Appelli fondamenti di analisi matematica 2

Fondamenti di Analisi Matematica 2

ZL(x, y, ) = f (x, y) (g(x, y) + 1).d) Se è un insieme limitato allora esistono sicuramente dei punti critici diZL(x, y, ) = f (x, y) g(x, y)1. Definire le equazioni differenziali lineari del primo ordine e scrivere l’integralegenerale.2. Definizione di campo conservativo e di potenziale, dimostrare che se un cam-po è conservativo allora il lavoro lungo una curva dipende solo dalla differenzadi potenziale agli estremi della curva.

1. Per ogni valore del parametro si consideri la seguente equazioneR,2↵differenziale: 00 0 ↵ty (t) (↵ + 3)y (t) + 3↵y(x) = e ,(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ognivalore del parametro R,2↵(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 1(c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 32. Si consideri la funzione: 2 2x yf (x, y) = 2 log [(x + 1)(y 3)] + .2 2(a) Determinare il

dominio di e e disegnarlo nel piano cartesiano.

D(f(b)) Dire se è aperto, chiuso, né chiuso né aperto.

D(c) Calcolare le derivate parziali di f, quando possibile, e i suoi punti critici.

f(d) Determinare la natura dei punti critici.

3. Data la superficie definita da:

8x = u²

2y = u v

z = v

dove 2 <= u <= |u|.

D = v) u + v 16, v

(a) Dimostrare che essa è regolare e calcolare un vettore normale al sostegno di

(b) Calcolare l'integrale superficiale Z |z|d.

Tempo: 110 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Numero ordine alfabetico:

Cognome-Nome:

Fondamenti di Analisi Matematica 2

Vicenza, 5 Febbraio 2019

4TEMA

1. Si consideri la curva piana data in rappresentazione cartesiana da

2y = x + 2x + 1 x [0, 1].

pR 1a) 2(1 + (2x + 2) )dx0

R 1b) 2(1 + (2x + 2) )dx0

R 1c) 2(x + 2x + 1)dx0

pR 1d) (1 + (2x + 2))dx0

2. Siano Supponiamo che che

1 22 {(x, | 6 ;,f, g C (R ), Z = y) g(x, y) = 0}. Z = Zsia limitato e

che per ogni allora necessariamente si2 rg(P 6P Z, ) = (0, 0),ha:

a) Esistono sicuramente dei punti critici di L(x, y, ) = f (x, y) g(x, y).

b) Le ipotesi non sono sufficienti per concludere che ammette massimo efminimo assoluto su Z.

c) Esistono sicuramente dei punti critici di suf Z.

d) Se per ogni allora non ammette massimo e minimorf 6 2(P ) = 0 P Z, fsu Z.

1. Definire le equazioni differenziali lineari del primo ordine e scrivere l'integralegenerale.

2. Definizione di rotore di campo vettoriale, dimostrare che se un campo è con-servativo allora è anche irrotazionale.

Fondamenti di Analisi Matematica 2Vicenza, 5 Febbraio 20194TEMA

1. Per ogni valore del parametro si consideri la seguente equazioneR,2↵differenziale: 00 0 ↵ty (t) (↵ + 4)y (t) + 4↵y(x) = e ,

(a) Determinare le soluzioni dell'equazione omogenea associata per ognivalore del parametro R,2↵

(b) Determinare le soluzioni dell'equazione completa ↵ = 1

(c) Determinare le

particolare saradel tipo featA9pct dateAe9pct feetsaeat.ca2aeatj'G loft5Ae 45g 6gg 2TatAe e1A featgestayctl.ge at3a 9g6g eey 3Tgeste tesoluzione Gomogenead 3 del caratteristicoradice polinomiodoppiae la del tiposoluzionequindi particolare sarafesta4pct safestLatestgip testasafestteAe'I Gates 6A2g IgfAes latest µ6 9g ggp sta3T 3T2 Ae e1A 2 festtestyet cgEslfcxgt 2lgfx Èskg.eeD 4h sox 3g4h IIx_g o oppurep.aff.ae1 2 strettetramitedefinitoDe disuguaglianzequindi insieme apertoe un244 ÈCgil7cg 3 EDderivabile hasie g e2 Crei 2gg se IIj 3xCreiX 3Of 2 gg fx.xesxtlxpunticritici 3fye.FIyetÈ t 2 0Eeg 2Ì 33 412 1 03 e Igitf t.IE2Fey 0 qae a 2 22,1 parPspunti possibili 2Bla 1ILetamaiodi soloquesti E 2332 3 23x 57 2Cerea27 1 ay0ff gAfidi relativoPae'didefinita negativa MaxHead sellaptindefinito diee 3Es UEla cartesianasuperficiesuperficie unaedel face ètipo quindi regolarey eÈ Csifix EpoicheAbbiamo da1 0tu 1ao0to aoda 1tanto vettore

alnormale sostegno

D Eto'E lol25 neyolaIreneo 48It qu FÀ dadololdilei ciao5D 5cecoordinate polariinpassando ftcost levi p 5seno op Eqsentendo suoiire