Primo parziale di matematica

Università degli Studi dell’Insubria - Economia e management

Prof Elisa Mastrogiacomo

Primo parziale matematica

Argomenti

• Pag. 4 1. Insiemi: definizione, insiemi uguali, sottoinsiemi.
• Pag. 5 Operazioni tra insiemi: intersezione, unione, differenza.
• Pag. 6 2. Spazi euclidei: retta, piano cartesiano, spazio, dimensioni superiori.
• Pag. 7 3. Vettori: operazioni: somma e differenza, moltiplicazione e divisione, prodotto per scalare.
• Pag. 8 Distanze nel piano cartesiano: tra punti, tra vettori.
• Pag. 9 Norma, prodotto scalare o interno.
• Pag. 10 Combinazioni lineari.
• Pag. 11 Lineare dipendenza e indipendenza.
• Pag. 13 4. Matrici: definizione, operazioni: somma.
• Pag. 14 Operazioni: prodotto per scalare, moltiplicazione.
• Pag. 15 Tipi di matrici: matrice identità, matrice trasposta.
• Pag. 16 Tipi di matrici: matrice triangolare superiore, matrice triangolare inferiore, matrice simmetrica.
• Pag. 17 Tipi di matrici: matrice inversa e determinante.
• Pag. 21 5. Sistemi lineari: struttura matriciale di un sistema lineare.
• Pag. 22 Matrice completa, insieme determinato, indeterminato, impossibile.
• Pag. 24 Calcolo delle soluzioni di sistemi determinati e indeterminati.
• Pag. 28 6. Funzioni: definizione, grafico, intervalli.
• Pag. 29 Caratteristiche: strettamente crescente e crescente in senso lato, strettamente decrescente e decrescente in senso lato, concava e convessa.
• Pag. 30 Caratteristiche: pari e dispari; massimi e minimi: locali, globali.
• Pag. 31 6. Funzioni: funzione inversa.
• Pag. 32 Funzioni elementari: monomi o potenze ad esponente intero, rette.
• Pag. 33 Funzioni complesse: iperboli, potenza ad esponente frazionario, esponenziali.
• Pag. 34 Funzioni complesse: logaritmiche.
• Pag. 35 Funzioni complesse: valore assoluto e logaritmiche.
• Pag. 36 Valori fondamentali delle funzioni trigonometriche, estremi inferiore/superiore di un insieme.
• Pag. 37 Estremi inferiore/superiore di una funzione.
• Pag. 38 Composizione di funzioni.
• Pag. 40 Dominio di una funzione: razionali fratte, radice di indici pari, logaritmiche.
• Pag. 41 Dominio di una funzione: composte.
• Pag. 42 Dominio di una funzione: somma o differenza tra radici.
• Pag. 43 Dominio di una funzione: valore assoluto; segno di una funzione: razionali fratte.
• Pag. 44 Segno di una funzione: prodotto di potenze ed esponenziale, con radici, con esponenziali.
• Pag. 45 Segno di una funzione: con logaritmo; successioni: limiti di successioni.
• Pag. 47 Successioni: proprietà dei limiti; insiemi aperti/chiusi.
• Pag. 48 Punti interni, esterni e di frontiera di un insieme.
• Pag. 49 7. Limiti: limiti di funzioni.
• Pag. 53 Proprietà dei limiti.

Simboli

Per ogni ti Se e solo se; è equivalente.

<I Implica.

Esiste.

Insiemi

Definizione

Concetto primitivo: collezione di oggetti.

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole (A, B, C..).

Gli elementi contenuti sono indicati con lettere minuscole (a, b, c..).

a A se è un elemento dell’insieme.

E0 Insieme privo di elementi, duplice natura (elemento e insieme).

Insiemi uguali

Hanno gli stessi elementi, non importa l’ordine.

A=B

A={a,b,c,d} B={c,a,d,b}

Sottoinsiemi

Un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B.

teA B <=> b A e b B EEB .a A.b.c .d

0 è sottoinsieme di tutti gli insiemi.

ESe A B, ma B=A, allora A è sottoinsieme proprio di B: A B.C

Operazioni tra insiemi

Intersezione

L’intersezione è l’insieme degli elementi comuni tra due o più insiemi.

C=A Bn EEC={v|v A e v B} BA

Unione

L’unione è l’insieme formato dai soli elementi di A, dai soli elementi di B e dagli elementi comuni di A e B.

C=AUB EC={v|v A o v B}C- BA

Differenza

La differenza tra due insiemi è un insieme che contiene elementi di A, ma non di B.

A B C=A\B E ¢C={v|v A ma v B} ¢C=A\B{a A|a B}C-

Spazi euclidei

1. Retta

Una dimensione, R.

Insieme degli oggetti geometrici più semplici: i punti.

0 1 2 -2 -3 -1 31/2 2r

Numeri interi negativi Numeri interi positivi Numeri razionali.

2. Piano cartesiano

2)y.at?2 Due dimensioni, R.

Insieme di coppie di numeri (x e y).

× 2R:={(x ,x ):x R e x R}€ £1- 2 <

3. Spazio

y 3 Tre dimensioni, R.

Insieme di terne.

- × 3R:={(x ,x ,x ):x ,x ,x R}3€1- 3 212Z

4. Spazi di dimensioni superiori

n Più dimensioni, R.

Si tratta di spostamenti: vettori.

R:={(x ,x ,…,x ):x ,x ,…,x R}h M€1 21- n2

Algebra dei vettori

Operazioni in R²

Somma e differenza

(-1,2,1)+(0,2,1)=(-1,4,2)

(1,3)+(2,1)=(3,2) (2,2,3,4)+(-1,0,2,3)=(1,2,5,7)\ Proprietà commutativa e associativa.

(x , x , . , x )+(y , y , . , y ) = (x + y , . , x + y )21 1 1-1n n2 nn

Moltiplicazione e divisione

Non si possono effettuare.

(1,0)(2,0)=(0,0)

Prodotto per scalare

Se r è uno scalare (numero reale) e x è un vettore, allora il prodotto per scalare r•x=(rx ,rx , . ,rx )1- 2 n

Proprietà distributiva.

Esempi: 1/2(-4,2)=(-2,1)

2(1,1)=(2,2) 4,211- 1-2,1)12,2 )(1,1)

Distanze nel piano cartesiano tra due punti

PQP Q ,p. Obliqua Orizzontale Verticale.

P=(1,2); Q=(2,2) P=(1,3); Q=(3,3)

P=(1,2); Q=(1,3)

||PQ||, mid(P,Q)=|1-1|=1 ||PQ||, d(P,Q)= (1-3)+(3-3)=||PQ||, d(P,Q)=|3-2|=1/ √= 4=2

È sempre un numero positivo.

Distanze tra vettori

Considerando x,y R, con x=(x ,x ,..,x ) e y=(y ,y ,..y ), la loro distanza si calcola nel seguente modo:

E 1 2 n 1 2 n ||P,Q||, d(P,Q)= (x -y )+(x -y )+..+(x -y )< 2 "n n21 21-E

Esempio:

x=(1,-1,0,3); y=(-1,-1,1,2)

2d(P,Q)= (1+1)+(-1+1)+(0-1)+(3-2)= 4+0+1+1= 6222

Proprietà: V-E Se d(x,y)=0 allora x=y

• Non negatività: è sempre positiva. d(x,y)>0 x,y R" -tre
• Simmetria: d(x,y)=d(y,x) x,y R.
• Disuguaglianza triangolare: considerando la distanza tra due vettori, essa sarà sempre minore o uguale alla somma delle due distanze (uguale se la distanza è 0).

trex,y Rd(x,y)<d(x,z)+(z,y) "

Norma di un vettore

La norma di un vettore è la distanza del vettore dall’origine, il vettore nullo. È detta anche lunghezza del vettore: segmento che congiunge x con l’origine.

||x-0||= (x -0)+(x -0)+..+(x -0)= x +x +..+ x22 2 2 2231 2 1 h2<

Se x R, allora ||x||= x +x€ 2 21- 2

Proprietà: V-Ex,y R , ||x|| >0

• Non negatività: è sempre positiva. Se ||x||=0 allora x=0" -
• Disuguaglianza triangolare: considerando la somma tra due vettori, la norma del loro vettore somma sarà sempre minore o uguale alla somma delle due norme (uguale quando i vettori sono allineati).
• Calcolare la norma del prodotto per scalare di r per x è come calcolare la norma di x e moltiplicarla per r.

||x+y||<||x||+||y||

t.cnx, r R||rx||=|r| ||x||

Verifica:

rx=(rx ,rx ,..,rx )1 n2

||rx||=||(rx ,rx ,..,rx )||= (rx ), (rx ),..,(rx )= r x ,x ,..,x =|r| ||x||"'" ! !! .1- 1n a na

Esempio:

Calcolare la norma in R di x=(1,-2,3) e -2x

||x||= 1+4+9= 14

-2x=2 14

Prodotto scalare o interno

Modi per indicarlo: x y; <x,y>agg n

Siano x e y due vettori in R, il prodotto scalare è un numero reale:

<x,y>=x y +x y +..+x y212111

Esempio:

x=(4,-1,2); y=(6,3,-4)

<x,y,>=24-3-8=13

Non è una vera e propria moltiplicazione perché il risultato è un numero che non sta nell’insieme di partenza.

Proprietà:

• Commutativa.
• Distributiva.
• Associativa.
• Moltiplicando x per se stesso si ottiene il quadrato della norma ed è >0. 2x=||x||>02-
• Se moltiplicando x per se stesso si ottiene 0, allora x è 0: x=0<=>x=0
• Sommando due vettori e moltiplicando le loro somme si ottiene il doppio prodotto.
• Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: il modulo del prodotto tra due vettori è minore rispetto al prodotto delle norme dei vettori.

(x+y)(x+y)=x+y+2xy

|xy|<||x|| ||y||

Combinazioni lineari

n Considerando k vettori in R e k numeri reali, la combinazione lineare è un vettore che va a formarsi moltiplicando ogni vettore per il corrispondente numero reale.

Kx= c x=c x +c x +..+c xi 1 1 2 2' nnel' =L

Esempio:

z=(2,-5,4) è combinazione lineare di x =(1,-2,3) e x =(0,-1,-2) con coefficienti c =2 e 1-c =1. Infatti:

/2(2,-5,4)=2(1,-2,3)+1(0,-1,-2)=(2,-4,6)+(0,-1,-2)=(2,-5,4)E

Un qualsiasi vettore x R è combinazione lineare dei vettori detti base canonica:

"e =(1,0,..,0); e =(0,1,..,0); e =(0,0,..,1)1- 2 n

Verifica:

x=(x ,x ,..,x )=(x ,0,..,0)+(0,x ,..,0)+(0,0,..,x)= x (1,0,..,0)+x (0,1,..,0)+..+x (0,0,..,1)=x e +1 11 2 n22n 1 1hK+x e +..+x e = x e"12 2 hh l' =L

I vettori e ,e ,.., e generano R.n31- 2

Lineare dipendenza e indipendenza

n Considerando k vettori in R, sono linearmente dipendenti quando esistono dei coefficienti c ,c ,..,c che sono non tutti nulli, in modo tale che la combinazione lineare2 h1 risulti 0.

c v +c v +..+c v = 011 2 n2 n

Considerando k vettori in R, sono linearmente indipendenti quando l’unica combinazione lineare che dà come risultato 0 è quella che si ottiene quando tutti i coefficienti sono nulli.

c v +c v +..+c v = 021- 1 nn2 <=>c ,c ,..,c =01 2 n

Esempi:

• La base canonica forma un insieme di vettori linearmente indipendenti.
• I vettori w=(1,2,3); w=(4,5,6); w=(7,8,9) sono linearmente dipendenti.

c e +c e +..+c e = 0 <=> c ,c ,..,c =01 21- n21 n2 n

c =1; c =-2; c =1/ /31- 2K 1(1,2,3)+(-2)(4,5,6)+1(7,8,9)=0

x= c w=iil' =L

Kx= c w= (1,2,3)+(-8,-10,-12)+(7,8,9)=0iil' =L

(0,0,0)=0 2

Se due vettori sono linearmente indipendenti, sono generatori di R.

Siano v ,v ,.., v vettori in R, una base di R è un insieme di vettori tali che:h1- 2 n

• Sono linearmente indipendenti.
• Generano R.

n nTeorema: ogni base di R è formata esattamente da n vettori.

Matrici

Definizione

Una matrice è una tabella di numeri a doppia entrata.

Si usa k per indicare le righe e n (o m) per le colonne.

k•n è una matrice generica.

L’elemento di una matrice si indica con i per la riga e j per la colonna.

)3 3( ) (1- 1 22 5 665 4A- B- gasa+Gass 1011128=232

Operazioni

Addizione e sottrazione

Tra matrici della stessa dimensione.

desideri ):?)( barbari ben•B- :b? !a- ? a "" :rdknAkbkabkibknautb.aeaka : rdantbanrtbaa( )• • •ATB Faribafattoaatbaa- •• •;« :: :dkatbkadkztb.kz rdkntbkn• • • -113=(1-2121)8¢-1071)( ) 434 1 2670 5B-A- a-170 -21088-13

Proprietà associativa e commutativa.

?⃝ 3 =P °) )a-foz.rs21- A+B non si può fare perché sono☐ 41- di dimensioni diverse.

La matrice con tutte le entrate nulle è l’elemento neutro, somm