Appello svolto - Modelli probabilistici per l'ingegneria (Probabilità e Statistica)

RICHIESTA 1

Dobbiamo ricavare i parametri e della retta di regressione; iniziamo da

= = ( − ) = ( − ) = ( − ) ( − )

Iniziamo a scrivere la tabella con e

:

20 30

80 95

85 100

90 105

120 145

150 200

250 280

300 340

320 380

450 500

Vale inoltre che: 1 1

= 10 ̅ = = 186,5 = = 217,5

10 10

Quindi: ( ) ( )

( − ̅ ) ( − ) ( − ̅ )( − )

− ̅ −

20 30 -166,5 27722,25 -187,5 35156,25 31218,75

80 95 -106,5 11342,25 -122,5 15006,25 13046,25

85 100 -101,5 10302,25 -117,5 13806,25 11926,25

90 105 -96,5 9312,25 -112,5 12656,25 10856,25

120 145 -66,5 4422,25 -72,5 5256,25 4821,25

150 200 -36,5 1332,25 -17,5 306,25 638,75

250 280 63,5 4032,25 62,5 3906,25 3968,75

300 340 113,5 12882,25 122,5 15006,25 13903,75

320 380 133,5 17822,25 162,5 26406,25 21693,75

450 500 263,5 69432,25 282,5 79806,25 74438,75

168602,5

207312,5

186512,5

186512,5

= = 1,1062

168602,5

Calcoliamo poi: = − ̅ = 11,18882

La retta di regressione sarà: = 11,18882 + 1,1062

= 100

= 121,8

L’intervallo di confidenza richiesto sarà:

∈ − ; +

, ,

( (

− 2) − 2)

Si ricavano i valori necessari:

1 − = 0,95 → = 0,05 → = 0,025

2

−2=8

= 1,1062

= 987,5

= 168602,5

= 2,306

, ;

Quindi:

− = 1,043

, ( − 2)

+ = 1,1686

, ( − 2)

Allora: [1,043;

∈ 1,1686]

RICHIESTA 2

Bisogna eseguire un test d’ipotesi bilaterale sulla pendenza nulla della retta di

regressione. Quindi: : = 0 : ≠ 0

Si sa che: ( − 2)

: > ,

= 3,335

, ;

Verifichiamo: 40,88 > 3,335 →

Si rifiuta l’ipotesi

Se avessimo voluto verificare il test con il p-value

= > 40,88

/ ,

Se si procede nella riga in corrispondenza degli 8 gradi di libertà, il valore 40,88

nemmeno si trova, ma si arriva ad un massimo di 5 circa e in corrispondenza di 5 si ha

una probabilità (area a destra della realizzazione) di 0,0005 e quindi un valore

estremamente piccolo.

Il p-value sarà un valore infinitesimo e quindi si tende a rifiutare l’ipotesi

RICHIESTA 3

Si consideri: ≔

~()

Su un campione vale che la media campionaria è:

{ }, = 1, … ,15 ̅ = 57

Bisogna quindi calcolare l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione

esponenziale. Partiamo dal calcolo dell’intervallo di confidenza per il parametro della

popolazione esponenziale. Vale che:

, ,

≤≤ = 1−

2∑ 2∑

Dai dati: 1 − = 0,99 → = 0,01

= 15 → 2 = 30

2 = 2 ∙ 57 = 1710

= = 10,8040

, ;

,

= = 53,6719

, ;

,

Quindi: [0,006318 ≤ ≤ 0,03138]

1 1 1

]

≤ = [ ≤

0,03138 0,006318

1 ∈ [31,86; 158,2779]

RICHIESTA 4

Si deve assumere che: 1

~ = 0,03

31,86

[] = 31,86

Si vuole calcolare: (60)

(45 ≤ ≤ 60) − (45)

( ≤ 60| > 45) = =

( > 45) 1 − (45)

, ∙

(60)

= 1 − = 0,8347

(45)

= 0,74

Quindi: 0,0947

( ≤ 60| > 45) = = 0,3642

0,26

RICHIESTA 5

Definiamo: ≔

≔

≔

Vale che: , , ~(8; 2,24 )

Si vuole calcolare: [( (6)

( ≤ 6, ≤ 6, ≤ 6) = ≤ 6)] =

Standardizziamo: −8

= → = 2,24 + 8

2,24

( ≤ 6, ≤ 6, ≤ 6) = 3(2,24 + 8 ≤ 6) = 3( ≤ −0,8929)

( ≤ −0,8929) = ( ≥ 0,8929) = 1 − (0,8929)

(0,8929)

= 0,8133

(1

( ≤ 6, ≤ 6, ≤ 6) = − 0,8133) = 0,0065