Appello svolto Modelli probabilistici per l'ingegneria (Probabilità e Statistica)

RICHIESTA 1

Definiamo: ≔

Dal momento in cui si conosce la media di questa variabile aleatoria, varrà che:

~()

Vale che: 1 1

[] = 5 = → = = 0,2

5

Quindi: ~(0,2)

Vale inoltre che: ≔

~()

Vale che, considerato l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione

esponenziale: 1 − = 0,95 → = 0,05

, ; = 0,22 min

2∑

Per il metodo della massima verosimiglianza, la stima del parametro incognito vale:

1

=

Ricaviamo: 16,79

, ;

= = = 38,16

2 ∙ 0,22 0,44

Quindi: ∑

= = 2,54

15

Allora: 1 1

= = = 0,394

2,54

RICHIESTA 2

Si assuma che: ~(0,394)

Definiamo: ≔

Vale che: =+

La variabile è la somma di due esponenziali che non sono identicamente distribuite

quindi: ~(0,2; 0,394)

Calcoliamo il tempo medio della durata di preparazione dell’ordine senza picking:

1 1

[] = [] + [] = + = 7,54

0,2 0,394

Si vuole calcolare: (9,048)

( ≤ 1,2 ∙ 7,54) = ( ≤ 9,048) =

0,394 0,2

, ∙ , , ∙ ,

(9,048)

( ≤ 9) = = 1 − − = 0,697

0,394 − 0,2 0,2 − 0,394

RICHIESTA 3

Definiamo: ≔ = 1, … ,4

Dato che il tasso di completamento di è costante:

~()

ℎ() = = 0,5 =

~(0,5)

Si vuole calcolare: ( > 1, > 1, > 1, > 1)

Dato che le variabili sono variabili aleatorie indipendenti (non è specificato il fatto

che il prelievo di un prodotto influenza il prelievo di un altro prodotto): (1)

( > 1, > 1, > 1, > 1) = ( ≥ 1) = (1) =

,

(1) (1)

= → = 0,14 = ( > 1, > 1, > 1, > 1)

Poi si calcola la probabilità che tutti i componenti vengano prelevati al più in 3 minuti.

Definiamo quindi: = + + + ~(4; 0,5)

Si chiede di determinare: (1,5)

,

(3)

( ≤ 3) = = 1 − ∙ !

1,5 1,5 1,5

, , (4,187)

( ≤ 3) = 1 − 1+ + + = 1− = 0,066

1 2 6

RICHIESTA 4 ≔

≔

)

~( , 1 ~( , 30 )

= 100 = 120

= 12 = 10 = 600

Si esegue un test unilaterale per la di erenza tra medie di due popolazioni normali a

varianze note: : ≤ → : − ≤ 0 : − > 0

Vale che: = 0,01

La regione di rifiuto è: 3600 600

− > +

, 100 120

Calcoliamo: → > = 0,01 → = 0,99 → = 2,33

, , , ,

Quindi: 3600 600

− > + = {−120 > 14,91}

, 100 120

Si accetta

RICHIESTA 5