Appello svolto Modelli probabilistici per l'ingegneria - Probabilità e Statistica

C3

Il tasso di guasto di ogni supercalcolatore , = 1, … ,3:

()

ℎ = 0,005 ≔

Si definisce: ≔ = 1, … ,3

Ricaviamo la funzione di distribuzione del tempo di guasto di ciascun calcolatore:

,

∫ ,

() = 1 − =1−

L’a idabilità di un singolo calcolatore è: ,

()

> = 1 − =

RICHIESTA 2

Il primo livello si configura come un sistema 2-out-of-3. Definiamo:

() ≔ 3

,

()~ 3;

L’a idabilità del primo livello della rete a 5 anni dal funzionamento è:

((5) ≥ 2) = 1 − (2)

( )

(5)~(3; 0,9394)

3

(2) (0,9394) (0,06)

= ((5) ≤ 2) =

( )

Per = 0 → 0,000216

Per = 1 → 0,01

Per = 2 → 0,1588 (2)

= 0,169

( )

Quindi: (2)

((5) ≥ 2) = 1 − = 0,831

( )

RICHIESTA 3

Dalla traccia: () ()

ℎ = 0,03√ ℎ = 0,02 ln ()

Il fatto che la rete veloce e la rete locale funzionano se funziona almeno uno dei due

server è una conferma del fatto che le due reti (veloce e locale) sono due sistemi in

parallelo.

Poiché i tre sistemi sono posti in cascata, il sistema complessivo funziona fino a

quando funzionano tutti e tre i sistemi, e quindi:

≔

≔

≔

≔

= { , , }

Per rispondere alla richiesta, si calcola:

≥ 5 = ( ≥ 5, ≥ 5, ≥ 5) = (5) (5) (5)

Calcoliamo (5): (5)

= ( ≥ 5) = ((5) ≥ 2) = 0,831

Calcoliamo: (5)

Ricaviamo: ,

∫ √ ,

() (5)

= 1 − = 1− → = 0,7996

Analogamente: ( )

, ( ( ) )

∫ ,

() (5)

= 1 − = 1− → = 0,9939

Quindi: ≥ 5 = 0,66

RICHIESTA 4

Definiamo: ≔

~()

≔

~()

≔

~()

≔

= + + ~(3; )

CASO GENERALE

Consideriamo un campione di variabili aleatorie iid di erlang.

Costruiamo la funzione di massima verosimiglianza:

() = (; ) = = =

2 2 2

=

2

Consideriamo il logaritmo della funzione di massima verosimiglianza:

() = ln = ln + ln + ln

2 2

) )

() = − ln(2 + 2 ln( −

Si deriva la funzione di massima verosimiglianza logaritmica:

() 3

= + = 0

3 =

3

= ∑

RICHIESTA 5

Vale che: = 102

Quindi: 30

= = 0,2941

102

RICHIESTA 6

Vale che: 60

= 0,25 = → 202,2 + 10 = 240 → = 3,6

202,2 + 10

Si considera per dire che:

≔

~(0,25)

≔

~(0,25)

≔

~(0,25)

≔

= + + ~(3; 0,25)

Calcoliamo: ( , )

= [ ] [ ]

) ) ) )

( , = ( , + + = ( , + ( , + ( , )

Sapendo che i tempi del job sono indipendenti tra di loro:

) )

( , = 0 ( , = 0

Inoltre: 1

) ]

( , = [ = = 16

0,25

Poi: