Appelli svolti Analisi 1

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA

- Prova scritta di ANALISI MATEMATICA 1 -

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

APPELLO DEL 11 aprile 2014

COGNOME: ....................................................................................................................................

NOME: .............................................................................................................................................

MATRICOLA: ..................................................................................................................................

IMPORTANTE

Al termine della prova è necessario riconsegnare solo il presente fascicolo.

I risultati e lo svolgimento relativo vanno riportati negli appositi spazi

o nel retro dei fogli del presente fascicolo: un campo vuoto o assenza di

calcoli dove richiesto significano 0 punti.

SPAZIO RISERVATO ALLA COMMISSIONE A

1 A

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 11 aprile 2014

√

Esercizio 1. Sia −

2x 1

f (x) = x .

2x + 1

Si chiede di

determinare il dominio di f

Svolgimento: Per determinare il dominio di f basta risolvere la disequazione

−

2x 1 ≥ 0 ,

2x + 1

∈ − ∪

1 12

la cui soluzione è x D = (−∞, ) [ , +∞) .

2

studiare il segno di f e le sue intersezioni con gli assi

Svolgimento: Iniziamo studiando il segno di f . Poiché la radice quadrata è una quantità sempre

positiva nel suo dominio, allora ≥ ⇐⇒ ≥

f (x) 0 x 0 .

− ∪ 12

12

Tenuto conto che il dominio di f è D = (−∞, ) [ , +∞) , allora

[ 1

≥ ⇐⇒ ∈

f (x) 0 x , +∞) .

2 ̸∈

Ora consideriamo le intersezioni con gli assi. Poiché x = 0 D, basta risolvere il sistema

{ y = f (x)

y = 0 ,

̸∈

12

le cui soluzioni sono (0, 0) e ( , 0) . Poiché (0, 0) D, l’unica intersezione con gli assi è data dal punto

1

( , 0) .

2

studiare i limiti di f agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti

Svolgimento: Dal confronto tra infiniti si ha

lim f (x) = +∞

x→+∞ −∞

lim f (x) =

x→−∞

e quindi f non ammette asintoti orizzontali . Poiché risulta

√ −

f (x) 2x 1

lim = lim =1

x 2x + 1

x→±∞ x→±∞

(√

e ( ) )

−

2x 1

− −

lim f (x) x = lim x 1

2x + 1

x→±∞ x→±∞ ( )

−2

x 1

√ −

= lim = ,

2x + 1 2

x→±∞ 2x−1 + 1

2x+1

− 1 è un asintoto obliquo per f .

allora y = x 2

Inoltre −∞

lim f (x) =

−

x→(−1/2)

−1/2

e quindi x = è un asintoto verticale per f . 2 A

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 11 aprile 2014

studiare la derivabilità di f , la sua monotonia e i suoi eventuali massimi e minimi

\ {1/2}

Svolgimento: In D la funzione f è derivabile, poiché composizione di funzioni derivabili, e si

√

ha − − − −

2

2x 1 2(2x + 1) 2(2x 1)

1 4x + 2x 1

′ √ √

· · · · ·

f (x) = + x = = .

2

2x + 1 (2x + 1)

2x−1 2x−1

2

2 (2x + 1)

2x+1 2x+1

Poiché ′

lim f (x) = +∞ ,

−

x→(1/2)

allora f non è derivabile in x = 1/2. In particolare, x = 1/2 è un punto a tangente verticale. ′

Ora studiamo la monotonia di f e i suoi eventuali massimi e minimi. Iniziamo studiando f (x) = 0

che equivale a −

2

4x + 2x 1 = 0 ,

√ √ √

−1± −1+ −1−

̸∈

5 5 5

le cui soluzioni sono x = . Poiché x = D, l’unico punto stazionario di f è x = .

4 4 4

′

Per classificare tale punto studiamo la disequazione f (x) > 0, che equivale a

−

2

4x + 2x 1 > 0 ,

√ √ √

−1− −1+ −1−

5 5 5

la cui soluzione è data da x < oppure x > . Quindi è un massimo relativo per f

√ √

4 4 4

−1− −1− −

5 5

1 12

e f cresce per x < oppure x > , mentre decresce per <x < .

4 2 4

disegnare il grafico di f

Svolgimento: 3 A

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 11 aprile 2014

Esercizio 2. Sia 2

f (x) = log .

1 + sin x

Si chiede di

determinare il dominio di f

Svolgimento: Per determinare il dominio di f basta imporre la condizione

2 > 0

1 + sin x

che equivale a 1 + sin x > 0 ,

∈ Z

̸ 32 π + 2kπ , k .

che è verificata per ogni x = 3

determinare, se esistono, i punti stazionari di f nell’intervallo [0, π) e classificarli

2

Svolgimento: La funzione f è derivabile nel suo dominio e risulta

−2

1 + sin x cos x cos x

′ · −

f (x) = = .

2

2 (1 + sin x) 1 + sin x

′

Per determinare i punti stazionari di f basta risolvere f (x) = 0, che equivale a

cos x = 0 ,

∈ Z.

π 32

le cui soluzioni sono date da x = + kπ, k L’unico punto stazionario nell’intervallo [0, π) è

2

′ ′

∈ ∈

π π π 32 π

x = . Poiché risulta f (x) < 0 per x (0, ) e f (x) > 0 per x ( , π), allora x = è un minimo

2 2 2 2

relativo per f . 4 A

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 11 aprile 2014

Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale improprio

∫ +∞ 4 dx .

3

x log (2x)

e

Svolgimento: Si ha ∫

∫ +∞ R

4 4

dx = lim dx .

3 3

x log (2x) x log (2x)

R→+∞

e e

L’integrale ∫ R 4 dx

3

x log (2x)

e

si risolve con il metodo di sostituzione. Ponendo t = log(2x) , si ottiene

1

∈

t [log(2e), log(2R)] e dt = dx .

x

Sostituendo nell’integrale si ha:

∫ ∫

R log(2R)

1 1

dx = dt

3 3

t

x log (2x)

e log(2e)

[ ] log(2R)

1

−

= 2

2t log(2e) )

( 1

1

− + .

= 2 2

2 log (2R) 2 log (2e)

Quindi, ∫

∫ R

+∞ 4

4 dx = lim dx

3 3

x log (2x) x log (2x)

R→+∞ e

e ( )

1 1

−

= 4 lim +

2 2

2 log (2R) 2 log (2e)

R→+∞

2

= .

2

log (2e)

Dato il seguente integrale ∫ −

+∞ 2

3x 2 dx .

3

3

(x + 4x) log (2x)

e

stabilire, motivando la risposta, se è convergente o divergente.

Svolgimento: Si ha −

2 2

3x 2 x 1

∼ →

0 < = per x +∞ .

3 3 3

3 3

(x + 4x) log (2x) x log (2x) x log (2x)

Poiché l’integrale ∫ +∞ 1 dx

3

x log (2x)

e

converge per i conti fatti in precedenza, allora anche l’integrale

∫ −

+∞ 2

3x 2 dx

3

3

(x + 4x) log (2x)

e

converge, per il criterio del confronto asintotico. 5 A

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 11 aprile 2014

Esercizio 4. Data la serie ∑

+∞ 2 + cos n ,

2 n

(1 + β )

n=1 ∈ R

stabilire, motivando la risposta, per quali valori di β converge.

∈ N

Svolgimento: Per ogni n si ha 2 + cos n 3

≤ ≤

0 .

2 n 2 n

(1 + β ) (1 + β )

Inoltre, la serie ∑

+∞ 1 2 n

(1 + β )

n=1

è una serie geometrica di ragione 1 ∈ R \ {0}

< 1 per ogni β .

2

(1 + β ) ∈ R \ {0}.

Allora, per il criterio del confronto, la serie data converge per ogni β

Se β = 0, allora la serie data diventa ∑

+∞ (2 + cos n) .

n=1

∈ N

Poiché per ogni n si ha ≥

2 + cos n 1 > 0

e la serie ∑

+∞ 1

n=1 ̸

diverge (essendo a termini positivi e tale che il suo termine generale tende a 1 = 0), allora la serie

data per β = 0 risulta essere divergente, per il criterio del confronto.

6 A

Prova Scritta di Analisi Matematica 1 del 11 aprile 2014

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite − −

2x 2

e + sin (2x) 1 2x

lim ,

3

2x

x→0

utilizzando opportuni sviluppi di Taylor. t

Svolgimento: Utilizzando lo sviluppo di Taylor al terzo ordine per la funzione f (t) = e con t = 2x,

risulta 2 3

4x 8x

2x 3

e = 1 + 2x + + + o(x )

2 3!

3

4x →

2 3

= 1 + 2x + 2x + + o(x ) per x 0 ,

3

mentre, utilizzando lo sviluppo di Taylor al terzo ordine per la funzione g(t) = sin t con t = 2x, risulta

3

8x

− 3

sin(2x) = 2x + o(x )

3!

3

4x

− →

3

= 2x + o(x ) per x 0 .

3

Allora, sostituendo nel limite dato, si ha: 3 3

− − −

4x 4x

− − 2 3 2

2x 2 1 + 2x + 2x + + 2x + o(x ) 1 2x

e + sin (2x) 1 2x 3 3

lim = lim

3 3

2x 2x

x→0 x→0 3

4x + o(x )

= lim 3

2x

x→0 ( )

3

4 o(x )

= lim + = +∞ .

2 3

2x 2x

x→0 7

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

- Seconda prova scritta di ANALISI MATEMATICA 1 -

APPELLO DEL 14 Settembre 2011

COGNOME: ....................................................................................................................................

NOME: .............................................................................................................................................

MATRICOLA: ..................................................................................................................................

IMPORTANTE

Al termine della prova è necessario riconsegnare solo il presente fascicolo.

I risultati e lo svolgimento relativo vanno riportati negli appositi spazi

o nel retro dei fogli del presente fascicolo: un campo vuoto o assenza di

calcoli dove richiesto significano 0 punti.

Gli esercizi valgono 43 punti il primo, 17 punti il secondo, 14 punti il terzo e 12

punti il quarto. SPAZIO RISERVATO ALLA COMMISSIONE A

1 A

Seconda Prova Scritta di Analisi Matematica I del 14 Settembre 2011

Esercizio 1.

Quesito a. Si consideri la funzione r 2x − 1

f (x) = x .

2x + 1

Determinarne:

dominio

Svolgimento: Per determinare il dominio di f basta risolvere la disequazione

2x − 1 ≥ 0 ,

2x + 1

12

12 ) ∪ [ , +∞) .

la cui soluzione è x ∈ D = (−∞, −

intersezioni con gli assi

Svolgimento: Poiché x = 0 6∈ D, basta risolvere il sistema

½ y = f (x)

y =