Appello svolto Modelli probabilistici per l'ingegneria - Probabilità e Statistica

TRACCIA 7 SVOLTA IN AUTONOMIA: APPELLO DEL 19/06/2023

RICHIESTA 1

Definiamo: ≔

Dalla traccia sappiamo che si distribuisce secondo una normale

Si costruisce un intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale a

varianza non nota. Vale che:

− ≤≤ + =1−

, ,

√ √

Si ha che: 1 − = 0,95 → = 0,05

= 20 → √ = 4,4721

1

̅ = = 1,9865

20

1 1

( )

= − ̅ = ∙ 15,0189 = 0,8890

19 19

Dalla tabella della student-t: = 2,0930

. ;

Quindi:

̅ − ; ̅ + = [1,5704; 2,4026]

, ,

√ √

RICHIESTA 2

Si assume che: [] = 1

Definiamo: ≔

Dalle informazioni della traccia = 50, = 10 , [] = 3 min

Consideriamo due popolazioni:

 Popolazione delle misurazioni dei tempi di registrazione

 Popolazione delle misurazioni dei tempi di acquisto

Non sono noti i tempi medi delle due popolazioni ma si sa che sono distribuite secondo

una normale. Sia il tempo medio della fase di registrazione e il tempo medio della

fase di acquisto. Si richiede che:

≤ → − ≤0

Si conduce quindi un test unilaterale per la di erenza tra medie di due popolazioni

normali a varianze note. Quindi:

: − ≤ 0 : − > 0

Il livello di significatività è: = 0,01

Vale che la Regione di Rifiuto è:

− > +

Allora sappiamo che: ̅ = 1,9865 = 20

= 10 = 50

→ > = 0,01 → = 1 − 0,01 = 0,99

, , ,

In tabella non c’è come valore di probabilità 0,99. Possiamo sfruttare però la simmetria

della funzione di distribuzione per dire che:

> = 0,01

,

< = 0,99

, (0)

0≤≤ = 0,49 = − =

, , ,

= 0,49 → = 2,33

, ,

=1 =3

Verifichiamo la regione di rifiuto:

{1,9865 − 10 > 0,7715} è

Quindi non si rifiuta, si accetta

RICHIESTA 3

Dalla traccia si deve assumere che:

= 2 = 10 → ~(2; 1) ~(10; 3)

Definiamo: ≔

Consideriamo un sistema in serie composto dalle tre fasi: PAGAMENTO

ACQUISTO

REGISTRAZ

Consideriamo che:

 Se il pagamento avviene con carta di credito

~(3; 0,5)

 Se il pagamento avviene alla consegna

~(1; 0)

Definiamo:

≔ ℎ 1

~(1; 0,85)

Sia: ≔

=++

Per il teorema di riproducibilità della normale anche seguirà una distribuzione

normale

Vogliamo calcolare: (12,

) = ( ≤ 12| = )( = )

|

Se modalità di pagamento scelta: pagamento alla consegna

= 0 →

Allora: ( ≤ 12| = 0) = ( + + 1 ≤ 12) = ( + ≤ 11)

Dove: + ~(12,4)

Inoltre: ( = 0) = 0,15

Se di pagamento scelta: pagamento con carta di credito

= 1 →modalità ( ≤ 12| = 1) = ( + + ≤ 12)

Dove: + + ~(15; 4,5)

Inoltre: ( = 1) = 0,85

Quindi: (12,

) = 0,15 ∙ ( + ≤ 11) + 0,85 ∙ ( + + ≤ 12)

|

Calcoliamo: ( + ≤ 11)

Standardizziamo + : ( + ) − 12 (

= → + ) = + 12

√4

√4

( + ≤ 11) = + 12 ≤ 11 = ( ≤ −0,5) = ( ≥ 0,5) = 1 − (0,5)

√4

Dalle tabelle della normale standard: (0,5)

= 0,1915

( + ≤ 11) = 1 − 0,1915 = 0,8085

Calcoliamo: ( + + ≤ 12)

Standardizzando: ( + + ) − 15 (

= → + + ) = 4,5 + 15

4,5

( + + ≤ 12) = 4,5 + 15 ≤ 12 = ( ≤ −1,414)

(1,414)

( + + ≤ 12) = ( ≥ 1,414) = 1 − = 1 − 0,4207 = 0,5793

Allora: (12,

) = 0,15 ∙ ( + ≤ 11) + 0,85 ∙ ( + + ≤ 12)

| (12,

) = 0,15 ∙ 0,8085 + 0,85 ∙ 0,5793 = 0,6137

|

RICHIESTA 4

Dalla traccia possiamo desumere che:

+ ≤ 32

Dobbiamo calcolare: ( ≤ 16, + ≤ 32)

( ≤ 16| + ≤ 32) = ( + ≤ 32)