Analisi matematica 1

U

1. (2k ; 2k + /2),

π π π

k∈Z

3) Il dominio della funzione f (x) = x / e − e è

1/x

2. x ̸= 0; 1,

4)Siano f (x) = x + x; g(x) = x−1/ 2x+5 : Allora il dominio di f o g è

2

1. R\{−5/2},

√

5) Siano f (x) = log(x); g(x) = x /x +1 : Allora il dominio di f o g è

2

3. ∅,

6) Siano f (x) = √e − 1; g(x) = sin(x): Allora il dominio di f og è

x

U

4. (2k ;(2k + 1) ).

π π

k∈Z

7) Il grafico

rappresenta la funzione

2. x+|x| / 2 ,

8) Il grafico

rappresenta la funzione

1. −| − 2x + 2| + 2,

9) Consideriamo la funzione f (x) = arccos (1 − (x − 1)/ x )« :

2

Allora il dominio di f è

3. [−1; 1 − √ 2] [1; 1 + √ 2],

∪

10) Se il grafico di f (x) è

allora il grafico di −f (−|x| + 1) è

3.

1)Si consideri la successione an = n^3 − 3n / n + 2 : Allora si ha che

2. an → +∞,

2)Siano an > bn due successioni tali che i) an > 0 e lim n→+∞ an = 1, ii) |bn| < 1 n N. Allora

∀ ∈

si ha che

1.∃ n0 N : 2an − bn > 0 n > n0,

∈ ∀

3)Si consideri la successione an = n^2 + 4 / 2n^2 + 3 : Allora si ha che

4.an → 1/2 .

4)Si consideri la successione an = (5 − n)^5 + n^5 / (4 − n)^4 + n^4 : Allora si ha che

1.an → 25/2 ,

5)Si consideri la successione an = n^6 − n^3 : Allora si ha che

3.lim n→+∞ an è una forma indeterminata

6)Si consideri le successioni an = 1/n ; bn = (−1)^n : Allora si ha che

2.anbn → 0,

7)Si considerino le succesioni an = 1/n ; bn = − 1/n^2 : Allora si ha che

3.an − bn → 0,

8)Si considerino le successioni an = − 1/n^2 ; bn = n^3 : Allora si ha che

1.. an bn → 0,

9)Si consideri la successione an = 5n^2 + 3 / −8 + n − 3n^2 : Allora si ha che

4.an è limitata.

10)Si consideri la successione an = 1 − n^2 / (1 − n)(n − 2): Allora si ha che

4.la sottosuccessione a2n → 1

√n n^4+1. Allora si ha che

1)Si consideri la successione an =

3.lim n→+∞ an = 1 √n 2n^5 + 1. Allora si ha che

2)Si consideri la successione an =

1.lim n→+∞ an = 1

3)Si consideri la successione an = n / 2^n -3^n. Allora una delle seguenti affermazioni è vera (

segguerimento: mettere in evidenza il termine denominante del denominatore)

1.lim n→+∞ an = 0

4)Si consideri la successione an = n^2 / n!. Allora si ha che

4.an è limitata √n+1 - n√n-1). Allora una delle seguenti affermazione è

5)Si consideri la successione an = (

vera (sugg: razionalizzazione)

2.lim n→+∞ an = - ∞

6)Si consideri la successione an = log n^3 / log(n^3 + 3n^2). Allora si ha che

2.lim n→+∞ an = 1

7)Si consideri la successione an = 1/n sin(n π/2). Allora si ha che

3.lim n→+∞ an = 0

8)Si consideri la successione an = n sin( π + 1/n ). Allora si ha che

1.lim n→+∞ an = -1

9)Si consideri la successione an = ne^ -1/n. Allora si ha che

4..lim n→+∞ an =+∞

10)Si consideri la successione an = n^2 sin(n π/2 ). Allora si ha che

2.lim n→+∞ an =+∞

LEZ 11

1)Si consideri la successione an= (1+ 1/3n) Allora si ha che

2n .

2.an → e

2/3

2)Si consideri la successione an= (n+3/n+1)

n

1.an →e

2

3) Si consideri la successione an= n log n / (n+1)(n+2) Allora si ha che

4. a , è di Cauchy.

n

4)Si consideri la successione an= n +logn+3 / 2 + n + log n Allora si ha che:

6 n

n 4 6

2. an non è di Cauchy,

5)Si consideri la successione a Allora si ha che:

n=(n-1/n)

n 2

3. an -> 0,

6)Si consideri la successione a = (n +1) / n Allora si ha che

n n

2 2n

1. an -> 1,

7) Si consideri la successione an= log (1+a)anx Allora si ha che

1. an -> 1, /

8) Si consideri la successione an= (1+ (-1) n+I) , Allora si ha che

n n+I

4. an non è di Cauchy.

9)Si consideri la successione an = nlog(n +1) - nlog(n +2) . Allora si ha che

2. an -> -1, /

10)Si consideri la successione an =n2 3 Allora si ha che

n

n

3. an è di Cauchy,

LEZ 12

1)Si consideri la funzione f(x) = 1/x^2. Allora si ha che

2)Si consideri la funzione f(x) = 1/x^2. Allora si ha che

3)Si consideri la funzione f(x) = x+1 / x+2. Allora si ha che

4)Si consideri la funzione f(x) = x / x-1. Allora si ha che

2.

5)Si consideri la funzione f(x) = x / x^2 + 1. Allora si ha che

6)Si consideri la funzione f(x) = log x. Allora si ha che

7)Si consideri la funzione f(x) = { x+1 x>= 0, x-1 x<0. Allora si ha che

1.f non è continua in x0 = 1

8)Si consideri la funzione f(x) = { sinx x>=0, -x x<0. Allora si ha che

4.f non è continua in x0 = -

π

9)Si consideri la funzione f(x) = { tanx 0<x< cosx - x <=0. Allora si ha che

π/2, π/2 <

2.f non è continua in x0 = π/4

10)Si consideri la funzione f(x) = { x x>0, 1 x=0, -x x<0

3.f è continua in R

LEZ 13

1) Si consideri la funzione f(x) = X -3x +4x / X -X Allora si ha che

5

3 2

4. lim f(x) = -4.

x→0

2)Si consideri la funzione f(x) = 6x^4 - x^2 / x - x^3. Allora si ha che

3)Si consideri la funzione f(x) = √3 2+x^3 - √3 1+2x^2 + x^3. Allora si ha che

4)Si consideri la funzione f(x) = 1+2^1/x / 3+2^1/x

5)Si consideri la funzione f(x) = 3^x - 4^-x / 3^x + 3^-x. Allora si ha che

6)Si consideri la funzione f(x) = √ (x^2 + 2x) + x. Allora si ha che

7)Si consideri la funzione f(x) = loga(x +2) -loga 2 / x. Allora si ha che

8)Si consideri la funzione f(x) = (xlogx)^1/x. Allora si ha che

9)Si consideri la funzione f(x)= √log(1+3x^2) / x. Allora si ha che

10)Si consideri la funzione f(x) = log(1+ 2-x / x) / x^2 - 4x +4. Allora si ha che

LEZ 14

1)Si consideri la funzione f(x)= 1/xtanx - 1/xsinx Allora si ha che

.

2) Si consideri la funzione f(x)= x+cosx/ 4x -sinx Allora si ha che

3)Si consideri la funzione f(x) =(1+ x)tanx Allora si ha che

4)Si consideri la funzione f(x) = (1 + cos^ x )^tan^ Allora si ha che

2x

2

5)Si consideri la funzione f(x) = 3 arctan x+ (1 -cos x)sin² x / 27x^4+5sin

←(img delal funzione)

6) Si consideri la funzione f(x)= e^ -1/ x(cosx e^ ) Allora si ha che

tan3x x2

7)Si consideri la funzione f(x)= √1+tan x - √1 - tan x / sin X Allora si ha che

8) Si consideri la funzione f(x)=(1 - cos x)^ / log(1 + sin^ x) Allora si ha che

2 4

9)Si consideri la funzione f(x) = xe^ sin(e^ sin 2/x) Allora si ha che

x -x

10)Si consideri la funzione f(x)=sin2x/tan3x Allora si ha che

LEZ 15 E

1)Si consideri la serie ∞ n=1 2n^2 + 3 / (n-1)(n+1). Allora si ha che

2.la serie non è convergente

2)Si consideri la serie di termine generale an = n sin(1/n). Allora si ha che

4.il resto n-esimo non è infinitesimo

3)Si considerino la serie di termini generali ak = (½)^k , bk=(⅓)^k. Allora si ha che

4)Si considerino la serie di termini generali ak=(½)^k, bk = 2^k. Allora si ha che

5)Si considerino la serie di termini generali ak=(½)^k, bk = (-½)^k. Allora si ha che

6)Si considerino le serie di termini generali ak= 2/k(k+1), bk=(⅚)^k. Allora si ha che

7)Si considerino le serie di termini generali ak=(½)^k, bk=(⅔)^k ck=(¾)^k. Allora si

ha che

8)Si considerino le serie di termini generali ak=1/k(k+1), bk=k^2. Allora si ha che

k. Allora si ha che

9)Si considerino le serie di termini generali ak= e^-k, bk= -

π^

10)Si considerino le serie di termini generali ak= 100/k(k+1), bk=(99/100)^k. Allora

si ha che

LEZ 16 E

1)Si consideri la serie ∞ n=2 1/ n log n . Allora si ha che

2.la serie è divergente

2)Si consideri la serie ∞En=2 1/log(n!). Allora si ha che

1.la serie è divergente

3)Si consideri la serie ∞ En=1 e^nx / n . Allora la serie è convergente per

4.x<0

4)Si consideri la serie ∞ En=1 x^n/1 + nx^2 ; x > 0. Allora la serie è convergente per

2.x < 1

5)Si consideri la serie ∞ E n=1 log( 1 + 1/n^3) . Allora si ha che

3.la serie è convergente

6)Si consideri la serie ∞E n=1 (n!)^− 1/n . Allora si ha che

4.la serie è divergente

7)Si consideri la serie ∞E n=0 2^2^nx , x R. Allora si ha che

∈

3.la serie non converge mai

8)Si consideri la serie ∞ E n=1 (2n)!/(n!)^2 . Allora si ha che

2.la serie diverge

9)Si consideri la serie ∞ E n=1 1/ n^n . Allora si ha che

1.la serie è convergente

10)Si considerino le serie di termini generali an = 2^n · n!/n^n ;

bn = (1−1/n)^n^2 . Allora si ha che

LEZ 17 E . “img”:

1) Si consideri la serie x^ / 1+nx^

∞ n=1 2

n

1.la serie converge per -1 <x<1

E “img”:

n!x^

2)Si consideri la serie /n^

∞ n=1 n n

3.la serie converge per -e<x<e

E π n) /n+2 “img”:

cos(

3)Si consideri la serie ∞ n=0

3.la serie è convergente

E “img”:

1/n sin(1/1+n)

4)Si consideri la serie ∞ n=1

4.la serie è convergente

E arctan (1/n )

5)Si consideri la serie ∞ n=1 ^2

2. la serie è convergente

E

6)Si consideri la serie x logx

^n

∞ n=1 ^n

1. 0<x<=1 E “img: ”:

7)Si consideri la serie nsinx /n+x

^n

∞ n=0 ^2n

2.|x| != 1 E

8)Si consideri la serie 1/√n -1/√n+1

∞ n=1

3.la somma vale 1

E “img: ”

9)Si consideri la serie (-1) 2 + n/ 3^n+n

^n ^n ^2

∞ n=1

4. la serie è convergente

E

10)Si consideri la serie n x

∞ n=1 ^x ^n

3. -1<=x<1

LEZ 18

1)Si consideri la funzione f(x)=2^- 1/x

2. f ha una discontinuità di seconda specie in x=0

2)Si consideri la funzione f(x) = {sinx/x, x<0,

{ √x+1, x>=0

1.f è continua in x=0

3)Si consideri la funzione f(x)={sinx, x< /2,

π

{0, x=

π/2,

x, x> /2

{2/

π π

4.f ha una discontinuità eliminabile in x = π/2

4) Si consideri la funzione f(x)= { 1/1-log|cosx| , x != /2 +k

π π,

{e , x= /2 +k

π π

1.f ha una discontinuità eliminabile in x= 7/2 π

5) Si consideri la funzione f(x)= {6 -1 /x, x !=0

^x

{log - log1/2, x=0

3

3.f è continua in x =0z

6)Si consideri la funzione f(x) = 1/log(x+1)

4.f ha una discontinuità di seconda specie in x=0

7)Si consideri la funzione f(x) = {x , x<0

^2

{x +1, x>=0

^2

1.f ha una discontinuit&agrav