Appelli d'esame Analisi matematica II

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA: .........................................................................................

IMPORTANTE

Al termine della prova è necessario riconsegnare solo il presente fascicolo.

I risultati e lo svolgimento relativo vanno riportati negli appositi spazi

o nel retro dei fogli del presente fascicolo: un campo vuoto o assenza di

calcoli dove richiesto signi…cano 0 punti.

SPAZIO RISERVATO ALLA COMMISSIONE A

1

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 16 febbraio 2016

Si consideri la funzione

Esercizio 1. p x 2

3

f (x) = x :

x +1

Determinarne:

dominio

Svolgimento: D = ( 1; 1) [ ( 1; +1) ;

intersezioni con gli assi

Svolgimento:

risulta f (0) = 0 e f (x) = 0 () x = 0 o x = 2;

di conseguenza i punti d’intersezione con gli assi sono

(0; 0) e (2; 0) ;

limiti agli estremi del dominio

Svolgimento: lim f (x) = +1; lim f (x) = 1

x!+1 x! 1

lim f (x) = +1; lim f (x) = 1;

+

x!( x!(

1) 1)

asintoti verticali

Svolgimento: x = 1;

asintoti orizzontali

Svolgimento: la funzione data non ammette asintoti orizzontali;

asintoti obliqui

Svolgimento:

poichè f (x)

lim =0

x

x! 1

la funzione non ammette asintoti obliqui;

derivata prima

Svolgimento: p

3 x è derivabile 8x 2 Quindi, essendo

Per quanto visto a lezione, la funzione g(x) = Rnf0g.

x 2

f (x) = g(x) ;

x +1

8x 2 è possibile applicare la regola di derivazione di prodotto di funzioni, ottenendo:

Rnf0g 1 x 2 3

1

0

f (x) = + x 3 2

2 x +1 (x + 1)

3x 3

2

x + 8x 2

= 2 2

(x + 1)

3x 3 2

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 16 febbraio 2016

punti di non derivabilità e loro classi…cazione

Svolgimento:

Poiché 0

lim f (x) = 1 ;

x!0

deduciamo che si ha anche: f (x) f (0)

lim = 1;

x 0

x!0

e quindi x = 0 è un punto di ‡esso a tangente verticale per f

punti stazionari e loro classi…cazione

Svolgimento:

si ha 2

x + 8x 2

0 0;

f (x) = 2 2

(x + 1)

3x 3 p p

2

x + 8x 2 0 , x 4+3 2 o x 4 + 3 2;

p

p 2 è un punto di massimo relativo per f e x = 4 + 3 2 è un punto di minimo

quindi x = 4 3

relativo per f ;

gra…co qualitativo

Svolgimento: y x

3

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 16 febbraio 2016

Esercizio 2.

Considerata la funzione p

p

3 x 3

f (x) = xe + x 1;

si chiede di f

stabilire se è derivabile nel suo dominio e classi…care eventuali punti di non derivabilità;

Svolgimento:

La funzione è de…nita e continua in D = ( 1; +1).

p

3

Per quanto visto a lezione, la funzione g(x) = x è derivabile 8x 2 Quindi, essendo

Rnf0g.

f (x) = x g(x) + g(x 1);

8x 2 1g è possibile applicare le regole di derivazione di somma, prodotto e composizione di

Rnf0;

funzioni, ottenendo: p

p

p 1 1

3

3 x x

0 q

3

+ x + :

e

f (x) = e 3 2

3

3 (x 1)

Studiamo ora la derivabilità nei punti x = 0 e x = 1, dove non era stato possibile applicare le regole

1 2

di derivazione suddette.

Avendo calcolato la derivata di f (x) in un intorno di x , osserviamo che si ha:

1

0 1

p

p p

1 1 1 4

3 3

@ A

x x

0 q

3

lim f (x) = lim e + x +

e =1+ = :

3 3 3

x!x x!0 2

1 3

3 (x 1)

Quindi esiste anche f (x) f (x )

1

lim x x

x!x 1 1

4

e vale , da cui deduciamo che la funzione è derivabile in x e si ha:

1

3 4

0 :

f (x ) =

1 3

Ragionando in maniera analoga per il punto x , si ha:

2 1

0 p

p p 1

1

3 3 A

@ x x q

3 x +

lim e + e = +1;

3

x!1 2

3

3 (x 1)

da cui deduciamo: f (x) f (1) = +1

lim x 1

x!1

e quindi f non è derivabile in x , che è un punto di ‡esso a tangente verticale.

2

f [1; 2]

stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo e in caso a¤ermativo

calcolarne il valore.

Svolgimento: 0

Evidentemente risulta f (x) > 0 per x > 0. Quindi f (x) è strettamente crescente nell’intervallo

assegnato. Dunque p

3 2

min f = f (1) = e; max f = f (2) = 2e + 1:

[1;2] [1;2]

4

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 16 febbraio 2016 2x

Calcolare l’area della regione di piano sottesa al gra…co della funzione f (x) = e sin x

Esercizio 2.

nell’intervallo [0; 2 ].

Svolgimento:

Studiamo il segno della funzione data nell’intervallo assegnato:

f (x) 0 , sin x 0 , x 2 [0; ] :

Integrando due volte per parti, si ha

Z 2x

e sin xdx Z

1 1 2x

2x

= e cos xdx

e sin x +

2 2 Z

1 1 1

2x 2x 2x

= e sin x e cos x e sin xdx;

2 4 4

da cui Z 2 1

2x 2x 2x

e sin xdx = e sin x e cos x + c:

5 5

Quindi, detta A l’area richiesta, risulta

Z Z 2

2x 2x

A = e sin xdx e sin xdx

0 2

2

2 1 1

2x 2x 2x 2x

= e sin x e cos x e sin x e cos x

5 5 5 5

0

1 1 2

4 2

= e + e + :

5 5 5 5