, }

∀ ∈ , … ,

è una funzione CUMULATIVA di massa, strettamente crescente.

k Grafico

()

( ≤ )

numero di successi 1

( )

0 8 3

3

1 ( )

2

8 1

3

( )

2 0

8

1 0 2 4 6 8 10

( )

3 8 Colonna2 F X p X

Giuseppe Carlomagno

41

Proprietà di funzione di massa e di ripartizione di probabilità

Avendo definito:

∶ → {, , . . . , }

1. come variabile aleatoria discreta

{, } (, ]

: , … , →

2. ℎ

ρ (X = k)

()

=

{, }

∀ ∈ , … ,

come funzione di massa di probabilità

{, } (, ]

: , … , →

3. ℎ

ρ (X ≤ k)

()

=

{, }

∀ ∈ , … ,

come funzione di ripartizione di probabilità

Valgono le seguenti proprietà:

1. =

( )

=0

Dimostrazione

Essendo che lo spazio dei risultati (Ω) di X è pari a:

{ 0} { 1}

Ω = = ∪ = ∪ … ∪ { = }

Essendo che è l’unione di eventi a 2 a 2 incompatibili, allora

} { } { })

ρ({

ρ(

Ω) = = 0 + = 1 + ⋯ + =

ρ( )

Ω = 1

Ricordando che

allora per il 2° assioma del teorema della probabilità

( ) ( )

= 1 = =

()

=

=

ma sappiamo anche che:

(X k) ( )

ρ = =

per cui:

( ) ( )

= 1 =

=0 Giuseppe Carlomagno

42 2.

() ()

=

= {, }

∈ , … ,

con

Dimostrazione

ρ (X ≤ k)

()

=

X ≤ k

Ma può anche essere scritto come:

{ } { }

X ≤ k = = 0 ∪ = 1 ∪ … ∪ { = }

Essendo che è l’unione di eventi a 2 a 2 incompatibili, allora:

} { } { })

ρ({

ρ (X ≤ k) = = 0 + = 1 + ⋯ + =

quindi, per il 2° assioma del teorema della probabilità

() ( )

= =

= ()

=

ma sappiamo anche che:

(X i) ( )

ρ = =

per cui:

() ()

=

=

3. ()

=

Dimostrazione

ρ(X = 0)

()

=

(X 0) ( )

ρ = =

Cioè

4. {0,

a ∈ 1, … , N}

(a b) ( ) ( )

ρ < X ≤ = − ∀ < , {

{0,

b ∈ 1, … , N}

0 < < <

In particolare,

Dimostrazione (vedi giù, dopo la definizione di funzione di ripartizione complementare)

Giuseppe Carlomagno

43 ̅̅̅̅

➢ Funzione di ripartizione complementare di probabilità ( ) di X

{, }

∈ , … , <

con

Sia

Essendo che lo spazio dei risultati (Ω) di X è pari a:

{X k}

Ω = ≤ ∪ {X > k}

o meglio

{X k}

Ω = ≤ ∪ {X ≥ k + 1}

Eventi incompatibili

Essendo che è l’unione di eventi a 2 a 2 incompatibili, allora avremo che:

( ) ρ(X k) ρ(X 1)

≤ + ≥ k +

=

Ricordando che:

( )

= 1

Si ha che:

ρ(X k) ρ(X 1)

≤ + ≥ k + = 1

̅̅̅̅

() ()

+ =

Per cui, è possibile definire:

̅̅̅̅ {, }

: , … , &