Parziale Matematica generale

Spazi Vettoriali & Matematica

Generale

Nuova Scheda di Esercizi Svolti (Livello Base - Vol. 2)

Raccolta Integrativa di Esercizi Guidati per Tutte le 11 Lezioni del Corso

Come Usare Questo Fascicolo Integrativo

Questa seconda scheda (Versione 3) offre un **nuovo set di esercizi completi e semplificati** per

consolidare i concetti fondamentali trattati nelle lezioni. Ogni esercizio è risolto aritmeticamente

con numeri piccoli ed è corredato da box di spiegazione intuitiva e suggerimenti pratici per

evitare gli errori più comuni.

Anno Accademico 2026/2027 — Corso CLEMIS

Spazi Vettoriali e Metodi Quantitativi — Scheda di Esercizi Integrativi (v3) Pagina 1

Contents

1 Lezione 1: Insiemi Numerici, Operazioni e Prodotto Cartesiano 2

2 Lezione 2: Estremi di Insiemi Numerici e Calcolo di Logaritmi 2

3

3 Lezione 3: Vettori in , Operazioni e Prodotto Scalare 3

R

4 Lezione 4: Norma, Distanza e Dipendenza Lineare 4

2

5 Lezione 5: Basi di e Coordinate rispetto a una Base 4

R

6 Lezione 6: Prodotto tra Matrici e Non-Commutatività 5

7 Lezione 7: Determinante e Sviluppo di Laplace 6

8 Lezione 8: Matrice Inversa e Rango 7

9 Lezione 9: Sistemi Lineari e Regola di Cramer 7

10 Lezione 10: Successioni Reali e Monotonia 8

11 Lezione 11: Calcolo dei Limiti di Successioni 9

Spazi Vettoriali e Metodi Quantitativi — Scheda di Esercizi Integrativi (v3) Pagina 2

1 Lezione 1: Insiemi Numerici, Operazioni e Prodotto Cartesiano

Esercizio — Lezione 1 — Insiemi e Prodotto Cartesiano

Si considerino i seguenti sottoinsiemi dei numeri reali:

{x ∈ ≤ ≤ {x ∈ ≤ {2,

A = : 1 x 5}, B = : 3 < x 7}, C = 4}

R R

∩ ∪

a) Determinare l’intersezione A B e l’unione A B.

× {1,

b) Calcolare il prodotto cartesiano C 3}.

Spiegazione Passo-Passo & Metodo

a) Intersezione e Unione di intervalli:

ˆ ∩

**Intersezione (A B):** racchiude gli elementi presenti *sia* in A *sia* in B. I numeri

compresi tra 1 e 5 che sono anche strettamente maggiori di 3 vanno da 3 a 5 (con 3 escluso

e 5 incluso): ∩ {x ∈ ≤

A B = (3, 5] = : 3 < x 5}

R

ˆ ∪

**Unione (A B):** racchiude tutti gli elementi presenti in *almeno uno* dei due insiemi.

L’intervallo parte dal minimo di A (cioè 1) e arriva al massimo di B (cioè 7):

∪ {x ∈ ≤ ≤

A B = [1, 7] = : 1 x 7}

R

× {1,

b) Prodotto Cartesiano C 3}: Il prodotto cartesiano è l’insieme di tutte le possibili

{2,

coppie ordinate (c, d) dove il primo elemento appartiene al primo insieme C = 4} e il secondo

{1,

al secondo insieme 3}: × {1, {(2,

C 3} = 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3)}

2 Lezione 2: Estremi di Insiemi Numerici e Calcolo di Logaritmi

Esercizio — Lezione 2 — Estremo Superiore, Inferiore e Logaritmi

2n+1

∈ ≥

Dato l’insieme numerico A = : n n 1 :

N,

n

a) Calcolare i primi tre elementi dell’insieme per n = 1, 2, 3.

b) Determinare Massimo, Minimo, Estremo Superiore (sup) ed Estremo Inferiore (inf) di A.

3

−

c) Calcolare il valore di log (16) ln(e ).

2

Spazi Vettoriali e Metodi Quantitativi — Scheda di Esercizi Integrativi (v3) Pagina 3

Spiegazione Passo-Passo & Metodo

a) Calcolo dei primi elementi:

2(1)+1

ˆ 3

Per n = 1: = =3

1 1

2(2)+1

ˆ 5

Per n = 2: = = 2.5

2 2

2(3)+1

ˆ 7 ≈

= 2.33

Per n = 3: 3 3 2n+1 1

b) Individuazione degli estremi: Man mano che n cresce, la frazione = 2+ diventa

n n

sempre più piccola e si avvicina al valore 2.

ˆ Il valore massimo è 3 (raggiunto per