32 prove d'esame di Fisica 1 svolte e discusse in dettaglio

Esercitazione Integrativa

Esercizio:

Abbiamo un punto che si muove su una traiettoria rettilinea, secondo una LEGGE ORARIAper cui x(t) = At² + Bt³.

1. Quali sono le dimensioni fisiche di A e B?

   Per rispondere occorre ragionamento fatto della considerazioni di tipo fisico: x(t) è unaascissa curvilinea, perciò ha le DIMENSIONI di una lunghezza.Questa significa che le stesse dimensioni di una lunghezza devono avere i duetermini al secondo membro.

   [A·t²] = l → [A] = l·t^-2[B·t³] = l → [B] = l·t^-3

   Se volessimo indicare per A e per B anche le unità di misura nel sistema internazionale, allora scriveremmo:

   [A] → m/s² [B] → m/s³

2. Il massimo valore raggiunto dell'ascissa, e l'istante in cui viene raggiunto tale massimo.

   Da un punto di vista matematico, questo qua è un semplice problema di ottimizzazione, però poniamo anche osservazione da un punto di vista fisico.Nel moto, il massimo valore dell'ascissa curvilinea è ottenuto quando la velocitàsi ANNULLA, questo poiché per arrivare raggiunge un massimo di ascesa, significa un attimoprima di raggiungere il massimo l'oggetto si muove verso l'alto, mentre un attimo doposi muove verso il basso.Nell'istante in cui il massimo viene raggiunto, però, la velocità del corpo in deve annullare:

   x'(t) = dx/dt = d/dt (At² + Bt³) = 2At - 3Bt²

   x'(t) = 0 → 2At - 3Bt² = 0t ≠ 0t = 2A/3B

   Posso studiare il segno delle derivate per capire per zona massimi o minimi:x'(t) = d²x/dt > 0 → 2At - 3Bt² > 0t < 0t > 2A/3B

   Questo dimostra che in t = 2A/3B è presente un punto in cui l'ascissa curvilinea è massima.

Proviamo a dare una rappresentazione grafica del moto e della legge oraria, assumendo A = 3 m/s²; B = 1 m/s³.

s(t) = 3t² - t³

Se volessimo rappresentare il GRAFICO della legge ORARIA s(t), allora dovremmo sapere come individuare in un grafico l'andamento di una pietra individuando sia il massimo, che il minimo.

Nel grafico della legge oraria in ogni caso avremo la rappresentazione del moto compiuto dal corpo fino a quel istante.

Se volessimo costruire il diagramma di come si muove fisicamente il corpo, dovremmo (sapendo che il moto è RIPETITIVO) dire: il corpo si muove di moto rettilineo con verso positivo da t = 0 a t = 4, poi la velocità cambia verso in x = 4 (t = 1) e il corpo torna indietro, sempre lungo x.

Utilizziamo di nuovo calcolare la lunghezza della totale percorsa dal punto mobil nell'intervallo di tempo che va da t = 0 a t = 4 s. Perciò calcolo delta x fra il punto d'uscita e alla fine:

s(4) - z(4) = 3(16) - (4)³ = 16

Avendo in mente l'andamento del moto, e' semplice capire che la lunghezza totale percorsa, se x = 0, è 24 m.

Il CAMMINO TOTALE, perciò: l = 24 m. Se invece volessimo studiare la SPOSTAMENTO del punto da t = 0 a t = 4, allora questo risulterò pari a z(4) = 16 m;

Possiamo giustificare questi risultati anche da un punto di vista matematico:

Deltax = ∫₀⁴ v(t) dt

∫₀⁴ |v(t)| dt

Infatti si dimostra che:

Deltax = ∫₀⁴ 6t - 3t² dt = (6t ² - t³ ) ₀⁴ = 16

∫₀⁴ |v(t)| dt↔ davuostare integrale e seconda segno che assume integrali. Se va integrare per l degli diventi l=24.

A questo punto posso riscrivere le equazioni vettoriali, ricavando le 3 componenti scalari:

1. T₂ - m₂g = -m₂a₂
2. T - m₂g cosθ + N = 0 → N = m₂g cosθ
3. T - m₂g sinθ - Fa = m₂a

Mi trovo ad avere 3 equazioni e 4 incognite, devo fare un’ipotesi di lavoro. Ipotizzo che effettivamente le blocco, m₁ con m₂ una.

Questo significa che è atto a tipo din'amico, e non ci più in incognite perché ne posso calcolare.

Poiché parlanti due corpi, una stimoli da una flessibile inestensibile, devono muoversi con la stessa accelerazione, al al muovo.

se m₁, m₂ si muovono = Fa ⋅ Fad; a₁ ⋅ a₂ = a

|Fad| = |N|₁ = μ m₂g cosθ

Perciò il mio sistema di equazioni contiene ad esse 2 equazioni e 2 incognite, perciò è risolubile.

1. T - m₂g = -m₂a
2. T - m₂g sinθ - μ m₂g cosθ = m₂a

Sostituo la prima equazione con la sottrazione delle due, in modo da trovare subito a:

-m₂g + m₂g sinθ + μm₂g cosθ = -m₂a - m₂a

m₂(m₁ + m₂) = m₂g - m₁g sinθ - μ m₂g cosθ

a = g [ m₂ - m₁ (sinθ + μ cosθ) ] / [ m₂ + m₁ ] = \dfrac{9.81\ m}{s^2} \left( \dfrac{3\ kg - 2\ kg\ (1.0) } {5\ kg} \right) = \dfrac{1.88\ m}{s^2}

Sostituio nella seconda equazione per trovare la tensione:

T = m₂g [ m₂ / m₂, m₁ (sinθ + N cosθ) ] / [ m₂ + m₁ ] + m₂g sinθ + μ m₂g cosθ =

= m₂g [ m₂ - m₁ (sinθ + μ cosθ) ] / [ m₂ + m₁ ] ⋅ sinθ + μ cosθ

Scegliamo una terna di versori e scriviamo come vettore la cosa:

A = A_x

C = C_x + C_y + C_z

Se faccio il prodotto scalare ottengo:

l_gc = -m sinθ [A_x[(C_x - X_C) + (γ_ozY - γ_oA)]]

-m sinθ [A_Cx - (C_{zX - XB)]}

-m sinθ [A(C_x - A - (R cosθ_C - R_oA])

-m sinθ (A_xA - X_B)

-m sinθ A(X_C-X_o) = -m sinθ A(R cosθ_c - R cosθ_A) = mRA sinθ

Sceglo come y usermendo il punto B, e scelgo anche che in B l'energia potenziale valga

0 in quanto y_o=0:

U_o = mgy

U_F = -mRA sinθ

Applico la conservazione dell'energia:

U(B) + Ε_t(B) = U(c) + Ε_t(c)

U(c) = -Ε_t(c)

m g R - m R A sinθ = ¹/₂m v²_c

v²_c = 2 R ( g - A )

Sostituendo i valori numerici, ottengo che:

v²_c = 2 (Rm) ( 9.81 m s² - 0.8 m/s²) = 36,04 m²/s²

v_c = √alve/2/1 = 6 ^m/_s

Poiché il sistema nel quale mi sto muovendo P mi è analogo rispetto al binario, allora la

velocità di P rispetto al binario rimane con quella relativa al binario:

V_Fp = V_P + V_o ; V_o = 0,82 m/s

c) il lavoro compiuto fatto della forza esterna dF_f che forza il convesso fino al

suo arresto.

Poiché l'accelerazione è costante (con la quale si rompe declino) allora la spira frenante

deve essere costante.

Se lavoro di una forza costante si calcola come:

∫_F^F_ff F_f · (Ȳ_A - Ȳ_B)

Considero un sistema di riferimento in

cui Ȳ_B coincide con il punto di inizio

della frenata, ed Ȳ_C la posizione

media questa lo coincide al arresto.

Allora Ȳ_C:

Ȳ_C = ¹/₂ A t_c² - V_o t_c